المستقيمات في الفضاء

المتجهان المتوازيان هما متجهان لهما الاتجاه نفسه أو عكسه، وليس شرطًا أن يكون لهما المقدار نفسه. فالمتجهات $3\vec{v}$ و $\frac{1}{2}\vec{v}$ و $-\vec{v}$ كلها توازي $\vec{v}$؛ الأولان في اتجاهه، والثالث في عكس اتجاهه.

توازي المتجهات: يكون المتجهان $\vec{u}$ و $\vec{v}$ متوازيين ($\vec{u} \parallel \vec{v}$) إذا وفقط إذا وُجد عدد حقيقي $k \neq 0$ بحيث: $\vec{v} = k\vec{u}$.

• إذا كان $k > 0$، يكون للمتجهين الاتجاه نفسه.
• إذا كان $k < 0$، يكون للمتجهين اتجاهان متعاكسان.
• في الصورة الإحداثية، إذا كان كل من $v_1, v_2, v_3$ لا يساوي صفرًا، فإن شرط التوازي هو تساوي النسب: $\frac{u_1}{v_1} = \frac{u_2}{v_2} = \frac{u_3}{v_3}$.

متى يكون المتجهان غير متوازيين؟

للحكم على التوازي نكتب كل متجه بالصورة الإحداثية ثم نبحث عن عدد حقيقي واحد يحوّل أحدهما إلى الآخر. فإذا كانت النقاط $A(-2, 5, -3)$ و $B(1, -3, 2)$ و $C(3, -14, 8)$ و $D(-3, 2, -2)$، نجد:

1. $\vec{AC} = \langle 3-(-2), -14-5, 8-(-3) \rangle = \langle 5, -19, 11 \rangle$.
2. $\vec{BD} = \langle -3-1, 2-(-3), -2-2 \rangle = \langle -4, 5, -4 \rangle$.
3. لا يوجد عدد حقيقي $k$ يُضرب فيه أحد المتجهين لينتج الآخر، أي إن $\vec{AC} \neq k\vec{BD}$؛ إذن المتجهان غير متوازيين.

توازي القطع المستقيمة واستقامة النقاط

يُستعمل تعريف توازي المتجهات لإثبات علاقات التوازي في الأشكال الهندسية. فلإثبات توازي قطعتين مستقيمتين في وضع عام، يكفي إثبات توازي متجهين يقعان على هاتين القطعتين، وذلك بكتابة أحدهما في صورة الآخر مضروبًا في عدد حقيقي.

لا يمكن الاستناد إلى رسم النقاط في الفضاء لتحديد إذا كانت على استقامة واحدة؛ لذا تُستعمل المتجهات طريقةً جبرية. ويكفي إثبات وجود متجهين متوازيين بينهما نقطة مشتركة، تكون النقاط الثلاث نقاط بداية أو نهاية لهما.

لإثبات أن ثلاث نقاط $O, C, D$ تقع على استقامة واحدة، نثبت أن $\vec{OD} \parallel \vec{OC}$، أي إن $\vec{OD} = k\vec{OC}$، ثم نذكر أن للمتجهين نقطة البداية نفسها $O$. إثبات التوازي وحده دون ذكر النقطة المشتركة لا يكفي.

خلافاً للمستوى ثنائي الأبعاد، لا يمكن استخدام صيغة الميل والمقطع $y=mx+b$ في الفضاء، لذا نلجأ للمتجهات لوصف المسار المستقيم.

إذا مرّ المستقيم $l$ بالنقطة $P_0$ موازيًا المتجه $\vec{v}$، وكانت $P$ أي نقطة عليه، فإن $\vec{P_0P} = t\vec{v}$ حيث $t$ عدد حقيقي. ووفقًا لقاعدة المثلث لجمع المتجهات:

وبكتابة $\vec{r}$ لمتجه موقع $P$ و $\vec{r_0}$ لمتجه موقع $P_0$ نحصل على $\vec{r} = \vec{r_0} + t\vec{v}$.

المعادلة المتجهة للمستقيم: هي المعادلة $\vec{r} = \vec{r_0} + t\vec{v}$، حيث $\vec{r_0}$ هو متجه موقع نقطة معلومة يمر بها المستقيم، و $\vec{v}$ هو متجه اتجاه المستقيم.

• $\vec{r}$: متجه موقع أي نقطة عامة $(x, y, z)$ على المستقيم.
• $t$: المتغير الوسيط (Parameter)، وكل قيمة لـ $t$ تعطي نقطة وحيدة.
• عندما $t = 0$ نحصل على النقطة $P_0$ نفسها، والقيم الموجبة لـ $t$ تحدد نقاطًا في اتجاه $\vec{v}$ بدءًا من $P_0$، والقيم السالبة تحدد نقاطًا في عكس اتجاه $\vec{v}$ بدءًا من $P_0$.
• متجه الاتجاه $\vec{v}$ ليس وحيداً؛ أي مضاعف له $k\vec{v}$ حيث $k \neq 0$ يصلح كمتجه اتجاه أيضاً.

يعتقد البعض أن المعادلة المتجهة للمستقيم وحيدة. في الواقع، تتغير المعادلة بتغير النقطة المختارة أو بتغير طول متجه الاتجاه، لكنها جميعاً تمثل المستقيم نفسه.

معادلة المستقيم المار بنقطتين

في الفضاء تحدد أي نقطتين على المستقيم اتجاهه، ويُكتب المستقيم المار بهما بخطوتين:

1. نجد الصورة الإحداثية للمتجه الذي طرفاه النقطتان، بطرح الإحداثيات المتناظرة، بصرف النظر عن النقطة التي يبدأ منها.
2. نعوّض متجه موقع إحدى النقطتين وهذا المتجه في صيغة المعادلة المتجهة.

يُفضَّل تبسيط المتجه بالقسمة على العامل المشترك الأكبر لإحداثياته؛ لأن المهم هو الاتجاه لا المقدار. فمثلًا $\langle 14, 7, -28 \rangle$ يُبسَّط بالقسمة على 7 إلى $\langle 2, 1, -4 \rangle$.

هل تقع النقطة على المستقيم؟

لكل قيمة من قيم $t$ نقطة وحيدة على المستقيم. وللتحقق من وقوع نقطة عليه:

1. نعوّض متجه موقعها مكان $\vec{r}$.
2. نساوي الإحداثيات المتناظرة، فنحصل على ثلاث معادلات.
3. نحل كل معادلة لـ $t$: إذا كان الحل نفسه في الثلاث فالنقطة تقع على المستقيم، وإذا نتجت قيم مختلفة للمتغير $t$ فلا تقع عليه.

يكون المستقيمان في المستوى الإحداثي إما متوازيين وإما متقاطعين. أما في الفضاء فتوجد حالة ثالثة: أن يكونا متخالفين (skew)؛ أي غير متوازيين وغير متقاطعين، مثل مستقيمين يمر كل منهما بحرف من أحرف مكعب، والحرفان غير متوازيين ولا يلتقيان.

المستقيمات المتخالفة: هي حالة خاصة بالفضاء ثلاثي الأبعاد، حيث لا يلتقي المستقيمان أبداً ولا يجمعهما مستوى واحد، بخلاف التوازي الذي يجمعهما فيه مستوى.

شرط توازي مستقيمين

إذا كانت $\vec{r} = \vec{a} + t\vec{b}$ معادلة المستقيم $l_1$، و $\vec{r} = \vec{c} + u\vec{d}$ معادلة المستقيم $l_2$، فإن $l_1 \parallel l_2$ إذا وفقط إذا كان $\vec{b} \parallel \vec{d}$. ونستعمل رمزين مختلفين للمتغير الوسيط لأن كلًّا منهما يخص مستقيمه.

خطوات تحديد العلاقة:

1. التوازي: قارن متجهات الاتجاه $\vec{b}$ و $\vec{d}$. إذا كان $\vec{b} = k\vec{d}$ فهما متوازيان.
2. التقاطع: إذا لم يكونا متوازيين، نساوي معادلات المستقيمين $\vec{r_1} = \vec{r_2}$ ونحل نظام المعادلات الناتج للوسيطين $t$ و $u$.
3. التخالف: إذا لم يوجد حل مشترك لنظام المعادلات (تناقض في المعادلة الثالثة) ولم يكونا متوازيين، فهما متخالفان.

عند فحص التقاطع، استخدم أول معادلتين لإيجاد قيم $t$ و $u$، ثم يجب تعويضهما في المعادلة الثالثة. إذا تحقق التساوي فهما متقاطعان، وإذا لم يتحقق فهما متخالفان.

بعد التأكد من التقاطع، نجد نقطة التقاطع بتعويض قيمة $t$ في معادلة $l_1$ أو قيمة $u$ في معادلة $l_2$؛ فالطريقتان تعطيان النقطة نفسها.

المستقيمات بوصفها مسارات حركة

يمكن النظر إلى المعادلة $\vec{r} = \vec{r_0} + t\vec{d}$ بوصفها حركة جسم في مسار مستقيم، تحدد موقعه في اللحظة $t$. وإذا مثّل مستقيمان مساري جسمين، يتحرك كل منهما بزمن خاص به؛ لذا فإن تقاطع المستقيمين لا يعني بالضرورة اصطدام الجسمين، كما في الطائرات التي تحلّق في مسارات مستقيمة خلال العروض الجوية.