المشتقة الثانية وتطبيقاتها

• إيجاد المشتقة الثانية لاقتران.
• تصنيف النقاط الحرجة باستعمال اختبار المشتقة الثانية.
• إيجاد السرعة المتجهة والتسارع لجسم يتحرّك في مسار مستقيم.

المشتقة الثانية: نشتقّ الاقتران مرّتين

• اقتران المشتقة اقتران جديد، وهذا يعني أنّه يُمكنني اشتقاقه.

• مثال: إذا كان $f(x)=x^4$، فإنّ مشتقة الاقتران $f(x)$ هي $f'(x)=4x^3$.
• والمشتقة الثانية للاقتران $f(x)$ هي $f''(x)=12x^2$.

أجد المشتقة الثانية لكل اقتران مما يأتي:

a) $f(x)=x^4-3x^2$ b) $f(x)=\frac{2}{x^3}$

اختبار المشتقة الثانية: عظمى أم صغرى؟

• النقطة الحرجة نقطة ميل مماس الاقتران عندها صفر؛ أي أنّ مشتقة الاقتران عندها تساوي صفرًا، فيُمكن رسم مماس أفقي عندها.
• سابقًا صنّفتُ النقاط الحرجة بدراسة إشارة المشتقة الأولى للاقتران.
• الآن أستعمل اختبار المشتقة الثانية ⁦(second derivative test)⁩ لتحديد ماهية النقطة الحرجة؛ هل هي عظمى محلية أم صغرى محلية؟

1. أوجد المشتقة الأولى: اشتقّ الاقتران، ثم ساوِ مشتقته بالصفر لتجد القِيَم الحرجة.
2. أوجد المشتقة الثانية: اشتقّ المشتقة الأولى مرة أخرى.
3. عوّض القِيَم الحرجة: عوّض كل قيمة حرجة في المشتقة الثانية، وانظر إلى إشارة الناتج.
4. صنّف: سالب يعني قيمة عظمى محلية، وموجب يعني صغرى محلية، وصفر يعني أنّ الاختبار يفشل.

إذا كان: $f(x)=x^3-2x^2-4x+5$، فأستعمل اختبار المشتقة الثانية لإيجاد القِيَم القصوى المحلية للاقتران $f$.

السرعة والتسارع: ماذا تقول المشتقتان عن الحركة؟

• الموقع يُرمز إليه بالرمز ${s}(t)$، السرعة المتجهة يُرمز إليها بالرمز $v(t)$.
• السرعة المتجهة تحدّد سرعة الجسم واتجاه حركته؛ لذلك سُمّيت بهذا الاسم.
• إشارة $v(t)$ تحدّد الاتجاه:
• إذا كانت $v(t) > 0$ فالجسم يتحرّك في الاتجاه الموجب.
• إذا كانت $v(t) < 0$ فالجسم يتحرّك في الاتجاه السالب.
• إذا كانت $v(t) = 0$ فالجسم يكون في حالة سكون.

• $v(t)=s'(t),\quad a(t)=v'(t)=s''(t)$

يُمثّل الاقتران: ${s}(t)=3t^2-t^3, t \ge 0$ موقع جسم يتحرّك في مسار مستقيم، حيث ${s}$ الموقع بالأمتار، و $t$ الزمن بالثواني:

⁦a)⁩ ما سرعة الجسم عندما $t=3$؟

⁦b)⁩ في أيّ اتجاه يتحرّك الجسم عندما $t=3$؟

⁦c)⁩ ما تسارع الجسم عندما $t=3$؟

⁦d)⁩ أجد قِيَم $t$ التي يكون عندها الجسم في حالة سكون لحظي.

فهد: يُمكن نمذجة موقع فهد يطارد فريسته على أرض مستوية مُتحرّكًا في خط مستقيم باستعمال الاقتران:

${s}(t)=t^3-6t^2+9t, t \ge 0$، حيث $t$ الزمن بالثواني، و ${s}$ الموقع بالأمتار:

⁦a)⁩ ما سرعة الفهد بعد 3 ثوانٍ من بدء حركته؟

⁦b)⁩ ما تسارع الفهد بعد 3 ثوانٍ من بدء حركته؟

⁦c)⁩ أجد قِيَم $t$ التي يكون عندها الفهد في حالة سكون لحظي.

تدرّب: اشتقاق وقيم قصوى وحركة

1. $f(x)=3x^3-4x^2+5x$

2. $f(x)=2x^{-3}$

3. $f(x)=x^3-\frac{5}{x}$

4. $f(x)=\sqrt{x}$

5. $f(x)=2-4x+x^2-x^3$

أجد المشتقة الثانية لكل اقتران مما يأتي عند قيمة $x$ المعطاة:

6. $f(x)=8x^3-3x+\frac{4}{x}, x=-2$

7. $f(x)=\sqrt{x^3}, x=4$

أستعمل اختبار المشتقة الثانية لإيجاد القِيَم القصوى المحلية (إن وُجدت) لكل اقتران مما يأتي:

8. $y=x^4-2x^2$

9. $f(x)=3x^4-8x^3+6x^2$

10. $y=x^2(x-4)$

11. $f(x)=x^5-5x^3$

يُمثّل الاقتران: ${s}(t)=t^5-20t^2, t \ge 0$ موقع جسم يتحرّك على خط مستقيم، حيث ${s}$ الموقع بالأمتار، و $t$ الزمن بالثواني:

12. ما سرعة الجسم عندما $t=3$؟

13. في أيّ اتجاه يتحرّك الجسم عندما $t=3$؟

14. ما تسارع الجسم عندما $t=3$؟

15. أجد قِيَم $t$ التي يكون عندها الجسم في حالة سكون لحظي.

لوح تزلج: يتحرّك رامي في مسار مستقيم على لوح تزلج، بحيث يُمكن نمذجة موقعه باستعمال الاقتران:

${s}(t)=t^2-8t+12, t \ge 0$، حيث $t$ الزمن بالثواني، و ${s}$ الموقع بالأمتار:

16. ما سرعة رامي بعد 6 ثوانٍ من بدء حركته؟

17. ما تسارع رامي بعد 6 ثوانٍ من بدء حركته؟

18. أجد قِيَم $t$ التي يكون عندها رامي في حالة سكون لحظي.

مهارات التفكير العليا: اربط المشتقات معًا

19. تبرير: إذا كان $x \neq 0$، $y=x^2-\frac{1}{x}$، فأثبت أن:

20. مسألة مفتوحة: أكتب كثير حدود $f$ من الدرجة الثالثة بحيث إنّ: $f''(2)=0$ و $f''(x) < 0$ لجميع قيم $x < 2$، و $f''(x) > 0$ لجميع قيم $x > 2$.

21. إذا كان $f(x)=\frac{x^4-3x^2+2x-8}{x-2}, x \neq 2$، فأجد إحداثيي النقطة (أو إحداثيات النقاط) الواقعة على منحنى $f$ التي تكون عندها $f''(x)=0$.

23. تحدّ: إذا مثل الاقتران ${s}(t)=t^3-12t-9, t \ge 0$ موقع جسم يتحرّك في مسار مستقيم، حيث ${s}$ الموقع بالأمتار، و $t$ الزمن بالثواني، فما سرعة الجسم عندما تسارعه صفرًا؟

24. تحدّ: إذا مثل الاقتران ${s}(t)=2t^3-24t-10, t \ge 0$ موقع جسم يتحرّك في مسار مستقيم، حيث ${s}$ الموقع بالأمتار، و $t$ الزمن بالثواني، فما تسارع الجسم عندما سرعته صفرًا؟