التوزيع الطبيعي

• تعرّف منحنى التوزيع الطبيعي، وخصائصه.
• إيجاد احتمالات المُتغيّر العشوائي الطبيعي.

من المدرّج التكراري إلى المنحنى الطبيعي

مسألة اليوم: إذا كان الزمن الذي تستغرقه الكهرباء في بطارية هاتف محمول قبل أن تنفد تمامًا يتبع توزيعًا طبيعيًا، وسطه الحسابي 36 ساعة، وانحرافه المعياري 5 ساعات، فما احتمال أن تعمل البطارية مدة 27 ساعة على الأقل؟

• المدرجات التكرارية تُستعمل لتمثيل البيانات العددية المُتّصلة بيانيًا.
• وهذه المدرجات تُبيّن كتل مجموعة من الأشخاص اختيروا عشوائيًا من مدينة ما:

• ألاحظ أنّ زيادة حجم العينة $n$، وتقليص أطوال الفئات، يجعلان المدرج التكراري أكثر تناسقًا وقربًا من المنحنى المرسوم باللون الأحمر، الذي يُسمّى المنحنى الطبيعي ⁦(normal curve)⁩.

• بوجه عام، للمنحنى الطبيعي خصائص تُميّزه عن غيره من المنحنيات الأخرى؛ ما يُفسّر سبب كثرة استعماله في التطبيقات الحياتية والعلمية المختلفة.

نعود إلى مسألة اليوم

ما الذي يميّز المنحنى الطبيعي؟

• خصائص المنحنى الطبيعي: يمتاز المنحنى الطبيعي بالخصائص الآتية:
• منحنى مُتّصل له شكل الجرس.
• تطابق الوسط الحسابي والوسيط والمنوال، وتوسّطها البيانات.
• تماثل البيانات حول الوسط الحسابي.
• اقتراب المنحنى عند طرفيه من المحور $x$ من دون أن يمسّه.
• المساحة الكلية أسفل المنحنى هي 1.

• الشكل والموقع: يعتمد شكل المنحنى الطبيعي وموقعه على الوسط الحسابي $\mu$، والانحراف المعياري $\sigma$ للبيانات.
• في الشكل ⁦(a)⁩: التغيّر في الوسط الحسابي يؤدّي إلى انسحاب أفقي للمنحنى الطبيعي.
• وفي الشكل ⁦(b)⁩: زيادة الانحراف المعياري تجعل المنحنى الطبيعي أكثر انتشارًا وتوسّعًا.

القاعدة التجريبية: أين تقع معظم البيانات؟

• المساحة التي تقع بين قيمتين من البيانات أسفل المنحنى الطبيعي تُمثّل النسبة المئوية للبيانات الواقعة بين هاتين القيمتين.
• ويُمكن استعمال القاعدة التجريبية ⁦(empirical rule)⁩ لتحديد المساحة التي تقع بين بعض القيم من البيانات.

• 68% من البيانات تقريبًا تقع بين $\mu-\sigma$ و $\mu+\sigma$.
• أي أنّ 68% من البيانات لا يزيد البُعد بينها وبين الوسط الحسابي على قيمة الانحراف المعياري.
• 95% من البيانات تقريبًا تقع بين $\mu-2\sigma$ و $\mu+2\sigma$.
• أي أنّ 95% من البيانات لا يزيد البُعد بينها وبين الوسط الحسابي على مثلي قيمة الانحراف المعياري.
• 99.7% من البيانات تقريبًا تقع بين $\mu-3\sigma$ و $\mu+3\sigma$.
• أي أنّ 99.7% من البيانات لا يزيد البُعد بينها وبين الوسط الحسابي على ثلاثة أمثال قيمة الانحراف المعياري.

فكيف نستعمل هذه النسب في مسألة عن علامات الطلبة؟

القاعدة التجريبية في علامات الطلبة

• الفرع 1:

• الفرع 2:

• الفرع 3:

• الفرع 4:

إذا اتخذ التمثيل البياني لأطوال مجموعة من طلبة الصف السابع شكل المنحنى الطبيعي، فأجد كُلًّا ممّا يأتي:

$a)$ النسبة المئوية للطلبة الذين تقع أطوالهم فوق الوسط الحسابي.

$b)$ النسبة المئوية للطلبة الذين لا يزيد البُعد بين أطوالهم والوسط الحسابي على انحراف معياري واحد.

$c)$ النسبة المئوية للطلبة الذين تقلّ أطوالهم عن الوسط الحسابي بمقدار لا يزيد على انحرافين معياريين.

$d)$ النسبة المئوية للطلبة الذين تقلّ أطوالهم عن الوسط الحسابي بمقدار لا يزيد على ثلاثة انحرافات معيارية، أو تزيد عليه بمقدار لا يزيد على انحرافين معياريين.

المتغيّر العشوائي: منفصل أم متّصل؟

• المتغيّر العشوائي هو متغيّر تعتمد قيمه على نواتج تجربة عشوائية.
• نوعان: المتغيّر العشوائي المُنفصل ⁦(discrete random variable)⁩، والمتغيّر العشوائي المتّصل ⁦(continuous random variable)⁩.

• مثال: عدد السيارات التي ستمرّ أمام إحدى المدارس خلال الساعة القادمة.

• مثال: سرعة أوّل سيارة ستمرّ أمام إحدى المدارس خلال الساعة القادمة.

التوزيع الطبيعي: تعريفه ورمزه

• حيث $\mu$: الوسط الحسابي.
• $\sigma$: الانحراف المعياري.

• وبما أنّ المساحة أسفل المنحنى الطبيعي هي 1، فإنّه يُمكن إيجاد احتمال بعض قيم المُتغيّر العشوائي الطبيعي باستعمال القاعدة التجريبية.
• بافتراض أنّ المساحة أسفل المنحنى كاملة هي احتمال الحادث الأكيد.

مثال من الحياة: أقطار البراغي في مصنع

صناعة: إذا دلّ المُتغيّر العشوائي $X$ على طول رأس مثقب (بالمليمتر) تُنتجه آلة في مصنع، حيث: $X \sim N(30, 0.4^2)$، فأجد كُلًّا ممّا يأتي:

$a)$ $P(X > 30)$

$b)$ $P(29.6 < X < 30.4)$

$c)$ $P(29.2 < X < 30)$

$d)$ $P(29.2 < X < 30.4)$

التوزيع الطبيعي المعياري وقراءة الجدول

• الشكل: منحنى التوزيع الطبيعي المعياري مُتماثل حول الوسط الحسابي 0.
• المنطقة المُظلّلة: مساحتها تُمثّل احتمال قيم المُتغيّر العشوائي المعياري $Z$ التي تقلّ عن (أو تساوي) القيمة المعيارية $z$، أي $P(Z \le z)$.

• إذن، $P(Z < z)$ تساوي المساحة التي تقع يسار القيمة المعيارية $z$، وهي المساحة التي يُمكن إيجادها باستعمال جدول التوزيع الطبيعي المعياري.
• الجدول: العمود الأوّل جهة اليسار يحتوي منزلة أجزاء العشرة في قيمة $z$ المعيارية، والصف الأوّل يحتوي منزلة أجزاء المئة.
• القيمة المُقابلة لكلّ من هاتين القيمتين في الجدول تُمثّل المساحة التي تقع يسار قيمة $z$ المعيارية، أو $P(Z < z)$.

• فمثلاً، لإيجاد المساحة التي تقع يسار $z = 0.35$، أجد القيمة المُقابلة لكلّ من 0.3 في العمود الأوّل، و 0.05 في الصف الأوّل.
• وهذه القيمة تساوي $P(Z < 0.35) = 0.6368$.

• ملحوظة: توجد نسخة كاملة من جدول التوزيع الطبيعي المعياري في المُلحق المُرفق بنهاية الكتاب.

وكيف نجد احتمالات أخرى غير ما يعطيه الجدول مباشرة؟

أربع خصائص تحوّل أي احتمال إلى قراءة من الجدول

• الجدول يُبيّن احتمال القيم التي تقلّ عن (أو تساوي) القيمة المعيارية $z$،
• ويُمكن أيضًا استعمال الخصائص الأساسية للتوزيع الطبيعي لإيجاد قيم الاحتمال لحالات مختلفة.
• إذا كان $Z \sim N(0, 1)$، فإنّ:

مثال: قراءة الجدول بالخصائص الأربع

باستعمال جدول التوزيع الطبيعي المعياري، أجد:

$a)$ $P(Z < 1.5)$

$b)$ $P(Z > 0.61)$

$c)$ $P(Z < -0.43)$

$d)$ $P(Z > -3.23)$

$e)$ $P(-1.4 < Z < 2.07)$

من أي توزيع طبيعي إلى التوزيع المعياري

• والآن سأتعلّم إيجاد احتمال أيّ مُتغيّر عشوائي طبيعي غير معياري $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ لأيّ قيمة، وذلك بتحويله إلى مُتغيّر عشوائي طبيعي معياري.
• طرح الوسط الحسابي من جميع قيم المُتغيّر العشوائي الطبيعي يجعل قيمة الوسط الحسابي 0 بدلًا من $\mu$،
• وقسمتها جميعًا على الانحراف المعياري تجعل قيمة الانحراف المعياري 1 بدلًا من $\sigma$، وبذلك يصبح منحنى التوزيع الطبيعي معياريًا.
• الصيغة الآتية تحوّل قيم التوزيع الطبيعي $x$ إلى قيم معيارية $z$:

• وبذلك يتحوّل المُتغيّر العشوائي $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ إلى $Z \sim N(0, 1)$، عندئذٍ يُمكن استعمال الجدول لإيجاد احتمال أيّ من قيمه.

مثال: نحوّل القيمة ثمّ نقرأ الجدول

إذا كان: $X \sim N(7, 3^2)$، فأجد كل احتمال ممّا يأتي باستعمال جدول التوزيع الطبيعي المعياري:

$a)$ $P(X < -2)$

$b)$ $P(X > 10)$

$c)$ $P(4 < X \le 13)$

مثال من الحياة: أطوال الرجال في سنّ العشرين

أطوال: توصّلت دراسة إلى أنّ أطوال النساء في إحدى المدن تتبع توزيعًا طبيعيًا، وسطه الحسابي $165\ \text{cm}$، وانحرافه المعياري $5\ \text{cm}$.

إذا اختيرت امرأة عشوائيًا، فأجد كُلًّا ممّا يأتي:

$a)$ احتمال أنّ يكون طول المرأة أقلّ من $162\ \text{cm}$.

$b)$ احتمال أنّ يكون طول المرأة أكثر من $171\ \text{cm}$.

$c)$ احتمال أنّ يكون طول المرأة بين $162\ \text{cm}$ و $171\ \text{cm}$.

من الاحتمال إلى القيمة: نقرأ الجدول بالعكس

• أحيانًا يكون الاحتمال معلومًا، وتكون قيمة المُتغيّر العشوائي $X$ هي المجهولة.
• عندئذٍ يُمكن استعمال جدول التوزيع الطبيعي المعياري بطريقة عكسية، وذلك بإيجاد قيمة $z$ التي تُحقّق الاحتمال،
• ثمّ استعمال الصيغة $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ لتحديد قيمة $x$ التي تُقابل القيمة المعيارية $z$.

مثال: أربع حالات لإيجاد القيمة من الاحتمال

كيف نعرف إشارة القيمة المعيارية في كل حالة من الحالات الأربع؟

إذا كان $X$ مُتغيّرًا عشوائيًا طبيعيًا، وسطه الحسابي $-3$، وانحرافه المعياري 4، فأجد قيمة $x$ التي تُحقّق الاحتمال المعطى في كلّ ممّا يأتي:

$a)$ $P(X < x) = 0.9877$

$b)$ $P(X < x) = 0.31$

$c)$ $P(X > x) = 0.9738$

$d)$ $P(X > x) = 0.2$

حين يكون المجهول الوسط الحسابي أو الانحراف المعياري

• في بعض المسائل يكون احتمال إحدى قيم المُتغيّر العشوائي الطبيعي معلومًا، في حين تكون قيمة الوسط الحسابي، أو الانحراف المعياري، أو كلاهما غير معلومة.
• وفي هذه الحالة أستعمل قِيَم الاحتمالات المعلومة لتحديد قيمة الوسط الحسابي، أو الانحراف المعياري للتوزيع الطبيعي.

يدلّ المُتغيّر العشوائي الطبيعي $X \sim N(4.5, \sigma^2)$ على كتل أكياس السُكّر (بالكيلوغرام) التي يُنتجها أحد المصانع.

إذا زادت كتلة 3% فقط منها على $4.8\ \text{kg}$، فأجد الانحراف المعياري لكتل أكياس السُكّر.