تطبيقات التكامل المحدود

مبنى نريد طلاء مدخله: كيف نقيس المساحة؟

الشكل المجاور يبين مبنى وزارة التربية والتعليم العالي الفلسطينية، يراد طلاء المنطقة المحددة بالألوان فوق مدخل المبنى

فإذا علمت أن المنحنى الأزرق يمثل تقريباً منحنى الاقتران $ق(س) = ٦ - ٣ س^٢$، فكيف يمكننا تحديد المساحة المراد طلاؤها؟

من شبه المنحرف إلى التكامل

نجرّب على اقتران بسيط، فنقارن المساحة بقيمة التكامل.

المساحة بين المنحنى ومحور السينات

ثلاث مسائل: مستقيم وقطع مكافئ وجيب

المساحة بين منحنيين

منحنيان يتقاطعان: قطعان ثم قيمة مطلقة

لوغاريتم، ثلاث نقاط تقاطع، وثابت مجهول

جرّب بنفسك: مساحات

احسب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران $ق(س) = جتا س$ ومحوري السينات والصادات والواقعة في الربع الأول.

جد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران $ق(س) = ٣ - س^٢$ والمستقيم المار بالنقطتين أ(٠ ، ٠) ، ب(١ ، ٢) ومحور الصادات والواقعة في الربع الأول.

احسب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران $ق(س) = (س^٢ - ٩)(س^٢ - ١)$ ومحور السينات الواقعة في الربع الثالث.

جد المساحة المحصورة بين منحنيي الاقترانين $ق(س) = هـ^س$ ، $ك(س) = \ln س$ والمستقيمين $ص = ١$ ، $س = -١$ ومحور السينات.

جد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيي الاقترانين $ق(س) = \sqrt{٢ - س}$ حيث $س \le ٢$ ، $ك(س) = -س$ ومحور السينات.

احسب المساحة المحصورة بين منحنيات الاقترانات $ق(س) = س^٢$ ، $هـ(س) = ٤$ ، $ك(س) = ٢ س$

من مبنى كروي إلى قاعدة الحجم

تمثل الصورة المقابلة أحد المباني الغريبة في العالم، والذي يأخذ شكلاً كروياً.

قاعدة حجم الجسم الدوراني

ثلاثة أجسام دورانية: منحنى مقلوب وقطع وجيب

نثبت قاعدة حجم المخروط بالتكامل

حجم جسم محصور بين منحنيين

إذا كان $(ق(س))^٢$ ، $(هـ(س))^٢$ اقترانين قابلين للتكامل في $[أ ، ب]$ وكان منحنى الاقتران $هـ(س)$ ، ومنحنى الاقتران $ق(س)$ يقعان على جهة واحدة من محور السينات، فإن حجم الجسم الناتج من دوران المنطقة المحصورة بينهما دورة كاملة حول محور السينات هو

جسمان بين منحنيين: أسّي وقطع

جرّب بنفسك: حجوم دورانية

احسب حجم الجسم الناتج من دوران المنطقة المحدودة بمنحنى الاقتران $ق(س) = ٤$ ومحوري السينات والصادات والمستقيم $س = ٥$ دورة كاملة حول محور السينات.

جد حجم الجسم الناتج من دوران المنطقة المحدودة بمنحنى الاقتران $ق(س) = \frac{٤}{\sqrt{س}}$ ومحور السينات والمستقيمين $س = ١$ ، $س = هـ^٢$ دورة كاملة حول محور السينات.

استخدم التكامل المحدود لإيجاد حجم الجسم الناتج من دوران المنطقة المحدودة بشبه المنحرف أ ب جـ د حيث $أ(٠ ، ٠)$ ، $ب(٣ ، ٠)$ ، $جـ(٣ ، ١)$ ، $د(٠ ، ٤)$ دورة كاملة حول محور السينات.

احسب حجم الجسم الناتج من دوران المنطقة المحدودة بمنحنيي الاقترانين $ق(س) = س^٢ + ٦$ ، $هـ(س) = ٥س$ دورة كاملة حول محور السينات.

جد حجم الجسم الناتج من دوران المنطقة المحدودة بمنحنى الاقتران $ق(س) = \text{لو}_هـ س$ ومحور السينات والمستقيم $س = هـ$ دورة كاملة حول محور السينات.

استخدم التكامل المحدود لإثبات أن حجم الاسطوانة الدائرية القائمة التي نصف قطرها (نق) وارتفاعها (ع) يساوي $\pi \text{نق}^٢ \text{ع}$.

جد حجم الجسم الناتج من دوران المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران $ق(س) = \frac{٤}{\sqrt{س^٢ - ١}}$ ومحور السينات والمستقيمين $س = ٢$ ، $س = ٣$ دورة كاملة حول محور السينات.

اختيار من متعدد: عشرة أسئلة على الوحدة

إذا كانت $\sigma_{١٠} = \{أ ، ١ ، \dots ، ١٧ ، ب\}$ تجزئة منتظمة للفترة $[أ ، ب]$، فما قيمة أ؟

• أ. صفر *

• ب. -١ *

• ج. -٢ *

• د. -٣

إذا كان $ق(س) = ٥$ معرفاً في الفترة $[١ ، ٢]$ وكانت $\sigma_ن$ تجزئة منتظمة للفترة $[١ ، ٢]$ فما قيمة $م(\sigma_ن ، ق)$؟

• أ. ٥ *

• ب. ١٠ *

• ج. ٢٠ *

• د. ٥٠

إذا كان $ق(س) = ٢س + ١$ معرفاً في الفترة $[١ ، ٢]$ وكانت $\sigma_ن$ تجزئة منتظمة للفترة $[١ ، ٢]$ فما قيمة $\lim_{ن \to \infty} م(\sigma_ن ، ق)$؟

• أ. ١ *

• ب. ٢ *

• ج. ٤ *

• د. غير موجودة

إذا كان $\int_{٢}^{٣} ق(س) \, د س = ٦$ ، $\int_{٢}^{٧} (٤ + ق(س)) \, د س = ٣٠$ ، فما قيمة $\int_{٣}^{٧} ٢ ق(س) \, د س$؟

• أ. ٨ *

• ب. ١٦ *

• ج. ٦٠ *

• د. ١٢

إذا كان $ق(س)$ اقتراناً متصلاً على مجاله وكان $\int ق(س) \, د س = \text{قا}^٢ س - \text{ظا}^٢ س + س^٢ + جـ$ ، فما قيمة $\int_{-١}^{٢} ق'(س) \, د س$؟

• أ. ٢ *

• ب. ٣ *

• د. ٦

ما قيمة $\int_{١}^{٢} \sqrt{س^٢ - ٢س + ١} \, د س$؟

• أ. $\frac{١}{٦}$ *

• ب. $\frac{١}{٣}$ *

• ج. $\frac{١}{٢}$ *

• د. ١

إذا كان $\int_{١}^{٢} \frac{س^٢ + ٢س + ١}{س + ٢} \, د س = أ$ ، $\int_{١}^{٢} \frac{س + ١}{س + ٢} \, د س = ب$ ، فما قيمة $أ + ب$؟

• أ. $\frac{١١}{٢}$ *

• ب. $\frac{٥}{٢}$ *

• ج. ١ *

• د. $\frac{١}{٢}$

إذا كان $ق(س)$ كثير حدود بحيث $ق'(س) = ٣س - ٢$ ، فما قيمة $ق(٣) - ق(-١)$؟

• أ. ٠ -

• ب. ٢ -

• ج. ٤ -

• د. ٨

إذا كان $ق(س) = س \text{لو}_هـ س$ ، فما قيمة $\int_{\frac{١}{٢}}^{\frac{هـ}{٢}} ق''(س) \, د س$؟

• أ. -١ *

• ب. ٠ *

• د. هـ

أسئلة الوحدة: تجزئة وتكامل ومساحة وحجم

إذا كانت $\sigma_{١٢}$ تجزئة منتظمة للفترة $[أ ، ب]$، وكان العنصر السابع فيها يساوي ١٢، والعنصر الرابع فيها يساوي ٧، فما قيم الثابتين أ ، ب؟

إذا كان ق ، هـ اقترانين معرفين في الفترة $[٢ ، ١٠]$ وكان $هـ(س) = ٣ق(س) + س$ بحيث $م(\sigma_٤ ، ق) = ٦$ ، جد $م(\sigma_٤ ، هـ)$ معتبراً $س_ر^* = س_ر$ علماً بأن $\sigma_٤$ تجزئة منتظمة للفترة $[٢ ، ١٠]$

استخدم تعريف التكامل المحدود لإيجاد $\int_{١}^{٥} ٣س \, د س$

أثبت أن : $٠ \le \int_{-٢}^{٢} \sqrt{٤ - س^٢} \, د س \le ٨$

إذا كان $ق(س)$ متصلاً على مجاله وكان $\int_{٠}^{س} ق(ص) \, د ص = س^٢ - \sqrt{س}$ ، فجد $ق(٤)$ ، $ق'(٤)$.

إذا كان $ت(س) = \begin{cases} ٢س^٢ + ٢\text{جـ}س & ، \, ٢ \le س \le ٣ \\ أ س - ب & ، \, ٣ < س \le ٥ \end{cases}$ ، هو الاقتران المكامل للاقتران المتصل $ق(س)$ في الفترة $[٢ ، ٥]$، جد:

• أ. قيم أ ، ب ، جـ

• ب. $\int_{٢}^{٤} ق(س) د س$

جد التكاملات الآتية:

• أ. $\int_١^٢ ٥٦(س - ٢)^٢ (س - ١)^٥ د س$

• ب. $\int_هـ^{هـ^٢} \text{لو}_هـ س د س$

• جـ. $\int_٣^٥ \frac{س + ٥}{س^٢ - س} د س$

• د. $\int_٠^٢ \sqrt{س^٤ + س^٢} د س$

• هـ. $\int_١^٢ \frac{١}{س^٢ \sqrt{س^٢ + ١}} د س$

إذا كان $ق(س)$ ، $هـ(س)$ اقترانين قابلين للتكامل على $[١ ، ٥]$ وكان $ق(س) \le هـ(س)$ لكل $س \in [١ ، ٥]$، أثبت أن: $\int_{٧}^{٣} ق(س - ٢) \, د س \ge \int_{٣}^{-١} هـ(س + ٢) \, د س$

احسب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيي الاقترانين $ق(س)$ ، $هـ(س)$ فيما يأتي :

• أ. $ق(س) = س + ٢$ ، $هـ(س) = \begin{cases} ٤ - س^٢ & ، \, س \le ٠ \\ ٤ - س & ، \, س > ٠ \end{cases}$

• ب. $ق(س) = ٢\text{جا}س$ ، $هـ(س) = ١$ في الفترة $[٠ ، \pi]$

إذا كان $\int_{١}^{٣} (\text{جا}^٢ س + هـ^س) \, د س = أ$ ، $\int_{١}^{٣} (\text{جتا}^٢ س) \, د س = ب$ ، فجد قيمة $أ + ب$.

جد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران $ق(س) = \frac{١}{٤} س^٢$ والمماس المرسوم له عند النقطة $(٤ ، ٤)$ ومحور السينات.

جد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران $ق(س) = \text{جتا}س$ ، والمستقيم $ص = ٣ - س$ والمحورين الإحداثيين.

انطلق جسيم في خط مستقيم من نقطة ثابتة (و) بحيث تعطى سرعته ع وفق العلاقة:

$ع(ن) = \begin{cases} ٥ن^٢ & ، \, ٠ \le ن \le ٢ \\ ٢٤ - ٢ن & ، \, ٢ < ن \le ١٢ \end{cases}$ بعد الجسيم عن النقطة (و) عندما ن = ٥ ثوان.

متى يتوقف الجسيم عن الحركة، وما المسافة المقطوعة عندئذ؟

إذا كان $ق'(س) = ق(س)$ ، $ق(س) \ne ٠$ ، جد:

$\int (ق(س))^ن \, د س$ قاعدة الاقتران $ق(س)$

إذا كان $\int_{٠}^{\frac{\pi}{٢}} \frac{\text{جا}٢س}{(س + ١)} \, د س = أ$ ، فما قيمة $\int_{٠}^{\pi} \frac{\text{جتا}س}{(س + ٢)^٢} \, د س$ بدلالة أ؟

جد حجم الجسم الناتج من دوران المنطقة المحصورة بين منحنى $س ص = ٤ + س^٢$ ومحور السينات والمستقيمين $س = ١$ ، $س = ٤$ دورة كاملة حول محور السينات.

جد حجم الجسم الناتج من دوران المنطقة المحصورة بين منحنى $ص_١ = \text{ظا}س$ ومنحنى $ص_٢ = \text{قا}س$ والمستقيمين $س = \frac{\pi}{٦}$ ، $س = \frac{\pi}{٣}$ دورة كاملة حول محور السينات.

جد حجم الجسم الناتج من دوران المنطقة المحصورة بين منحنيي الاقترانين $ق(س) = س^٣$ ، $هـ(س) = س$ دورة كاملة حول محور السينات.

في الشكل المجاور، احسب $\int_{-١}^{٢} س ق(س^٢ - ٣) \, د س$ علماً بأن $م_١ = ٤$ وحدات مربعة ، $م_٢ = ١٢$ وحدة مربعة