الاشتقاق

• إيجاد مشتقة اقتران القوّة باستعمال التعريف العام.
• اشتقاق اقتران القوّة.
• إيجاد معادلة المماس ومعادلة العمودي على المماس لمنحنى اقتران القوّة عند نقطة.

من ميل القاطع إلى المشتقة

إذا علمت أنّ النقطة $Q$ على منحنى الاقتران $y = 3x^2$ تبعد مسافة أفقية صغيرة مقدارها $h$ عن النقطة $P(x, 3x^2)$ كما يظهر في الشكل المجاور، فإنّ إحداثيتي النقطة $Q$ هما: $(x + h, 3(x + h)^2)$

• تمرّ $Q$ بالنقاط $Q_1, Q_2, Q_3$ في أثناء حركتها نحو $P$.
• وميل القواطع $PQ_1$ و $PQ_2$ و $PQ_3$ يقترب من ميل المماس عند النقطة $P$.
• وعندما تقترب $Q$ من $P$؛ فإنّ $h$ تصبح أصغر فأصغر، وعندها يُمكنني القول: إنّ $h$ تقترب من الصفر، وتُكتب على الصورة $h \to 0$.
• ومنه: يكون ميل المماس ($m$) عند النقطة $P$ يساوي نهاية $6x + 3h$ عندما $h \to 0$.

• تُسمى $6x$ مشتقة الاقتران $y = 3x^2$، ويُرمز إليها بالرمز $\frac{dy}{dx}$.
• إذن: إذا كان $y = 3x^2$ فإنّ $\frac{dy}{dx} = 6x$

هل نجرّب هذه الطريقة على اقتران آخر؟

أتحقق من فهمي: أجد مشتقة الاقتران $y = x^2 - 8$ باستعمال التعريف العام للمشتقة.

أتحقق من فهمي: أجد مشتقة الاقتران $f(x) = 4x^2 + 1$ باستعمال التعريف العام للمشتقة؛ عندما $x = -1$.

اشتقاق القوّة بقاعدة واحدة

• $f(x) = x^7$
• $g(x) = \frac{1}{x^3}$
• $h(x) = \sqrt{x^3}$
• إنّ إيجاد المشتقة باستعمال التعريف العام للمشتقة ليس سهلاً في كثير من الأحيان؛ ولكن توجد بعض القواعد التي تُسهّل عملية إيجاد المشتقة، ومنها: مشتقة اقتران القوّة.

أتحقق من فهمي: أجد مشتقة كلّ اقتران مما يأتي: ⁦a)⁩ $y = x^{-11}$

b) $y = \frac{1}{x^5}$

c) $y = \sqrt[3]{x^5}$

ثابت ومضاعف ومجموع: قواعد تُسهّل الاشتقاق

أتحقق من فهمي: أجد مشتقة كلّ اقتران مما يأتي: ⁦a)⁩ $y = \sqrt{x} + \frac{4}{x^2}$

b) $y = \frac{x^5 - 8x^6}{4x}$

المماس والعمودي عليه عند نقطة

تعلّمتُ سابقاً أنّ مشتقة الاقتران عند نقطة واقعة على منحناه هي ميل المماس عند هذه النقطة. ومن ثَمّ يُمكن استعمال المشتقة لإيجاد معادلة مماس منحنى الاقتران عند النقطة نفسها.

أتحقق من فهمي: إذا كان الاقتران $y = 8x - \frac{1}{x}$؛ فأستعمل المشتقة لإيجاد معادلة المماس ومعادلة العمودي على المماس عند النقطة $(0.25, -2)$.

من الميل إلى نقطة التماس

تعلّمتُ في المثال السابق إيجاد معادلة المماس ومعادلة العمودي على المماس لمنحنى الاقتران إذا عُلمت نقطة التماس. والآن سأتعلم كيف أجد نقطة التماس إذا عُلم ميل المماس.

أتحقق من فهمي: ⁦a)⁩ أجد إحداثيي النقطة الواقعة على منحنى الاقتران: $f(x) = 1 - \sqrt{x}$، التي يكون عندها ميل المماس $-\frac{1}{4}$.

⁦b)⁩ أجد إحداثيي النقطة (النقاط) الواقعة على منحنى الاقتران: $f(x) = -x^3 + 3x^2 - 2$، التي يكون عندها المماس أفقياً.

تدرّب على الاشتقاق والمماس

أجد مشتقة كلّ من الاقترانات الآتية باستعمال التعريف العام للمشتقة:

1. $f(x) = 4x + 1$

2. $y = 1 - x$

3. $f(x) = \frac{1}{2}x^2 - 1$

4. $y = \frac{2x + 4}{6}$

أجد مشتقة كلّ من الاقترانات الآتية عند قيمة $x$ المعطاة إزاء كلّ منها باستعمال التعريف العام للمشتقة:

5. $f(x) = 4x^2, x = 1$

6. $f(x) = 1 - x^2, x = -2$

7. $f(x) = x^2 + x, x = 2$

8. $f(x) = x^2 - 2x + 3, x = -1$

أجد مشتقة كلّ اقتران مما يأتي:

9. $y = 10x - \frac{6}{\sqrt{x}}$

10. $y = x^8 - x^{-8}$

11. $y = 9x^{-2} + 3\sqrt{x}$

12. $y = \frac{1 + \sqrt{x}}{x}$

13. $y = \frac{6}{x^3} + \frac{2}{x^2} - 3$

14. $y = 20x^5 + 3\sqrt[3]{x} + 17$

فكّر وبرّر

تبرير: إذا كان $f(x)=x^2-6$؛ فأجد كُلاً مما يأتي:

25. معادلة المماس لمنحنى الاقتران $f(x)$ عند كلّ من النقطة $(-1, 5)$ والنقطة $(1, 5)$، أُبرّر إجابتي.

26. نقطة تقاطع المماسين من السؤال السابق، أُبرّر إجابتي.

تبرير: إذا كان الاقتران $y=x^2+4x$؛ فأجيب عن السؤالين الآتيين تباعًا:

27. أُثبت أنّ معادلة المماس عند النقطة $k$ هي $y-(2k+4)x+k^2=0$

28. أجد قيمة $k$ التي تكون عندها معادلة العمودي على المماس هي: $x+4y=0$

29. تحدّ: إذا كان $f(x)=\frac{100}{x}$، وكانت $P$ نقطة تقع على منحنى $f(x)$ إحداثياها $(a, \frac{100}{a})$، حيث $a \neq 0$؛ فأجد مساحة المثلث المكوّن من مماس منحنى $f(x)$ عند النقطة $P$ والمحورين الإحداثيين.