الزخم الزاوي

• أحسب الطاقة الحركية الدورانية لجسم.
• أعرف الزخم الزاوي لجسم.
• أثبت قانون حفظ الزخم الزاوي لنظام معزول.
• أعبر عن قانون حفظ الزخم الزاوي بمعادلة رياضية.

الزخم الزاوي: نظير الزخم الخطي في الدوران

للزخم الخطي نظير في الحركة الدورانية يسمى الزخم الزاوي.

الطاقة الدورانية: طاقة جسم يدور حول محور ثابت

• الطاقة الحركية الخطية لجسم ترتبط بحركته الانتقالية.
• الجسم الذي يدور حول محور ثابت لا ينتقل من مكان إلى آخر، ولكنه يمتلك طاقة حركية دورانية.

• في الشكل (23): جسم يدور حول محور ثابت (محور $y$) بسرعة زاوية ثابتة ($\omega$)، وتُحسب طاقته الحركية الدورانية ($KE_R$) بالعلاقة الآتية:

• حيث عزم القصور الذاتي ($I$) للجسم، والسرعة الزاوية ($\omega$) له.
• الوحدة: مثل أشكال الطاقة الأخرى؛ تُقاس الطاقة الحركية الدورانية بوحدة ⁦(J)⁩.
• ألاحظ التناظر بين الطاقة الحركية الخطية ($\frac{1}{2} m v^2$) والطاقة الحركية الدورانية ($\frac{1}{2} I \omega^2$)،
• حيث تُقابل الكميتان ($I, \omega$) في الحركة الدورانية الكميتين ($m, v$) في الحركة الخطية على الترتيب.

علام تعتمد الطاقة الحركية الدورانية لجسم؟ وما وحدة قياسها؟

في المثال 8؛ إذا تغير موقع محور الدوران للقرص، مع بقاء مقدار السرعة الزاوية ثابتًا، فهل تتغير الطاقة الحركية الدورانية؟ أوضح إجابتي.

• السرعة في الحركة الانتقالية تقابلها السرعة الزاوية في الحركة الدورانية، والكتلة يقابلها عزم القصور الذاتي.
• للزخم الخطي ($p$) نظير دوراني يُسمى الزخم الزاوي (⁦Angular momentum) (⁩$L$).

• مقدار الزخم الزاوي لجسم يتحرك حركة دورانية حول محور ثابت يُعطى بالعلاقة:

• اتجاه الزخم الزاوي باتجاه السرعة الزاوية المتجهة، ويُحدَّد بدوران الجسم:
• مع عقارب الساعة (قرص حول محور $z$، الشكل (24)): متجه الزخم الزاوي داخل إلى الصفحة باتجاه ($-z$).
• بعكس عقارب الساعة: متجه الزخم الزاوي خارج من الصفحة باتجاه ($+z$).

فكيف أحسب الزخم الزاوي لجسيم يدور وأحدد اتجاهه؟

1. المحور والدوران: أحدد محور الدوران واتجاه الدوران: مع عقارب الساعة أو بعكسها.
2. عزم القصور الذاتي: أحدد عزم القصور الذاتي للجسم حول هذا المحور.
3. المقدار: أحسب مقدار الزخم الزاوي بضرب عزم القصور الذاتي في السرعة الزاوية.
4. الاتجاه: أحدد الاتجاه بقاعدة قبضة اليد اليمنى، فأعرف إشارة الزخم الزاوي.

العزم والزخم الزاوي: القانون الثاني لنيوتن في الدوران

• القانون الثاني لنيوتن في الحركة الخطية: القوة المحصلة المؤثرة في جسم تساوي المعدل الزمني للتغير في زخمه الخطي ($\sum F = \frac{dp}{dt}$).
• ويمكن كتابة علاقة مماثلة في الحركة الدورانية بدلالة الزخم الزاوي كما يأتي:

• تماماً كما تسبب القوة المحصلة ($\sum F$) تغير الزخم الخطي ($dp$)، يسبب العزم المحصل ($\sum \tau$) تغير الزخم الزاوي ($dL$).
• عند حدوث تغير في الزخم الزاوي ($\Delta L$) خلال فترة زمنية ($\Delta t$) تُكتب العلاقة السابقة كما يأتي:

أوضح العلاقة بين العزم المحصل المؤثر في جسم والمعدل الزمني لتغير زخمه الزاوي. أفسر إجابتي.

الزخم الزاوي لكرة: المقدار والاتجاه والتغير

فماذا يحدث للزخم الزاوي إذا انعدم العزم المحصل؟

حفظ الزخم الزاوي: لماذا يدور المتزلج أسرع عند ضم ذراعيه؟

• قانون حفظ الزخم الخطي لنظام معزول: القوة المحصلة المؤثرة في النظام تساوي صفرًا.
• في الحركة الدورانية عندما يكون العزم المحصل المؤثر في جسم أو نظام صفرًا ($\sum \tau = 0$)؛ يكون الزخم الزاوي ثابتًا مع مرور الزمن، أي أن:

• إذا أُعيد توزيع كتلة النظام المعزول الذي يتحرك حركة دورانية؛ فإن عزم القصور الذاتي والسرعة الزاوية للنظام يتغيران بحيث يبقى الزخم الزاوي ثابتًا.

• المتزلج يدور حول محور عمودي على سطح الأرض ويمر بمركز كتلته؛ نتعامل معه على أنه نظام معزول.
• السبب: وزنه والقوة العمودية يؤثران في الاتجاه الرأسي، وعزم كل منهما حول محور الدوران يساوي صفرًا.
• الاحتكاك بين الزلاجات والجليد صغير؛ يمكن إهمال العزم الناتج عنه حول محور الدوران.
• الزخم الزاوي للمتزلج محفوظ ($I\omega = \text{constant}$).
• عندما يضم قدميه وذراعيه نحو جسده يقل عزم قصوره الذاتي؛ لذا يزداد مقدار سرعته الزاوية بحيث يبقى زخمه الزاوي ثابتًا.

1. النظام المعزول: أتحقق أن العزم المحصل المؤثر في النظام صفر، فيكون الزخم الزاوي محفوظًا.
2. قبل وبعد: أكتب الزخم الزاوي قبل التغير وبعده بدلالة عزم القصور الذاتي والسرعة الزاوية.
3. عزم القصور: أحسب عزم القصور الذاتي في الحالتين بجمع عزوم أجزاء النظام.
4. الحل: أساوي الزخم الزاوي قبل وبعد، وأحل لإيجاد السرعة الزاوية المطلوبة.

علام ينص قانون حفظ الزخم الزاوي؟