حل معادلات القيمة المطلقة ومتبايناتها

• فكرة الدرس: حلّ معادلات القيمة المُطلقة ومتبايناتها.

كيف نتخلّص من رمز القيمة المطلقة في معادلة؟

استعملت مريم ⁦8 g⁩ منْ مادّة كيميائيّة في تجربة علميّة. إذا كان الميزان المخبريّ الّذي استعملتْه مريم يحدّد الكتلة بهامش خطأً لا يتجاوز $\pm 0.1$ ⁦g⁩، فأكتب متباينة قيمة مطلقة تحدّد الكتلة الحقيقيّة للمادّة التي استعملتْها.

• القيمة المطلقة لكلّ من العدد ومعكوسه متساويتان.
• لذلك نحوّل المعادلة إلى معادلتين مرتبطتين بها لا تحتويان على رمز القيمة المطلقة.
• نجعل العبارة التي داخل القيمة المطلقة موجبة مرّة وسالبة مرّة أُخرى.

1. العزل: اعزل القيمة المطلقة في أحد طرفي المعادلة.
2. الحالتان: اكتب المعادلتين المرتبطتين: ما بداخلها يساوي العدد، ويساوي معكوسه.
3. الحلّ: حلّ كلًّا من المعادلتين، ثم اكتب مجموعة الحلّ.
4. السالب: إذا كانت القيمة المطلقة تساوي عددًا سالبًا فلا يوجد حلّ.

أحلّ كلّا من المعادلات الآتية، وأمثّل مجموعة الحلّ على خطّ الأعداد (إن أمكن):

a) $|x - 7| = 5$

b) $4|2x + 7| = 16$

c) $|x + 4| = -10$

ماذا تعني المسافة عن الصفر في متباينة؟

• فمثلًا، $|x| \leq 5$ هي متباينة قيمة مطلقة، وتعني أنّ المسافة بين $x$ و 0 أقلّ من أو تساوي 5.
• لذا فإنّ $x \leq 5$ و $x \geq -5$

• وبذلك، فإنّ مجموعة حلّ هذه المتباينة هي الفترة $[-5, 5]$.

كيف نحوّل «أصغر من» إلى متباينة مركّبة؟

• يمكن تحويل متباينة القيمة المطلقة التي تحتوي على الرمز (<) إلى متباينة مركّبة تحتوي على أداة الرّبط (و)، ثمّ حلّها.

أحلّ كلّا من المتباينات الآتية، وأمثّل مجموعة الحلّ على خطّ الأعداد (إن أمكن):

a) $|x - 2| \leq 1$

b) $|x + 7| + 10 < 2$

كيف نحلّ «أكبر من» بأداة الربط «أو»؟

• تعني متباينة القيمة المطلقة $|x| > 5$ أنّ المسافة بين $x$ و 0 أكبر من 5.
• لذا فإنّ $x > 5$ أو $x < -5$

• وبذلك، فإنّ مجموعة حلّ هذه المتباينة هي $(-\infty, -5) \cup (5, \infty)$
• يمكن تحويل متباينة القيمة المطلقة التي تحتوي على الرّمز (>) إلى متباينة مركّبة تحتوي على أداة الرّبط (أو)، ثمّ حلّ المتباينة المركّبة الناتجة.

1. العزل: اعزل القيمة المطلقة في أحد طرفي المتباينة.
2. الاتجاه: عند القسمة على عدد سالب، اعكس اتجاه رمز المتباينة.
3. المركّبة: اكتب المتباينة المركّبة: «و» مع أصغر من، و«أو» مع أكبر من.
4. الحلّ: حلّ المتباينة المركّبة واكتب الناتج بالفترات.
5. المقارنة: إذا تعارضت المتباينة مع كون القيمة المطلقة غير سالبة، فاحكم بلا حلّ أو بكلّ الأعداد.

a) $|x - 3| \geq 4$

b) $|10 - x| > -5$

كيف يُكتب هامش الخطأ في التصنيع بقيمة مطلقة؟

• يمكن استعمال المتباينات في كثير من التطبيقات الحياتيّة.

صناعة: إذا علمت أنّ طول القطر المثاليّ لأحد المكابس الأسطوانيّة في محرّكات السيّارات ⁦90 mm⁩، ويسمح أن يزيد طول هذا القطر أو يقلّ بمقدار لا يتجاوز ⁦0.008 mm⁩، فأكتب متباينة قيمة مطلقة أجد بها المدى المسموح به لطول قطر المكبس.

أعود إلى مسألة اليوم: أكتب متباينة قيمة مطلقة تحدّد الكتلة الحقيقيّة للمادّة التي استعملتها مريم.

تدرّب: معادلات ومتباينات وتطبيقات

1) $|x + 3| = 7$

2) $|x - 8| = 14$

3) $|-3x| = 15$

4) $|3x + 2| + 2 = 5$

5) $|2x - 4| - 8 = 10$

6) $-4|8 - 5x| = 16$

7) $|x + 8| \leq 3$

8) $|2x - 5| < 9$

9) $|3x + 1| > 8$

10) $|3x - 1| + 6 > 0$

11) $2|3x + 8| - 13 \leq -5$

12) $-3|2 - 4x| + 5 < -13$

13) $|6x + 2| < -4$

14) $3|5x - 7| - 6 < 24$

15) $|5x + 3| - 4 \geq 9$

16) أفاعي: تعيش معظم الأفاعي في بيئة تتراوح درجة حرارتها من ⁦75°F⁩ إلى ⁦90°F⁩، أكتب متباينة قيمة مطلقة تمثّل درجات حرارة البيئات التي لا تعيش فيها الأفاعي.

17) كرة قدم: إذا كانت الكتلة المثاليّة الموصى بها لكرة القدم ⁦430 g⁩، وكان مسموحًا أن تزيد على الكتلة المثاليّة أو تنقص عنها بمقدار ⁦20 g⁩، فأكتب معادلة قيمة مطلقة لإيجاد أكبر وأقلّ كتلة مسموح بها لكرة القدم، ثمّ أحلّها.

أكتشف الخطأ وأعبّر عن التمثيل بقيمة مطلقة

18) أكتشف الخطأ: مثّلت مريم مجموعة حلّ المتباينة $|2x - 3| > 5$ على خطّ الأعداد على النحو الآتي. هل كانت إجابتها صحيحة؟ أبرّر إجابتي.

تبرير: أكتب متباينة قيمة مطلقة تعبّر عن كلّ تمثيل على خطّ الأعداد ممّا يأتي، وأبرّر إجابتي:

19) التمثيل الأوّل على خطّ الأعداد

20) التمثيل الثاني على خطّ الأعداد

21) تبرير: يبيّن الشكل المجاور مثلّثًا ومستطيلًا الفرق بين مساحتيهما أقلّ من 2 وحدة مربّعة. أكتب متباينة قيمة مطلقة تمثّل الجملة السابقة وأحلّها، وأبرّر إجابتي.

22) تحدٍّ: أحلّ المتباينة المركّبة الآتية: $|x - 3| < 4$ and $|x + 2| > 8$