حل المعادلات المثلثية

المتطابقة المثلثية صحيحة لكل قيمة مسموحة للمتغير، أما المعادلة المثلثية فهي صحيحة عند قيم محددة فقط. يبدأ الدرس من هذه الفكرة لأن سؤال الامتحان لا يطلب تذكّر القانون وحده، بل يطلب كل الزوايا التي تحقق المساواة داخل فترة أو في الحل العام.

المعادلة المثلثية: هي معادلة تحوي اقترانا مثلثيا لمتغير مجهول، وتكون صحيحة لقيم محددة من ذلك المتغير، مثل $\sin x=\frac12$ أو $\tan x=-2$.

المعادلة المثلثية الأساسية تكون في صورة $T(\theta)=c$، حيث $T$ اقتران مثلثي و$c$ ثابت. لحلها، نجد أولا الحلول ضمن دورة واحدة، ثم نكتب الحل العام بإضافة مضاعفات الدورة: $2\pi k$ للجيب وجيب التمام، و$\pi k$ للظل.

دورة واحدة ثم الحل العام: لا تكتب $+2\pi k$ قبل أن تعرف حلول الدورة الأولى. في الجيب وجيب التمام غالبا يوجد حلان في $[0,2\pi)$، أما في الظل فتبدأ عادة من فترة طولها $\pi$.

في مثال 1 نحل $\sin x=\frac12$ فنجد $x=\frac\pi6$ و$x=\frac{5\pi}{6}$، ثم نكتب الحل العام بإضافة $2k\pi$. وفي $\cos x=-\frac1{\sqrt2}$ تكون الحلول في الربعين الثاني والثالث: $\frac{3\pi}{4}$ و$\frac{5\pi}{4}$، ثم تتكرر أيضا كل $2\pi$.

عندما لا تكون الزاوية خاصة: إذا كانت القيمة مثل $0.65$ أو $-2$، نستعمل الآلة الحاسبة بنظام الراديان لإيجاد الزاوية المرجعية، ثم نختار الربع الصحيح ونكتب التكرار الدوري.

بعد المعادلات الأساسية، ننتقل إلى معادلات تحتاج خطوة جبرية قبل أن تصبح أساسية. قد تفصل الاقتران في طرف واحد مثل $3\sin x-2=5\sin x-1$، أو تأخذ جذرا مثل $\tan^2x-3=0$، أو تحلل عبارة تربيعية في $\sin x$.

حوّلها إلى معادلة أساسية: كل طريقة في هذا الموضوع هدفها الوصول إلى صورة مثل $\sin x=a$، أو $\cos x=a$، أو $\tan x=a$. بعد ذلك تعود إلى الأرباع والدورة.

في مثال 3 نحل $3\sin x-2=5\sin x-1$. بنقل الحدود نحصل على $\sin x=-\frac12$، ومنه $x=\frac{7\pi}{6}+2k\pi$ أو $x=\frac{11\pi}{6}+2k\pi$. وفي $\tan^2x-3=0$، نحصل على $\tan x=\pm\sqrt3$، لذلك $x=\frac\pi3+k\pi$ أو $x=-\frac\pi3+k\pi$.

لا تقسم على اقتران فيه المتغير: في مثال $\cos x\sin x=3\cos x$، القسمة على $\cos x$ تفقد الحلول التي تجعل $\cos x=0$. انقل الحدود ثم أخرج العامل المشترك: $\cos x(\sin x-3)=0$.

في مثال 4 تظهر المعادلة التربيعية $2\sin^2x-3\sin x+1=0$. نحللها إلى $(2\sin x-1)(\sin x-1)=0$، ثم نحل كل عامل: $\sin x=\frac12$ أو $\sin x=1$، فتكون الحلول $\frac\pi6,\frac{5\pi}{6},\frac\pi2$ في الفترة $[0,2\pi)$.

اختبار المدى: إذا وصلت إلى $\sin x=3$ أو $\sin x=2$، فلا توجد حلول حقيقية لأن مدى الجيب وجيب التمام هو $[-1,1]$. اذكر ذلك صراحة في الحل.

تستعمل المتطابقات عندما تتداخل أكثر من نسبة أو تظهر زاوية مضاعفة أو منصفة. الفكرة الثابتة: وحّد النسبة أو الزاوية، ثم حلل، ثم تحقق عند الحاجة.

التوحيد قبل الحل: في $2\cos^2x+3\sin x=0$، استعمل $\cos^2x=1-\sin^2x$ حتى تصبح المعادلة كلها في $\sin x$. وفي $\sin2x-\cos x=0$، استعمل $\sin2x=2\sin x\cos x$ ثم أخرج $\cos x$.

مثال 5 يعطي حلين مهمين: من $2\cos^2x+3\sin x=0$ نحصل على $(2\sin x+1)(\sin x-2)=0$، فتقبل $\sin x=-\frac12$ وترفض $\sin x=2$. ومن $\sin2x-\cos x=0$، نصل إلى $\cos x(2\sin x-1)=0$، فتكون الحلول $\frac\pi2,\frac{3\pi}{2},\frac\pi6,\frac{5\pi}{6}$.

الحل الدخيل: عند تربيع الطرفين قد تظهر حلول لا تحقق المعادلة الأصلية. في مثال $\cos x+1=\sin x$، يظهر $\frac{3\pi}{2}$ أثناء الحل، لكنه يرفض عند التعويض.

في معادلات ضعف الزاوية، حل للزاوية الكاملة أولا. مثال $\cos x\sin x=-\frac12$ يتحول إلى $\sin2x=-1$، ومنه $2x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi$، ثم $x=\frac{3\pi}{4}+k\pi$، فتظهر الحلول $\frac{3\pi}{4}$ و$\frac{7\pi}{4}$ داخل $[0,2\pi)$.

نصف الزاوية: في $2\sin\frac{x}{2}-\sqrt3=0$، حل أولا $\sin\frac{x}{2}=\frac{\sqrt3}{2}$، ثم اضرب الحلول في 2. لأن $\frac{x}{2}$ يتغير على فترة أطول عند كتابة الحل العام، انتبه للفترة المطلوبة عند اختيار قيم $k$.

تدريبات الدرس تجمع بين الحل العام، الحل داخل $[0,2\pi)$، تطبيق أطوار القمر، ومعادلات تفكير عليا في الظل. لذلك أفضل مراجعة قبل الامتحان هي أن تصنف المعادلة أولا: أساسية، تربيعية، تحتاج متطابقة، زاوية مضاعفة، أو تطبيق لفظي.

أطوار القمر: العلاقة $F=\frac12(1-\cos\theta)$ تعطي: القمر الجديد عند $F=0\Rightarrow\cos\theta=1\Rightarrow\theta=0^\circ,360^\circ$، والهلال عند $F=0.25\Rightarrow\cos\theta=\frac12\Rightarrow\theta=60^\circ,300^\circ$، والقمر المكتمل عند $F=1\Rightarrow\cos\theta=-1\Rightarrow\theta=180^\circ$.

Exam Lens: نمط أسئلة الرياضيات هنا هو: تعريف مفهوم، اختيار طريقة، ثم استنتاج كل الحلول. اكتب الفترة بوضوح، واذكر سبب رفض أي قيمة: خارج المدى، خارج الفترة، أو حل دخيل بعد التربيع.

نسيان حل من الدورة: إذا وجدت زاوية مرجعية واحدة فقط للجيب أو جيب التمام، فغالبا ينقصك حل في ربع آخر. ارجع إلى إشارة النسبة قبل كتابة الجواب النهائي.

مراجعة الدرس

• أحل $2\sin x+3=2$ لجميع قيم $x$؟
• أحل $1-\cos x=\frac12$ لجميع قيم $x$؟
• أحل $\sin x=-0.3$ لجميع قيم $x$؟
• أحل $\cos x=0.32$ لجميع قيم $x$؟
• أحل $\tan x=5$ لجميع قيم $x$؟
• أحل $\sec x-2=0$ لجميع قيم $x$؟
• أحل $\cot^2x+1=0$ لجميع قيم $x$؟