تطبيقات القيم القصوى

آخر تحديث: ٢٤ تشرين الأول 2026

محتويات الموضوع (١٤)

شرح الموضوع

فكرة الدرس: حلّ مسائل حياتية باستعمال القِيَم القصوى.

تطبيقات القِيَم القصوى

حلّ مسائل حياتية باستعمال القِيَم القصوى.

مسألة اليوم: كيف نصنع حوضًا بأقل زجاج؟

تحديد القيمة الصغرى المحلية والقيمة العظمى المحلية أحد أكثر موضوعات التفاضل الفرعية استعمالًا في التطبيقات الحياتية والعلمية.

أمثلة: تحديد أكبر مساحة مُمكِنة، وأكبر ربح مُمكِن، وأقل تكلفة مُمكِنة.

خطوات حلّ مسائل القِيَم القصوى

أربع خطوات تحلّ أي مسألة قيم قصوى

أفهم المسألة: أقرأ المسألة جيدًا، ثم أُحدّد المعلومات اللازمة لحلّها.
أرسم مُخطّطًا: أُدوّن عليه المعلومات المُهمّة، وأختار مُتغيّرًا يُمثّل الكمية التي أريد أن أجد لها أكبر قيمة أو أقل قيمة.
أختار رموزًا للمتغيّرات الأخرى في المسألة.
أستعمل المُتغيّرات لكتابة اقتران قيمته القصوى هي القيمة المطلوبة.
أجد القِيَم الحرجة للاقتران: أجد القِيَم التي تكون عندها مشتقة الاقتران صفرًا.
أجد القيمة القصوى المطلوبة: أجد القيمة الصغرى أو القيمة العظمى المطلوبة.

فلنجرّب الخطوات على أول مسألة: أكبر حقل بسياج معلوم.

إيجاد أكبر مساحة مُمكنة

حقل المزارع: أكبر مساحة بسياج معلوم

من التطبيقات المُهمّة على القِيَم القصوى: إيجاد أكبر مساحة يُمكن إحاطتها بسياج طوله معلوم.

مثال 1: من الحياة

يريد نجّار بناء سقف خشبي لحظيرة حيوانات على شكل مستطيل محيطه $54 \text{ m}$ . أجد أكبر مساحة مُمكنة لسطح الحظيرة.

إيجاد أقل كمية مُمكنة

علبة الكرتون: أقل مادة لحجم معلوم

من التطبيقات الاقتصادية المهمة على القِيَم القصوى: إيجاد أقل كمّية مُمكنة من المواد اللازمة لصنع الأشياء.

مثال 2

أجد اقتران المساحة الكلية لسطح العلبة

أرادت إحدى الشركات أنْ تصنع خزّانات معدنية على شكل متوازي مستطيلات مغلق، بحيث يكون حجم كلٍّ منها $2 \text{ m}^3$ ، وقاعدته مربعة الشكل.

أجد أبعاد الخزّان الواحد التي تجعل كمّية المعدن المُستعمَلة لصنعه أقل ما يُمكِن.

إيجاد أكبر حجم مُمكن

الخزّان: أكبر حجم من صفيحة معلومة

إيجاد أكبر حجم مُمكن للخزّانات أحد التطبيقات الحياتية المُهمّة على القِيَم القصوى.
يساعد على تحديد الأبعاد والتصاميم التي تنتج أكبر حجم ممكن باستعمال الكمية نفسها من مواد التصنيع.

مثال 3

أجد اقتران حجم الخزّان

لدى حدّاد صفيحةً معدنيةً مساحتها $54 \text{ m}^2$ . أراد أن يصنع منها خزّان ماء على شكل متوازي مستطيلات.

على أن يكون الخزّان مفتوحًا من الأعلى، وقاعدته مربعة الشكل. أجد أبعاد الخزّان التي تجعل حجمه أكبر ما يُمكن.

التكلفة والإيراد والربح: كيف نربطها بالمشتقة؟

من التطبيقات الاقتصادية المُهِمّة على القِيَم القصوى: إيجاد أكبر ربح لمُنتَج مُعيَّن، أو إيجاد أعلى إيراد من بيعه، أو إيجاد أقل تكلفة لصنعه.

P(x) = R(x) - C(x)

مثال 4: من الحياة

حاسوب جديد: كم جهازًا نبيع لأكبر ربح؟

أتعلّم

وجدت خبيرة تسويق أنَّه لبيع $x$ ثلاّجة من نوع جديد، فإنَّ سعر الثلاّجة الواحدة (بالدينار) يجب أن يكون: $\mathrm{s}(x) = 1750 - 2x$ ، حيث $x$ عدد الثلاّجات المبيعة.

إذا كانت تكلفة إنتاج $x$ من هذه الثلاّجات تعطى بالاقتران: $C(x) = 2250 + 18x$ ، فأجد عدد الثلاّجات التي يجب إنتاجها وبيعها لتحقيق أكبر ربح مُمكن.

أتدرب وأحل المسائل

تدرّب: من حديقة المنزل إلى مخروط الآيس كريم

4. زراعة: أراد مزارع أن يحيط منطقة مستطيلة الشكل مساحتها 216 m² من حقله بسياج، وأن يقسمها إلى نصفين بسياج موازٍ لأحد جوانبها. أجد أبعاد المنطقة التي تجعل طول السياج اللازم أقل ما يمكن، ثم أجد طوله. — 4. زراعة: أراد مزارع أن يحيط منطقة مستطيلة الشكل مساحتها $216 \text{ m}^2$ من حقله بسياج، وأن يقسمها إلى نصفين بسياج موازٍ لأحد جوانبها. أجد أبعاد المنطقة التي تجعل طول السياج اللازم أقل ما يمكن، ثم أجد طوله.

يُمثّل الاقتران: s(x) = 150 - 0.035x سعر القطعة الواحدة من مُنتج لإحدى الشركات، حيث x عدد القطع المُنتجة. ويُمثّل الاقتران: C(x) = 16000 + 10x + 0.09x² تكلفة إنتاج x قطعة بالدينار، أجد كلًا ممّا يأتي: 7. اقتران الإيراد. 8. عدد القطع x الذي يتساوى عنده الإيراد الحدّي مع التكلفة الحدّية. 9. اقتران الربح. 10. عدد القطع اللازم بيعها من المُنتج لتحقيق أكبر ربح مُمكن، ثم أجد أكبر ربح مُمكن. 11. سعر الوحدة الواحدة من المُنتج الذي يُحقّق أكبر ربح مُمكن. — يُمثّل الاقتران: $\mathrm{s}(x) = 150 - 0.035x$ سعر القطعة الواحدة من مُنتج لإحدى الشركات، حيث $x$ عدد القطع المُنتجة. ويُمثّل الاقتران: $C(x) = 16000 + 10x + 0.09x^2$ تكلفة إنتاج $x$ قطعة بالدينار، أجد كلًا ممّا يأتي: 7. اقتران الإيراد. 8. عدد القطع $x$ الذي يتساوى عنده الإيراد الحدّي مع التكلفة الحدّية. 9. اقتران الربح. 10. عدد القطع اللازم بيعها من المُنتج لتحقيق أكبر ربح مُمكن، ثم أجد أكبر ربح مُمكن. 11. سعر الوحدة الواحدة من المُنتج الذي يُحقّق أكبر ربح مُمكن.

مهارات التفكير العليا

تحدٍّ وتبرير: علبة الشوكولاتة ومضمار السباق

تعريفات أساسية

اقتران التكلفة: الاقتران الذي يُمثِّل تكلفة إنتاج $x$ قطعة من مُنتَج مُعيَّن
التكلفة الحدّية: مُعدَّل تغيُّر $C$ بالنسبة إلى $x$ اسم التكلفة الحدِّية ⁦(marginal cost)⁩؛ ما يعني أنَّ اقتران التكلفة الحدِّية هو مشتقّة اقتران التكلفة أيْ $C'(x)$
اقتران الإيراد: الاقتران الذي يُمثِّل إيراد بيع $x$ وحدة من مُنتَج مُعيَّن
الإيراد الحدّي: مشتقّة اقتران الإيراد $R'(x)$ فتُسمّى الإيراد الحدِّي ⁦(marginal revenue)⁩، وهو يُمثِّل مُعدَّل تغيُّر الإيراد بالنسبة إلى عدد القطع المَبيعة
اقتران الربح: ربح بيع $x$ قطعة من مُنتَج مُعيَّن يعطى بالاقتران الآتي: $P(x) = R(x) - C(x)$ حيث $P(x)$ هو اقتران الربح
الربح الحدّي: الربح الحدِّي ⁦(marginal profit)⁩ هو مشتقّة اقتران الربح أيْ $P'(x)$

معاينة موضوع «تطبيقات القيم القصوى» من وحدة «النهايات والمشتقات» في مادة الرياضيات. أقسام الشرح: ١٤، التعريفات: ٦.

المصدر: المركز الوطني لتطوير المناهج، تطبيقات القيم القصوى (ص ٩٥–١٠٥)