المتطابقات المثلثية 2

إذا كنت تتقن متطابقات فيثاغورس وجمع زاويتين من الدرس السابق، فهذا الدرس يحوّلها إلى أدوات أسرع: نعرف قيمة عند الزاوية $\theta$، فنحسب قيمة عند $2\theta$، أو نفك زاوية مثل $3\theta$ إلى $2\theta+\theta$. في الامتحان تظهر هذه الفكرة غالبا في سؤال «أجد قيمة» أو «أكتب بدلالة»، والخطأ المعتاد ليس في القانون بل في إشارة الربع.

متطابقات ضعف الزاوية: هي متطابقات تربط $\sin 2\theta$، و$\cos 2\theta$، و$\tan 2\theta$ بقيم الاقترانات عند $\theta$: $\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta$، و$\cos 2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta$، و$\tan 2\theta=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}$.

صيغ جيب التمام الثلاث ليست حفظا منفصلا؛ كلها تأتي من $\cos^2\theta-\sin^2\theta$ باستعمال $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$. لذلك اختر الصيغة التي تناسب المعطى: إن كان المعطى $\sin\theta$ فاستعمل $1-2\sin^2\theta$، وإن كان $\cos\theta$ فاستعمل $2\cos^2\theta-1$.

ترتيب الحل في مثال 1: ابدأ بتحديد الربع، ثم استخرج النسبة الناقصة من فيثاغورس، ثم عوض في صيغ $\sin 2\theta$، و$\cos 2\theta$، و$\tan 2\theta$. لا تحسب $\tan 2\theta$ قبل تثبيت إشارة $\tan\theta$.

في مثال 1 نعلم أن $\sin\theta=\frac35$ و$\frac{\pi}{2}<\theta<\pi$، لذلك $\cos\theta=-\frac45$. منه $\sin2\theta=2(\frac35)(-\frac45)=-\frac{24}{25}$، و$\cos2\theta=2(-\frac45)^2-1=\frac7{25}$، و$\tan2\theta=-\frac{24}{7}$.

إشارة الربع: لا تأخذ الجذر الموجب تلقائيا عند استخراج النسبة الناقصة. في الربع الثاني يكون جيب التمام سالبا، وفي الربع الثالث يكون الجيب وجيب التمام سالبين لكن الظل موجب.

بعد ذلك نستعمل ضعف الزاوية مع مجموع زاويتين لاشتقاق $\cos3\theta$: نكتب $3\theta=2\theta+\theta$، ثم نعوض $\cos2\theta=2\cos^2\theta-1$ و$\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$، ثم نحول $\sin^2\theta$ إلى $1-\cos^2\theta$. النتيجة هي $\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$.

لماذا هذا مهم؟: أسئلة «بدلالة» تختبر قدرتك على تقليل عدد الزوايا والاقترانات. كلما رأيت $3\theta$، فكّر في $2\theta+\theta$، ثم اجعل الجواب كله بدلالة الاقتران المطلوب فقط.

تقليص القوة يعني تحويل قوى مثل $\sin^2\theta$ و$\cos^2\theta$ إلى تعبيرات فيها جيب تمام من القوة الأولى. هذه المهارة مهمة لأن التربيع يخفي إشارة النسبة، بينما صيغ نصف الزاوية تعيد الإشارة إلى الواجهة عن طريق $\pm$.

متطابقات تقليص القوة: من صيغ ضعف الزاوية نحصل على: $\sin^2\theta=\frac{1-\cos2\theta}{2}$، و$\cos^2\theta=\frac{1+\cos2\theta}{2}$، و$\tan^2\theta=\frac{1-\cos2\theta}{1+\cos2\theta}$.

في مثال 3 نعيد كتابة $\sin^2x\cos^2x$ بدلالة القوة الأولى لجيب التمام. نعوض $\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}$ و$\cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2}$، فنحصل على $\frac{1-\cos^2 2x}{4}$، ثم نقلص $\cos^2 2x$ باستعمال $\frac{1+\cos4x}{2}$، فتكون النتيجة $\frac18(1-\cos4x)$.

خطوة تقليص القوة: إذا بقيت قوة تربيعية بعد التعويض الأول، قلصها مرة ثانية. في $\sin^2x\cos^2x$ تظهر $\cos^2 2x$، لذلك لا ينتهي الحل عند $\frac{1-\cos^2 2x}{4}$.

متطابقات نصف الزاوية تنتج بأخذ الجذر التربيعي: $\sin\frac{\theta}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}}$، و$\cos\frac{\theta}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}}$، و$\tan\frac{\theta}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}}$. الإشارة لا تحددها $\theta$ وحدها، بل الربع الذي تقع فيه $\frac{\theta}{2}$.

نصف الزاوية لا يرث الربع دائما: إذا كان $\pi<x<\frac{3\pi}{2}$، فإن $\frac{x}{2}$ يقع بين $\frac{\pi}{2}$ و$\frac{3\pi}{4}$، أي في الربع الثاني؛ لذلك يكون الجيب موجبا وجيب التمام والظل سالبين.

1. مثال 4 يحسب $\sin22.5^\circ$ من غير آلة حاسبة لأن $22.5^\circ=\frac{45^\circ}{2}$، والإشارة موجبة في الربع الأول: $\sin22.5^\circ=\sqrt{\frac{1-\cos45^\circ}{2}}=\frac12\sqrt{2-\sqrt2}$.
2. وفي مثال 5، عندما $\cos x=-\frac35$ و$\pi<x<\frac{3\pi}{2}$، نجد $\sin\frac{x}{2}=\frac{2\sqrt5}{5}$، و$\cos\frac{x}{2}=-\frac{\sqrt5}{5}$، و$\tan\frac{x}{2}=-2$.

ربط بمسألة اليوم: ميل منحدر المبتدئين في مسألة اليوم هو $\tan\frac{\theta}{2}$. إذا كان $\tan\theta=\frac53$، فنبني مثلثا بحيث $\sin\theta=\frac5{\sqrt{34}}$ و$\cos\theta=\frac3{\sqrt{34}}$، ثم نستعمل صيغة نصف الزاوية المناسبة لأن الزاوية حادة.

عندما ترى حاصل ضرب مثل $\sin3x\sin5x$ أو $\cos4x\cos7x$، فالمطلوب غالبا تحويله إلى مجموع أو فرق لتسهيل التبسيط. وعندما ترى جمعا أو طرحا في بسط ومقام، فكر بالعكس: حوله إلى ضرب حتى تظهر عوامل مشتركة يمكن اختصارها.

تحويل الضرب إلى مجموع أو فرق: $\sin\alpha\sin\beta=\frac12[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)]$، و$\sin\alpha\cos\beta=\frac12[\sin(\alpha-\beta)+\sin(\alpha+\beta)]$، و$\cos\alpha\cos\beta=\frac12[\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)]$.

في مثال 6: $\sin3x\sin5x=\frac12[\cos(3x-5x)-\cos(3x+5x)]$. وبما أن $\cos(-2x)=\cos2x$، تصبح النتيجة $\frac12\cos2x-\frac12\cos8x$. هذه الخطوة الصغيرة، خاصية الزاوية السالبة، كثيرا ما تكون موضع علامة في الحل.

تحويل المجموع أو الفرق إلى ضرب: $\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$، و$\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$، مع الصيغ المناظرة لجيب التمام.

في مثال 7: $\sin5x-\sin3x=2\cos\frac{5x+3x}{2}\sin\frac{5x-3x}{2}=2\cos4x\sin x$. الفكرة ليست حفظ الصيغة فقط؛ الفكرة أن متوسط الزاويتين \frac{\alpha+eta}{2} ونصف الفرق \frac{\alpha-eta}{2} هما ما يظهران في الجواب.

اختيار الاتجاه: إذا كان السؤال يقول «في صورة مجموع أو فرق» فابدأ من حاصل الضرب. وإذا كان يقول «في صورة ضرب» أو يظهر كسر فيه جمع وطرح، فابدأ من صيغ المجموع أو الفرق إلى ضرب.

مثال 8 يدمج كل أدوات الدرس في الإثبات. في الفرع الأول نكتب $\sin3x=\sin(x+2x)$، ثم نستعمل ضعف الزاوية لنصل إلى $4\cos x-\sec x$. وفي الفرع الثاني نحول $\sin3x-\sin x$ و$\cos3x+\cos x$ إلى ضرب، فتظهر $2\cos2x$ في البسط والمقام ونختصرها لنصل إلى $\tan x$.

عدسة الإثبات: ابدأ دائما من الطرف الأكثر تعقيدا، ولا تنقل حدودا بين الطرفين في إثبات المتطابقة. الهدف أن تجعل الطرف المختار يتحول تدريجيا إلى الطرف الآخر باستعمال متطابقات معروفة.

تختم صفحات الدرس بتطبيقين هندسيين: طول خط الطي في الأوريغامي، ومساحة مستطيل داخل نصف دائرة. كلاهما يبين أن المتطابقة ليست صيغة منعزلة؛ إنها طريقة لإعادة كتابة علاقة هندسية بحيث تصبح أبسط أو قابلة للحساب.

الأوريغامي: يُعطى طول خط الطي بالعلاقة $L=\frac{10.8}{\sin\theta\cos^2\theta}=\frac{21.6\sec\theta}{\sin2\theta}$، ويمكن إثبات تكافؤ الصيغتين. وباستعمال العلاقة، عندما $\theta=30^\circ$: $L(30^\circ)=28.8\,\text{cm}$.

نصف الدائرة: إذا كان نصف القطر وحدة واحدة، فإن إحداثيات نقطة على نصف الدائرة يمكن ربطها بـ $\cos\theta$ و$\sin\theta$، ومن ثم تكون مساحة المستطيل $A(\theta)=2\sin\theta\cos\theta=\sin2\theta$ بحسب أبعاد الشكل.

Exam Lens: نمط امتحان الرياضيات هنا يبدأ بالمفهوم والدليل ثم الاستنتاج: اكتب المتطابقة التي ستستعملها، عوض الزوايا بدقة، ثم بسّط. في الإثباتات لا تقفز إلى النتيجة؛ كل سطر يحتاج سببًا مثل «ضعف الزاوية»، «تحويل المجموع إلى ضرب»، أو «متطابقة فيثاغورس».

أكثر خطأ يتكرر: خلط صيغ $\sin\alpha\cos\beta$ و$\sin\alpha\sin\beta$، أو نسيان الإشارة السالبة في \cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+eta}{2}\sin\frac{\alpha-eta}{2}.

مراجعة الدرس

• أجد $\cos2\theta, \sin2\theta, \sin\frac{\theta}{2}, \cos\frac{\theta}{2}$ إذا كان $\sin\theta=\frac5{13}$, $0<\theta<\frac{\pi}{2}$؟
• أجد القيم نفسها إذا كان $\cos\theta=-\frac{\sqrt6}{3}$, $\frac{\pi}{2}<\theta<\pi$؟
• أجد القيم نفسها إذا كان $\tan\theta=\frac12$, $\pi<\theta<\frac{3\pi}{2}$؟
• أجد القيم نفسها إذا كان $\csc\theta=-\sqrt5$, و$\cos\theta<0$؟
• أجد القيم نفسها إذا كان $\cot\theta=\frac23$, و$\sin\theta>0$؟
• أجد القيم نفسها إذا كان $\sec\theta=3$, و$\sin\theta>0$؟
• أستعمل تقليص القوة لكتابة $\sin^4x$ بدلالة القوة الأولى لجيب التمام؟