القيم العظمى والصغرى

• تحديد النقاط الحرجة، وفترات التزايد والتناقص لاقترانات كثيرات الحدود.
• تصنيف النقاط الحرجة لاقترانات كثيرات الحدود باستعمال المشتقة.

النقطة الحرجة: أين يصير المماس أفقيًا؟

• القيمة الحرجة ⁦(critical value)⁩: الإحداثي $x$ للنقطة الحرجة.

أجد النقاط الحرجة لكل اقتران مما يأتي:

a) $f(x)=6x^2-12x+12$

b) $h(x)=\frac{2}{3}x^3-3x^2+4x+3$

والآن: كيف نعرف أين يرتفع الاقتران وأين ينخفض؟

التزايد والتناقص: ماذا تخبرنا إشارة المشتقة؟

يُمثّل الشكل المجاور منحنى اقتران كثير الحدود $f(x)$.

• متزايد ⁦(increasing)⁩: في الفترة $(-\infty, a)$ والفترة $(b, \infty)$، فالمنحنى يرتفع من اليسار إلى اليمين.
• متناقص ⁦(decreasing)⁩: في الفترة $(a, b)$، فالمنحنى ينخفض من اليسار إلى اليمين.

• مشتقة الاقتران عند نقطة تساوي ميل المماس عند تلك النقطة.
• المماسات:
• ذات الميل الموجب مرتبطة بالجزء المتزايد من منحنى الاقتران.
• ذات الميل السالب مرتبطة بالجزء المتناقص من منحنى الاقتران.

1. أشتق الاقتران: أجد مشتقة الاقتران ثم أساوي المشتقة بالصفر وأحلّ المعادلة.
2. أختبر الإشارة: أختار قيمة اختبار في كل فترة بين أصفار المشتقة وأحدّد إشارة المشتقة عندها.
3. أقرأ السلوك: إشارة المشتقة موجبة تعني اقترانًا متزايدًا، وسالبة تعني متناقصًا.

أُحدّد فترات التزايد والتناقص لكل اقتران مما يأتي:

a) $f(x)=6x^2-6x+12$

b) $h(x)=x^3-3x^2+4x+3$

ماذا يحدث للإشارة عند النقطة الحرجة نفسها؟

تصنيف النقطة الحرجة: عظمى أم صغرى أم انعطاف؟

يُمكن استعمال المشتقة؛ لتصنيف النقاط الحرجة لاقترانات كثيرات الحدود:

إذا كان الاقتران $f(x)=x^3-3x^2-9x-1$، فأستعمل المشتقة لأحلّ السؤالين الآتيين:

⁦a)⁩ أجد النقاط الحرجة للاقتران $f(x)$.

⁦b)⁩ أُصنّف النقاط الحرجة إلى: عظمى محلية، أو صغرى محلية، أو انعطاف أفقي.

وأين نستفيد من هذا كله خارج الصف؟

من الحياة: أعلى درجة حرارة لمريض

يُمكن نمذجة كثير من المواقف الحياتية والعلمية باقترانات كثيرات الحدود، وعندئذٍ يستفاد من تحديد تزايد تلك الاقترانات وتناقصها وقيمها العظمى والصغرى في تحليل تلك المواقف وتفسيرها.

تدرّب: النقاط الحرجة والتزايد والتناقص

1. $f(x)=x^2-6x+10$

2. $f(x)=1-12x+2x^2$

3. $f(x)=\frac{1}{3}x^3-x$

4. $f(x)=\frac{1}{3}x^3-x^2$

5. $f(x)=4x+3$

6. $f(x)=7-5x$

7. $f(x)=x^2+7$

8. $f(x)=x^2-x$

9. $f(x)=x^2-5x+2$

10. $f(x)=2x^3-3x^2$

11. $f(x)=x^3+3x^2+3x-20$

12. $f(x)=3x^2(12-5x)$

13. $f(x)=(x-2)^2$

14. $y=2x^3-x^4$

أجد النقاط الحرجة لكل اقتران مما يأتي، ثم أُحدّد نوعها باستعمال المشتقة:

15. $y=x^3+6x^2-15x-90$

16. $y=-(x-2)^3+1$

17. $f(x)=x^4-x^3$

18. $f(x)=3x^4+16x^3+24x^2+3$

19. إذا كانت مشتقة الاقتران $f(x)$ تُعطى بالاقتران $f'(x)=(x-1)^2(x-3)$؛ فأجد قيم $x$ التي يكون عندها نقاط حرجة للاقتران $f$، ثم أُحدّد نوعها.

20. صناعة: تُنتج إحدى الشركات صناديق لتخزين البضائع على شكل متوازي مستطيلات. إذا أمكن نمذجة حجم كلّ من هذه الصناديق بالاقتران: $V(x)=18x-\frac{2}{3}x^3$، فأجد قيمة $x$ التي تجعل حجم الصندوق أكبر ما يُمكن.

لاحظت عالمة حيوان أنّ عدد الضفادع في بحيرة ما يُمكن نمذجته بالاقتران: $P(t)=1000+120t-0.4t^2$، حيث $P$ عدد الضفادع، و $t$ الزمن بالأشهر منذ بدء ملاحظة الضفادع. أجد أكبر عدد يُمكن أن تصل إليه الضفادع في البحيرة منذ بدء ملاحظتها.

تحدّ: أثبت واستنتج

تحدّ: إذا كان الاقتران $y=x^3+ax^2+b$، حيث $a$ و $b$ ثابتان؛ فأجيب عن السؤالين الآتيين تباعًا:

21. أُثبت أنّ للمنحنى الاقتران نقطة حرجة عند تقاطعه مع المحور $y$.

22. أُثبت أنّ للاقتران نقطة صغرى محلية إذا كانت $a > 0$.

23. تحدّ: إذا كان للاقتران $f(x)=ax^2-4x+c$، حيث $a$ و $c$ عددان حقيقيان، نقطة حرجة هي $(2, -7)$، فما قيمة كلّ من $a$ و $c$؟

24. تحدّ: إذا كان الاقتران $y=px^3-4px^2+5x-11$، حيث $p > 0$؛ فأجد مجموعة قِيَم $p$ التي يكون عندها للاقتران نقطتان حرجتان.