العمليات على الأعداد المركبة

تبدأ العمليات على الأعداد المركبة من مبدأ تجميع الحدود المتشابهة، تماماً كما في المقادير الجبرية.

جمع الأعداد المركبة وطرحها: إذا كان $z_1 = a + ib$ و $z_2 = x + iy$، فإن ناتج الجمع هو $(a+x) + i(b+y)$ وناتج الطرح هو $(a-x) + i(b-y)$.

• عملية الجمع تحقق خاصية التبديل: $z + w = w + z$.
• النظير الجمعي للعدد $z = a + bi$ هو $-z = -a - bi$.
• عند الضرب، نطبق التوزيع: $(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi^2$.
• تذكر دائماً تعويض $i^2 = -1$ لتبسيط الناتج للصورة القياسية.

عند طرح الأعداد المركبة، يقع الكثيرون في خطأ عدم توزيع إشارة السالب على الجزء التخيلي للعدد الثاني. تأكد دائماً من وضع الأقواس قبل الطرح.

لتبسيط أي كسر يحتوي على عدد مركب في المقام، اضرب مباشرة في مرافق المقام. هذا سيجعل المقام عدداً حقيقياً ($a^2 + b^2$) ويسهل توزيع البسط عليه.

الضرب بالتوزيع: نضرب الأعداد المركبة كما نضرب المقادير الجبرية، ثم نضع $-1$ بدل $i^2$ أينما ظهرت. مثلًا: $(6+2i)(7-3i)=42-18i+14i-6i^2=48-4i$ وعند ضرب $(5+4i)(5-4i)$ نحصل على $25+16=41$، وهو عدد حقيقي؛ لأن كل عدد من العددين مرافق للآخر. وهذا صحيح دائمًا: $z\bar{z}=a^2+b^2=|z|^2$.

القسمة بالمرافق: نستعمل الحقيقة السابقة، فنضرب المقسوم والمقسوم عليه في مرافق المقسوم عليه، فيصبح المقسوم عليه عددًا حقيقيًا. مثلًا: $\frac{8-5i}{3-2i}\times\frac{3+2i}{3+2i}=\frac{24+16i-15i-10i^2}{9+4}=\frac{34+i}{13}=\frac{34}{13}+\frac{1}{13}i$ وإذا كان المقسوم عليه عددًا تخيليًا مثل $2i$، فالأسهل الضرب في $\frac{i}{i}$: $\frac{3+5i}{2i}=\frac{3i+5i^2}{2i^2}=\frac{3i-5}{-2}=\frac{5}{2}-\frac{3}{2}i$.

تعتمد هذه العمليات على قانوني جيب مجموع زاويتين وجيب تمام مجموعهما. عند ضرب $z_1=r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)$ في $z_2=r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)$ وتوزيع الأقواس وتعويض $i^2=-1$، يصبح الجزء الحقيقي $\cos\theta_1\cos\theta_2-\sin\theta_1\sin\theta_2=\cos(\theta_1+\theta_2)$، والجزء التخيلي $\sin\theta_1\cos\theta_2+\cos\theta_1\sin\theta_2=\sin(\theta_1+\theta_2)$. ومنه نصل إلى قاعدة الضرب، وتُثبت قاعدة القسمة بطريقة مشابهة بشرط $z_2\neq 0$.

ضرب وقسمة الصورة المثلثية: للضرب: $z_1 z_2 = r_1 r_2 [\cos(\theta_1 + \theta_2) + i \sin(\theta_1 + \theta_2)]$. للقسمة: $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} [\cos(\theta_1 - \theta_2) + i \sin(\theta_1 - \theta_2)]$.

بالكلمات: عند الضرب نضرب المقياسين ونجمع السعتين، وعند القسمة نقسم المقياسين ونطرح السعتين. لذلك $|z_1z_2|=|z_1|\times|z_2|$ و $\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$. مع ملاحظة أن الزاوية في الصورة المثلثية يجب أن تكون سعة رئيسة؛ فإذا خرج ناتج الجمع أو الطرح من الفترة $-\pi<\theta\le\pi$ نضيف $2\pi n$ أو نطرحه.

جدول قيم النسب المثلثية للزوايا الخاصة:

سعة حاصل الضرب تساوي مجموع السعتين: $Arg(z_1 z_2) = Arg(z_1) + Arg(z_2)$، بشرط مراعاة الفترة الرئيسة.

مثال: إذا كان $z_1=10\left(\cos\left(-\frac{2\pi}{7}\right)+i\sin\left(-\frac{2\pi}{7}\right)\right)$ و $z_2=2\left(\cos\frac{6\pi}{7}+i\sin\frac{6\pi}{7}\right)$، فإن $z_1z_2=20\left(\cos\frac{4\pi}{7}+i\sin\frac{4\pi}{7}\right)$. أما عند القسمة فالمقياس $5$ والزاوية $-\frac{2\pi}{7}-\frac{6\pi}{7}=-\frac{8\pi}{7}$، وهي خارج الفترة الرئيسة، فنضيف $2\pi$ لتصبح $\frac{6\pi}{7}$، ويكون $\frac{z_1}{z_2}=5\left(\cos\frac{6\pi}{7}+i\sin\frac{6\pi}{7}\right)$.

عملية إيجاد الجذور هي عملية عكسية للتربيع، وتتطلب حلاً دقيقاً لنظام معادلات تربيعية.

لكل عدد مركب جذران تربيعيان، وهما عددان مركبان أيضًا. فإذا كان $\sqrt{z}=x+iy$ حيث $x$ و $y$ عددان حقيقيان، فإن $z=(x+iy)^2$، ونجد $x$ و $y$ بتربيع الطرفين ثم مقارنة الأجزاء الحقيقية والأجزاء التخيلية.

عند حل المعادلة $x^4 - ax^2 - c = 0$ الناتجة عن التعويض، تذكر أن $x^2$ يجب أن يكون موجباً دائماً لأن $x$ عدد حقيقي، لذا أهمل القيمة السالبة لـ $x^2$.

• الخطوة الأولى: افترض $\sqrt{z} = x + iy$.
• الخطوة الثانية: كون المعادلتين $x^2 - y^2 = Re(z)$ و $2xy = Im(z)$.
• الخطوة الثالثة: حل بالتعويض واستخرج الجذرين $w$ و $-w$.

مثال: لإيجاد الجذرين التربيعيين للعدد $21-20i$ نكتب $21-20i=x^2-y^2+2ixy$، فينتج النظام $x^2-y^2=21$ و $2xy=-20$. من المعادلة الثانية $y=-\frac{10}{x}$، وبالتعويض في الأولى والضرب في $x^2$ نحصل على $x^4-21x^2-100=0$، أي $(x^2-25)(x^2+4)=0$. وبما أن $x$ حقيقي فإن $x=\pm 5$، ومنه الجذران $5-2i$ و $-5+2i$. ويمكن التحقق بتربيع كل جذر ومقارنة الناتج بالعدد الأصلي.

عند حل معادلة تربيعية $ax^2+bx+c=0$ بمعاملات حقيقية نستعمل القانون العام $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$، والمميز $\Delta=b^2-4ac$ يحدد نوع الجذرين. بعد تعرف الأعداد المركبة لم يعد المميز السالب يعني عدم وجود حل، بل ينتج جذران مركبان مترافقان في صورة $f\pm ig$ حيث $g\neq 0$. العلاقة بين المميز ونوع الجذور:

نظرية العوامل: إذا كان $z = c$ جذراً للمعادلة $p(z) = 0$، فإن $(z - c)$ هو عامل من عوامل كثير الحدود $p(z)$.

الجذور المترافقة: إذا كان $f+ig$ جذرًا لمعادلة تربيعية ذات معاملات حقيقية، فإن مرافقه $f-ig$ جذر للمعادلة نفسها، ويُعمَّم ذلك على معادلات كثيرات الحدود. وتنص النظرية الأساسية في الجبر على وجود جذر مركب واحد على الأقل لأي معادلة كثير حدود درجتها أكبر من الصفر، لكنها لا تساعد على إيجاده. وبتكرار استعمالها مع نظرية العوامل نصل إلى أن لمعادلة كثير الحدود من الدرجة $n$ عددًا من الجذور المركبة يساوي $n$، بما في ذلك الجذور المكررة؛ فمثلًا للمعادلة $x^2=0$ جذران هما $0$ و $0$. لذلك فمعادلة الدرجة الثالثة ذات المعاملات الحقيقية لها ثلاثة جذور حقيقية، أو جذر حقيقي واحد وجذران مركبان مترافقان.

مثال: لحل $z^3+4z^2+z-26=0$ نبحث عن جذر نسبي بين عوامل الحد الثابت: $\pm 1,\pm 2,\pm 13,\pm 26$. بالتعويض نجد أن $z=2$ يحقق المعادلة، فيكون $z-2$ عاملًا. بقسمة كثير الحدود على $z-2$ بطريقة الجدول نحصل على $(z-2)(z^2+6z+13)=0$. وبالقانون العام للعامل التربيعي: $z=\frac{-6\pm\sqrt{36-52}}{2}=-3\pm 2i$. إذن الجذور الثلاثة هي $2$ و $-3+2i$ و $-3-2i$.

تدريب مهم: بعد هذا القسم، راجع أمثلة 1–6.