المتطابقات المثلثية 1

ينطلق الدرس من دائرة الوحدة: إذا كانت نقطة التقاطع على الدائرة هي $P(x,y)=P(\cos\theta,\sin\theta)$ فإن $x^2+y^2=1$ يعطي المتطابقة الأم $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$. هذه ليست معادلة لها حلول قليلة؛ بل علاقة صحيحة لكل زاوية تكون عندها الأطراف معرفة.

متطابقة مثلثية: هي معادلة تتضمن اقترانات مثلثية وتكون صحيحة لجميع قيم المتغير التي يكون عندها كل طرف في المعادلة معرفا.

المتطابقات الأساسية خمس مجموعات: المقلوب، النسبية، فيثاغورس، الزاويتان المتتامتان، والزاوية السالبة. عند إيجاد قيمة اقتران من آخر، لا تنس تحديد الربع أولا؛ لأن الجذر التربيعي يعطي إشارتين والربع يحدد الإشارة الصحيحة.

تشبيه المتطابقة: المتطابقة المثلثية تشبه المتطابقة الجبرية مثل $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$: صحيحة لجميع القيم التي يكون عندها الطرفان معرّفين، وليست معادلة نحلها عن مجهول. لذلك $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ تأتي من وقوع $P(x,y)$ على دائرة الوحدة، علمًا أن $\sin^2\theta$ تعني $(\sin\theta)^2$.

إشارة الربع: في مثال 1، $\sin\theta=3/5$ و$\pi/2<\theta<\pi$؛ لذلك $\cos\theta$ سالب، ومنه $\sec\theta=-5/4$.

تذكير: المتطابقة صحيحة لجميع الزوايا في مجال التعريف؛ المعادلة المثلثية تُحل في فترة محددة. لا تخلط بينهما في الامتحان.

تبسيط المقدار المثلثي يعني كتابته بدلالة اقتران واحد إن أمكن، أو بصورة أبسط تخدم الإثبات. أهم أدوات التبسيط هي إخراج العامل المشترك، توحيد المقامات، متطابقات فيثاغورس، والتحويل بين $\tan$ و$\cot$ وبين $\sec$ و$\csc$.

قاعدة عمل: إذا تعقدت العبارة، حول كل شيء إلى $\sin x$ و$\cos x$، ثم ابحث عن $\sin^2x+\cos^2x=1$ أو عن عامل مشترك.

عندما يظهر مقام مثل $1+\sin x$ أو $1-\sin x$، نستعمل المرافق لإزالة الكسر. مثلا $1/(1+\sin x)$ يضرب في $(1-\sin x)/(1-\sin x)$، ثم نستعمل $1-\sin^2x=\cos^2x$ لنصل إلى $\sec^2x-\tan x\sec x$.

الإثبات ليس نقلا للحدود: في إثبات المتطابقات لا تعاملها كمعادلة عادية تنقل فيها الحدود. اختر طرفا واشتغل عليه بخطوات كل منها متطابقة معروفة حتى تصل إلى الطرف الآخر.

إذا كان الطرفان معقدين، يمكن تحويل كل طرف إلى مقدار وسيط. في مثال 5 نحول الطرف الأيسر إلى $\sec x+1$، ثم نحول الطرف الأيمن $\tan^2x/(\sec x-1)$ إلى المقدار نفسه باستعمال $\tan^2x=\sec^2x-1$.

بعد المتطابقات الأساسية، تأتي صيغ المجموع والفرق للجيب وجيب التمام والظل. فائدتها العملية أنها تجعل زاوية غير مشهورة مثل $15^\circ$ أو $5\pi/12$ تكتب كمجموع أو فرق زاويتين مشهورتين.

الصيغ الحاسمة: $\sin(a\pm b)=\sin a\cos b\pm\cos a\sin b$، أما $\cos(a\pm b)$ فإشارة الحد الثاني تنعكس: $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$ و$\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$.

في مثال 6 نكتب $15^\circ=60^\circ-45^\circ$، فيكون $\sin15^\circ=(\sqrt3-1)/(2\sqrt2)$. ونكتب $5\pi/12=\pi/4+\pi/6$ لاستعمال صيغة ظل المجموع، كما نتعرف على صورة $\cos20^\circ\cos40^\circ-\sin20^\circ\sin40^\circ$ بوصفها $\cos60^\circ$.

اختيار الزاويتين: اختر زاويتين من $30^\circ,45^\circ,60^\circ$ أو ما يقابلها بالراديان؛ الهدف أن تكون قيم الجيب وجيب التمام والظل معروفة بلا آلة.

تظهر المتطابقات في مسائل هندسية وفيزيائية مثل المزولة الشمسية، المنشور، زاوية ميل المستقيم، والزاوية بين مستقيمين. في مسألة اليوم، طول الظل $s=h\sin(\pi/2-\theta)/\sin\theta$، وباستعمال $\sin(\pi/2-\theta)=\cos\theta$ تصبح $s=h\cot\theta$.

صيغة الظل للفرق: $\tan(a-b)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}$؛ لا تجعل المقام بإشارة ناقصة، فالإشارة تختلف عن صيغة المجموع.

مراجعة الدرس

• 1. أجد $\cot\theta$ إذا كان $\sin\theta=1/3$ و$0<\theta<\pi/2$؟
• 2. أجد $\sec\theta$ إذا كان $\tan\theta=-3/7$ و$\pi/2<\theta<\pi$؟
• 3. أجد $\tan\theta$ إذا كان $\csc\theta=-5/3$ و$\pi<\theta<3\pi/2$؟
• 4. أجد $\sin\theta$ إذا كان $\sec\theta=9/4$ و$3\pi/2<\theta<2\pi$؟
• 5. أبسط $\cos x\tan x$؟
• 6. أبسط $\frac{\sec x-\cos x}{\sin x}$؟
• 7. أبسط $\frac{\cos(\pi/2-x)}{\csc x}+\cos^2x$؟