الضرب القياسي

الضرب القياسي عملية جبرية بين متجهين ينتج منها كمية قياسية، أي عدد حقيقي وليس متجهًا. يُرمز إليها بالرمز $\vec{v}\cdot\vec{w}$، وتُقرأ: v dot w. في المستوى الإحداثي، إذا كان $\vec{v}=\langle v_1, v_2\rangle$ و$\vec{w}=\langle w_1, w_2\rangle$، فإن: $\vec{v}\cdot\vec{w}=v_1w_1+v_2w_2$ ويُحسب الضرب القياسي لمتجهين في الفضاء بطريقة مشابهة، مع إضافة حاصل ضرب الإحداثي الثالث.

الضرب القياسي في الفضاء: إذا كان $\vec{v} = \langle v_1, v_2, v_3 \rangle$ و $\vec{w} = \langle w_1, w_2, w_3 \rangle$، فإن الضرب القياسي يُعرف بالصيغة: $\vec{v} \cdot \vec{w} = v_1 w_1 + v_2 w_2 + v_3 w_3$

أي أننا نضرب كل إحداثي في الإحداثي المناظر له من المتجه الآخر، ثم نجمع النواتج الثلاثة. ويصلح ذلك سواء كُتب المتجه بالصورة الإحداثية مثل $\langle 5, 4, 8\rangle$ أو بدلالة متجهات الوحدة مثل $5\hat{i}+4\hat{j}+8\hat{k}$؛ فالمعاملات هي الإحداثيات نفسها.

لأي ثلاثة متجهات $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ وأي عدد حقيقي $c$، تتحقق الخصائص الآتية:

• التبديل: $\vec{v} \cdot \vec{w} = \vec{w} \cdot \vec{v}$
• التوزيع على الجمع: $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$
• الضرب في عدد حقيقي: $c(\vec{u} \cdot \vec{v}) = (c\vec{u}) \cdot \vec{v}$

تذكر دائماً أن ناتج الضرب القياسي هو عدد حقيقي وليس متجهاً.

تطبيق: حساب ناتج الضرب القياسي

مثال: أوجد ناتج الضرب القياسي للمتجهين $\vec{v}=\langle 4, 8, -3\rangle$ و$\vec{w}=\langle -3, 7, 2\rangle$.

1. نكتب الصيغة: $\vec{v}\cdot\vec{w}=v_1w_1+v_2w_2+v_3w_3$.
2. نعوّض: $4(-3)+8(7)+(-3)(2)$.
3. نبسّط: $-12+56-6=38$.

مثال: أوجد ناتج الضرب القياسي للمتجهين $\vec{m}=-3\hat{i}+5\hat{j}-\hat{k}$ و$\vec{n}=-12\hat{i}+6\hat{j}-8\hat{k}$.

1. نقرأ الإحداثيات من معاملات متجهات الوحدة: $\vec{m}=\langle -3, 5, -1\rangle$ و$\vec{n}=\langle -12, 6, -8\rangle$.
2. نعوّض: $(-3)(-12)+5(6)+(-1)(-8)$.
3. نبسّط: $36+30+8=74$.

لإيجاد قياس الزاوية بين متجهين، يُرسم المتجهان بحيث تكون لهما نقطة البداية نفسها. والزاوية $\theta$ بين متجهين هي الزاوية الصغرى المحصورة بينهما عند رسمهما بدءًا بالنقطة نفسها، حيث $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$.

كما هو الحال في المستوى الإحداثي، يمكن إيجاد قياس الزاوية $\theta$ بين متجهين غير صفريين $\vec{v}$ و$\vec{w}$ في الفضاء باستعمال العلاقة: $\vec{v}\cdot\vec{w}=|\vec{v}||\vec{w}|\cos\theta$ وبقسمة الطرفين على حاصل ضرب المقدارين، ثم استعمال معكوس جيب التمام، نحصل على صيغة مباشرة لقياس الزاوية.

قياس الزاوية بين متجهين: إذا كان $\vec{v}$ و$\vec{w}$ متجهين غير صفريين، فإن قياس الزاوية $\theta$ بينهما: $\theta = \cos^{-1}\left(\frac{\vec{v} \cdot \vec{w}}{|\vec{v}| |\vec{w}|}\right)$ حيث $|\vec{v}|$ هو مقدار المتجه.

بما أن المقدارين $|\vec{v}|$ و$|\vec{w}|$ موجبان، فإن إشارة $\cos\theta$ هي إشارة ناتج الضرب القياسي نفسها، لذا يُستنتج نوع الزاوية من إشارة الناتج قبل حساب قياسها:

1. منفرجة: إذا كان $\vec{v} \cdot \vec{w} < 0$.
2. حادة: إذا كان $\vec{v} \cdot \vec{w} > 0$.
3. قائمة: إذا كان $\vec{v} \cdot \vec{w} = 0$، أي أن المتجهين متعامدان.

شرط التعامد: إذا كان ناتج الضرب القياسي لمتجهين غير صفريين صفرًا، فإن الزاوية بينهما قائمة. فمثلًا، المتجهان $5\hat{i}+4\hat{j}+8\hat{k}$ و$4\hat{i}+3\hat{j}-4\hat{k}$ متعامدان؛ لأن $5(4)+4(3)+8(-4)=20+12-32=0$.

يخطئ بعض الطلبة في حساب المقدار؛ تأكد من تربيع جميع الإحداثيات (بما فيها السالبة) تحت الجذر للحصول على قيمة موجبة دائماً للمقدار.

خطوات إيجاد قياس الزاوية بين متجهين

1. نجد مقدار كل من المتجهين، مثل: $|\vec{v}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}$.
2. نجد ناتج الضرب القياسي $\vec{v}\cdot\vec{w}$.
3. نعوّض القيم الناتجة في صيغة قياس الزاوية، ثم نستعمل الآلة الحاسبة.

فمثلًا، للمتجهين $\vec{v}=\langle 5,-2,1\rangle$ و$\vec{w}=\langle -3,1,4\rangle$: المقداران $\sqrt{30}$ و$\sqrt{26}$، والضرب القياسي $-13$ وهو سالب، فالزاوية منفرجة، ومنه $\theta=\cos^{-1}\left(\frac{-13}{\sqrt{780}}\right)\approx 117.7^\circ$.

يتحدد اتجاه المستقيم في الفضاء بأي متجه يوازيه، ويُسمى متجه اتجاه المستقيم. لذا يمكن إيجاد قياس الزاوية بين مستقيمين في الفضاء عن طريق إيجاد قياس الزاوية بين متجهي اتجاهيهما باستعمال الضرب القياسي. ففي المعادلة المتجهة $\vec{r}=\langle 6,-3,4\rangle+t\langle 8,2,-3\rangle$ مثلًا، متجه الاتجاه هو $\langle 8,2,-3\rangle$، أي المتجه المضروب في الوسيط $t$.

ويمكن أيضًا إيجاد قياس الزاوية بين مستقيمين متخالفين. فإذا كان المستقيمان $l$ و$m$ متخالفين، يُزاح المستقيم $m$ إلى مستقيم $m'$ يوازيه ويقطع $l$؛ فتكون الزاوية بين $l$ و$m$ هي الزاوية بين اتجاه $l$ واتجاه $m'$، واتجاه $m'$ هو اتجاه $m$ نفسه.

إذا تقاطع مستقيمان غير متعامدين، تنتج من تقاطعهما زاويتان حادتان متقابلتان بالرأس، وزاويتان منفرجتان متقابلتان بالرأس. ونعتمد الزاوية الحادة قياسًا للزاوية بين المستقيمين.

إيجاد الزاوية الحادة: إذا نتجت معك زاوية منفرجة (أكبر من 90) عند حساب الزاوية بين اتجاهي المستقيمين، قم بطرحها من 180 للحصول على الزاوية الحادة المطلوبة.

خطوات الحل:

• استخراج متجهي الاتجاه $\vec{v}$ و $\vec{w}$ من معادلتي المستقيمين.
• إيجاد ناتج الضرب القياسي ومقدار كل من المتجهين.
• تطبيق صيغة قياس الزاوية بين متجهين.
• إذا كان الضرب القياسي سالبًا، فالزاوية بين الاتجاهين منفرجة، والزاوية بين المستقيمين هي المكملة لها.

تطبيق: الزاوية الحادة بين مستقيمين

مثال: إذا كانت $\vec{r}=\langle 3,-2,1\rangle+t\langle 2,-5,-1\rangle$ معادلة متجهة للمستقيم $l_1$، وكانت $\vec{r}=\langle 5,3,0\rangle+u\langle 1,0,-3\rangle$ معادلة متجهة للمستقيم $l_2$، فأوجد قياس الزاوية الحادة بين المستقيمين إلى أقرب درجة.

1. متجها الاتجاه: $\vec{v}=\langle 2,-5,-1\rangle$ و$\vec{w}=\langle 1,0,-3\rangle$.
2. الضرب القياسي: $\vec{v}\cdot\vec{w}=2(1)+(-5)(0)+(-1)(-3)=5$.
3. المقداران: $|\vec{v}|=\sqrt{2^2+(-5)^2+(-1)^2}=\sqrt{30}$ و$|\vec{w}|=\sqrt{1^2+0^2+(-3)^2}=\sqrt{10}$.
4. $\theta=\cos^{-1}\left(\frac{5}{\sqrt{30}\times\sqrt{10}}\right)=\cos^{-1}\left(\frac{5}{\sqrt{300}}\right)\approx 73^\circ$.

بما أن الضرب القياسي موجب، فالزاوية حادة مباشرة، ولا حاجة إلى طرحها من $180^\circ$.

إذا عُلمت إحداثيات رؤوس مثلث في الفضاء، يمكن استعمال الضرب القياسي لإيجاد مساحته. نحدد أولًا متجهين يمثلان ضلعين في المثلث لهما نقطة البداية نفسها، ثم نجد طولي هذين الضلعين باستعمال صيغة مقدار المتجه، ثم نجد قياس الزاوية المحصورة بينهما. عندئذ نجد المساحة بقانون الجيب: مساحة المثلث تساوي نصف ناتج ضرب طولي أي ضلعين فيه مضروبًا في جيب الزاوية المحصورة بينهما.

في المثلث $ABC$ الذي تقابل أضلاعه $a, b, c$ الزوايا $A, B, C$ على الترتيب: $Area=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}ab\sin C$

مساحة المثلث بالمتجهات: $Area = \frac{1}{2} |\vec{AB}| |\vec{AC}| \sin \theta$ حيث $\theta$ هي الزاوية المحصورة بين الضلعين $\vec{AB}$ و $\vec{AC}$.

تطبيق: مساحة مثلث رؤوسه معلومة

مثال: أوجد مساحة المثلث $EFG$ الذي إحداثيات رؤوسه $E(2,1,-1)$ و$F(5,1,7)$ و$G(6,-3,1)$.

1. نحدد متجهين نقطة بدايتهما $E$: $\vec{EF}=\langle 5-2, 1-1, 7-(-1)\rangle=\langle 3,0,8\rangle$ و$\vec{EG}=\langle 6-2, -3-1, 1-(-1)\rangle=\langle 4,-4,2\rangle$.
2. المقداران: $|\vec{EF}|=\sqrt{3^2+0^2+8^2}=\sqrt{73}$ و$|\vec{EG}|=\sqrt{4^2+(-4)^2+2^2}=6$.
3. الضرب القياسي: $\vec{EF}\cdot\vec{EG}=3(4)+0(-4)+8(2)=28$.
4. الزاوية: $\theta=\cos^{-1}\left(\frac{28}{6\sqrt{73}}\right)\approx 56.9^\circ$.
5. المساحة: $Area=\frac{1}{2}(\sqrt{73})(6)\sin 56.9^\circ\approx 21.5$ وحدة مربعة.

مسقط العمود والبعد بين نقطة ومستقيم

إذا كان $l$ مستقيمًا و$P$ نقطة لا تقع عليه، ورُسم مستقيم عمودي على $l$ يمر بالنقطة $P$، فإن نقطة تقاطع هذا المستقيم مع $l$ تُسمى مسقط العمود (foot of the perpendicular) من النقطة $P$ على المستقيم $l$، ويُرمز إليها بالحرف $F$. ويمثل طول القطعة $\overline{PF}$ البعد بين النقطة $P$ والمستقيم $l$، وهو أقصر مسافة بين النقطة والمستقيم.

الفكرة الأساسية أن المتجه $\vec{PF}$ عمودي على متجه اتجاه المستقيم $\vec{v}$، وناتج الضرب القياسي لمتجهين متعامدين يساوي صفرًا. وبهذه الفكرة يمكن إيجاد أقصر مسافة في الفضاء بين أي مستقيم عُلمت معادلته المتجهة ونقطة لا تقع عليه عُلمت إحداثياتها.

لتحديد مسقط العمود $F$ من نقطة $P$ على مستقيم $l$:

1. نكتب إحداثيات $F$ بدلالة وسيط المستقيم $t$، لأن $F$ تقع على $l$.
2. نجد المتجه $\vec{PF}$ بدلالة $t$.
3. نستخدم شرط التعامد $\vec{PF} \cdot \vec{v} = 0$ لإيجاد قيمة $t$.
4. نعوض قيمة $t$ لإيجاد إحداثيات $F$، ثم نجد مقدار $\vec{PF}$ الذي يمثل البعد.

تخيل مسقط العمود كأقصر طريق يسلكه شخص من نقطة ليصل إلى شارع مستقيم؛ هذا الطريق يجب أن يكون عمودياً تماماً.

تطبيق: مسقط العمود والبعد

مثال: إذا كانت $\vec{r}=16\hat{i}+11\hat{j}-3\hat{k}+t(5\hat{i}+7\hat{j}-3\hat{k})$ معادلة متجهة للمستقيم $l$، والنقطة $P\left(2,0,\frac{10}{3}\right)$ لا تقع عليه، فأوجد مسقط العمود من $P$ على $l$، والبعد بين $P$ و$l$.

1. متجه الاتجاه $\vec{v}=\langle 5,7,-3\rangle$، وبما أن $F$ تقع على $l$ فإن $F(16+5t, 11+7t, -3-3t)$.
2. $\vec{PF}=\left\langle 14+5t, 11+7t, -\frac{19}{3}-3t\right\rangle$.
3. شرط التعامد $\vec{PF}\cdot\vec{v}=0$: $5(14+5t)+7(11+7t)-3\left(-\frac{19}{3}-3t\right)=0$، أي $166+83t=0$، ومنه $t=-2$.
4. بالتعويض: $F(6,-3,3)$.
5. $\vec{PF}=\left\langle 4,-3,-\frac{1}{3}\right\rangle$، إذن $|\vec{PF}|=\sqrt{16+9+\frac{1}{9}}=\frac{\sqrt{226}}{3}\approx 5.01$ وحدة.

يمكن استعمال المتجهات لتحديد قياسات بعض الزوايا والأطوال لأضلاع تقع في مستويات مائلة ضمن أشكال ثلاثية الأبعاد، إذا عُلمت إحداثيات رؤوسها. ويُكتب قياس الزاوية $AEC$ بالرمز $m\angle AEC$، حيث الحرف $m$ اختصار للكلمة الإنجليزية measure التي تعني القياس.

لإيجاد قياس زاوية في مجسم، نحدد متجهين يخرجان من رأس الزاوية؛ فالزاوية $AEC$ رأسها $E$، لذا نستعمل $\vec{EA}$ و$\vec{EC}$، ثم نطبق صيغة قياس الزاوية بين متجهين. وإذا كان ناتج الضرب القياسي صفرًا، تكون الزاوية قائمة.

مثال: إثبات زاوية قائمة داخل هرم

الهرم $ABCDE$ قاعدته المربع $ABCD$، وإحداثيات رؤوسه $A(1,1,-1)$ و$B(9,-1,-3)$ و$C(9,-7,3)$ و$D(1,-5,5)$ و$E(8,3,7)$، والنقطة $M$ مركز المربع. أثبت أن $m\angle AME=90^\circ$.

1. إحداثيات $M$: مركز المربع هو نقطة منتصف القطر $\overline{AC}$، إذن $M\left(\frac{1+9}{2}, \frac{1+(-7)}{2}, \frac{-1+3}{2}\right)=M(5,-3,1)$.
2. متجهان من الرأس $M$: $\vec{MA}=\langle 1-5, 1-(-3), -1-1\rangle=\langle -4,4,-2\rangle$ و$\vec{ME}=\langle 8-5, 3-(-3), 7-1\rangle=\langle 3,6,6\rangle$.
3. الضرب القياسي: $\vec{MA}\cdot\vec{ME}=-4(3)+4(6)-2(6)=-12+24-12=0$.

بما أن $\vec{MA}\cdot\vec{ME}=0$، فإن $\vec{MA}$ و$\vec{ME}$ متعامدان، لذا $m\angle AME=90^\circ$.

طريقة أخرى لإيجاد M: يمكن إيجاد $M$ أيضًا بوصفها نقطة منتصف القطر $\overline{BD}$؛ فمنتصف $B(9,-1,-3)$ و$D(1,-5,5)$ هو $(5,-3,1)$ كذلك، وهذا تحقق سريع من الحل.

تطبيق: قياس الزاوية EDB

مثال: في الهرم $ABCDE$ نفسه، أوجد $m\angle EDB$ إلى أقرب عُشر درجة.

1. رأس الزاوية $D(1,-5,5)$، لذا: $\vec{DE}=\langle 8-1, 3-(-5), 7-5\rangle=\langle 7,8,2\rangle$ و$\vec{DB}=\langle 9-1, -1-(-5), -3-5\rangle=\langle 8,4,-8\rangle$.
2. $\vec{DE}\cdot\vec{DB}=7(8)+8(4)+2(-8)=56+32-16=72$.
3. $|\vec{DE}|=\sqrt{7^2+8^2+2^2}=\sqrt{117}$ و$|\vec{DB}|=\sqrt{8^2+4^2+(-8)^2}=12$.
4. $m\angle EDB=\cos^{-1}\left(\frac{72}{12\sqrt{117}}\right)\approx 56.3^\circ$.