تمثيل الاقترانات المثلثية بيانياً

• تمثيل اقتران الجيب، وجيب التمام، والظل بيانيًا في المستوى الإحداثي.
• تمثيل منحنيات الاقترانات الجيبية الناتجة من تحويل هندسي أو أكثر لمنحنى الاقترانين الرئيسين: $f(x) = \cos x$ و $f(x) = \sin x$.

الجيب وجيب التمام: جدول قيم ثم منحنى

تعلمتُ سابقًا تمثيل الاقترانين المثلثين: $y = \sin x$ و $y = \cos x$ عندما تكون الزوايا بالدرجات في الفترة $[0^{\circ}, 360^{\circ}]$، وذلك بإنشاء جدول قيم للمتغيرين $x$ و $y$، وتمثيل كل زوج بنقطة في المستوى. ويُمكن استعمال هذه الطريقة لتمثيل الاقترانين نفسيهما عند قياس الزوايا بالراديان في الفترة $[0, 2\pi]$.

أمثّل الاقتران: $f(x) = \sin x$ بيانيًا في الفترة من $-2\pi$ إلى $2\pi$.

أمثّل الاقتران: $f(x) = \cos x$ بيانيًا في الفترة من $-2\pi$ إلى $2\pi$.

فما الذي يميّز هذين المنحنيين، وما علاقتهما بدائرة الوحدة؟

دائرة الوحدة والمنحنى: ماذا يتكرّر؟

• الجيب: يربط التمثيل البياني للاقتران $f(x) = \sin \theta$ بين قياس الزاوية $\theta$ في الوضع القياسي والإحداثي $y$ للنقطة $P$ على دائرة الوحدة.

• جيب التمام: يربط التمثيل البياني للاقتران $f(x) = \cos \theta$ بين قياس الزاوية $\theta$ في الوضع القياسي والإحداثي $x$ للنقطة $P$ على دائرة الوحدة.

• المجال: مجموعة الأعداد الحقيقية، لكلّ من الاقترانين.
• المدى: من $-1$ إلى $1$؛ القيمة الصغرى لكلّ منهما $-1$، والقيمة العظمى $1$.
• السعة ⁦(amplitude)⁩: نصف الفرق بين القيمة العظمى والقيمة الصغرى، وتساوي $1$ لكلّ من الاقترانين.

• الاقتران الدوري ⁦(periodic function)⁩: تمثيله البياني له نمط مُتكرّر، وأقصر جزء مُتكرّر منه يُسمى الدورة ⁦(cycle)⁩.
• طول الدورة ⁦(period)⁩: الطول الأفقي لكل دورة، وهو $2\pi$ للاقترانين.

الصورة العامة: أربعة معاملات تتحكّم بالمنحنى

• حيث: $a, b, c, d$ أعداد حقيقية، و $a$ و $b$ لا يساويان صفرًا.

فماذا يفعل كلّ معامل بمنحنى الجيب أو جيب التمام؟

المعامل ⁦a⁩: يرفع القمم أو يخفضها

• إذا كان $|a| > 1$: المعامل $a$ في $g(x) = a \sin x$ و $g(x) = a \cos x$ يؤدي إلى توسيع رأسي للمنحنى.
• إذا كان $1 > |a| > 0$: المعامل $a$ يؤدي إلى تضييق رأسي للمنحنيين.
• قيمة $a$ تؤثر في سعة الاقترانات الجيبية.

1. أرسم نقاط التقاطع: أرسم نقاط تقاطع الاقتران الرئيس مع المحور الأفقي.
2. أحدّد القمم والقيعان: أستعمل قيمة السعة لتحديد النقاط العظمى والصغرى.
3. أرسم الموجة: أرسم الموجة التي تمرّ بهذه النقاط.

أمثّل منحنى كل اقتران ممّا يأتي بيانيًا:

a) $g(x) = 2 \sin x$

b) $g(x) = \frac{1}{4} \cos x$

والآن: ماذا لو غيّرنا المعامل داخل الاقتران بدل خارجه؟

المعامل ⁦b⁩: يغيّر طول الدورة

• إذا كان $|b| > 1$: المعامل $b$ في $g(x) = \sin bx$ و $g(x) = \cos bx$ يؤدي إلى توسيع أفقي للمنحنى.
• إذا كان $1 > |b| > 0$: المعامل $b$ يؤدي إلى تضييق أفقي للمنحنيين.
• $|b| = 2:\ \frac{2\pi}{2} = \pi < 2\pi$
• $|b| = \frac{1}{2}:\ \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi > 2\pi$
• قيمة $b$ تؤثر في طول دورة الاقترانات الجيبية.

تنبيه: السطران المطبوعان أعلاه معكوسان؛ المثال الثالث يُظهر أنّ المعامل الأكبر من واحد يقصّر الدورة والأصغر منه يطيلها.

• لتمثيل $g(x) = \sin bx$ أو $g(x) = \cos bx$: أُحدّد طول دورة الاقتران، ثم أجد النقاط المفتاحية للاقتران الرئيس.
• ثم أضرب الإحداثي $x$ لكل نقطة مفتاحية في $\frac{1}{b}$.

a) $g(x) = \sin 3x$

b) $g(x) = \cos \frac{x}{3}$

الانسحاب الرأسي: محور جديد اسمه خط الوسط

• منحنى $g(x) = f(x) + c, c > 0$ هو منحنى $f(x)$ مزاحًا $c$ وحدة إلى الأعلى.
• منحنى $g(x) = f(x) - c$ هو منحنى $f(x)$ مزاحًا $c$ وحدة إلى الأسفل، وهذه القاعدة تنطبق على الاقترانات الجيبية.
• يتذبذب منحنيا الاقترانين الرئيسين: $f(x) = \sin x$ و $f(x) = \cos x$ حول المحور $x$

أمثّل منحنى الاقتران $g(x) = \sin x - 3$ بيانيًا.

الانسحاب الأفقي: المنحنى يتحرّك يمينًا أو يسارًا

• منحنى $g(x) = f(x + c), c > 0$ هو منحنى $f(x)$ مزاحًا $c$ وحدة إلى اليسار.
• منحنى $g(x) = f(x - c)$ هو منحنى $f(x)$ مزاحًا $c$ وحدة إلى اليمين، وهذه القاعدة تنطبق على الاقترانات الجيبية.

أمثّل منحنى الاقتران $g(x) = \cos (x + \frac{\pi}{2})$ بيانيًا.

حين يكون ⁦a⁩ سالبًا: المنحنى ينقلب

• لتحديد تأثير $a$ عندما $a < 0$، أتأمّل التمثيل البياني للاقترانين: $g(x) = -\sin x$ و $g(x) = -\cos x$.
• منحنى $g(x) = -\sin x$ هو انعكاس لمنحنى $f(x) = \sin x$ حول المحور $x$.
• منحنى $g(x) = -\cos x$ هو أيضًا انعكاس لمنحنى $f(x) = \cos x$ حول المحور $x$.

أجد السعة، وطول الدورة، ومعادلة خط الوسط للاقتران $g(x) = -2 \sin (x - \pi) - 3$، ثم أمثّله بيانيًا.

الزنبرك: اقتران جيبي يصف الحركة

تُستعمل الاقترانات الجيبية لنمذجة السلوك الدوري في كثير من المواقف الحياتية والعلمية. فمثلاً، يُمكن نمذجة حركة اهتزاز كتلة مُعلّقة في زنبرك نمذجة دقيقة باستعمال المعادلة $f(t) = \sin t$. فعند افتراض أنَّ $t$ هو الزمن المنقضي، يُلاحظ أنَّ منحنى $f(t) = \sin t$ يرتفع وينخفض بصورة مُتكرّرة مع مرور الزمن، فتعود الكتلة إلى موقعها الأصلي مرّة بعد أخرى.

يُمثل الاقتران: $g(t) = 3 \cos \frac{1}{2} \pi t$ إزاحة كتلة مُعلّقة في زنبرك بالسنتيمترات، حيث $t$ الزمن بالثواني:

⁦a)⁩ أجد أقصى إزاحة، ودورة الاقتران، والتردّد لحركة الكتلة.

⁦b)⁩ أمثّل منحنى إزاحة الكتلة مع الزمن بيانيًا.

وماذا عن اقتران الظل، هل له موجة مثلها؟

الظل: خطوط تقارب رأسية ومدى بلا حدود

تعلمتُ في الأمثلة السابقة تمثيل الاقترانات الجيبية بيانيًا في المستوى الإحداثي، ويُمكنني استعمال الاستراتيجيات نفسها لتمثيل اقتران الظل.

• وبما أنَّ $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$، فإنَّ اقتران الظل يكون غير مُعرّف عندما $\cos x = 0$؛ ما يعني أنَّ لمنحناه خطوط تقارب رأسية عندما $\cos x = 0$.

أمثّل منحنى الاقتران: $g(x) = \tan (\frac{\pi}{2} x)$ بيانيًا، ثم أُحدّد مجاله ومداه.

تدرّب: أجد الدورة والسعة وأصف التحويلات

أجد طول الدورة والسعة (إن وُجدت) لكل اقتران ممّا يأتي، ثم أمثّله بيانيًا:

1. $g(x) = 3 \sin x$

2. $g(x) = \cos 3x$

3. $g(x) = 2 \sin (x - \frac{\pi}{3})$

4. $g(x) = 2 - \cos x$

5. $g(x) = 1 + \frac{1}{2} \cos \pi x$

6. $g(x) = 1 + \cos (2x - \frac{\pi}{3})$

7. $g(x) = 3 + 2 \sin 3(x + \pi)$

8. $g(x) = \frac{1}{2} \tan x$

9. $g(x) = -1 + \tan 2x$

أكتب بجانب كل اقتران ممّا يأتي رمز التمثيل البياني المناسب له من بين التمثيلات البيانية $a-f$ الظاهرة أدناه:

10. $g(x) = -2 + \sin (2x + \pi)$

11. $g(x) = -\sin (x + \pi)$

12. $g(x) = -3 + \cos x$

13. $g(x) = \cos (x + \frac{\pi}{2})$

14. $g(x) = 1 + \sin \frac{1}{2} x$

15. $g(x) = 1 + 2 \cos (\frac{1}{2} x + \frac{\pi}{2})$

وبعد القراءة، كيف أصف ما حدث للمنحنى خطوة خطوة؟

أصف التحويلات الهندسية التي طُبقت على منحنى الاقتران $f$ لينتج منحنى الاقتران $g$ في كلّ ممّا يأتي:

16. $f(x) = 2 \cos x, g(x) = 2 \cos (x - \frac{\pi}{2}) + 1$

17. $f(x) = \sin (x + \frac{\pi}{4}), g(x) = 3 \sin (x + \frac{\pi}{4}) - 2$

18. $f(x) = \sin 3x, g(x) = \sin 3(x + 3\pi) - 5$

19. $f(x) = \cos x + 9, g(x) = \cos 6(x - \pi) + 9$

عجلة دوّارة: تُمثل المعادلة: $h = 25 \sin \frac{\pi}{15} (t - 7.5) + 30$ الارتفاع عن سطح الأرض بالأقدام لشخص يركب في عجلة دوّارة، حيث $t$ الزمن بالثواني:

20. أمثّل منحنى معادلة ارتفاع الشخص مع الزمن بيانيًا.

21. ما أقصى ارتفاع للشخص وأدنى ارتفاع له عن سطح الأرض؟

ضغط الدم: يزداد ضغط دم الإنسان في كل مرّة ينبض فيها القلب، ثم ينخفض مع راحة القلب بين الضربات.

ويُمكن نمذجة ضغط دم أحد الأشخاص باستعمال الاقتران: $p(t) = 115 + 25 \sin (160\pi t)$، حيث $p(t)$ ضغط الدم بوحدة $\text{mmHg}$، و $t$ الزمن بالدقائق:

22. أجد السعة، وطول الدورة، والتردّد للاقتران $p$.

23. أمثّل منحنى الاقتران $p$ بيانيًا.

24. إذا كان هذا الشخص يمارس الرياضة، فكيف يؤثّر ذلك في طول الدورة والتردّد للاقتران $p$؟

أبرّر وأتحدّى: صحيح أم لا؟

تبرير: أُميّز الجملة الصحيحة من الجملة غير الصحيحة في ما يأتي، وأبرّر إجابتي:

25. كل اقتران جيب في صورة $y = a_1 \sin (b_1 x - c_1) + d_1$ يُكتب بوصفه اقتران جيب تمام في صورة $y = a_2 \cos (b_2 x - c_2) + d_2$.

26. طول دورة الاقتران $f(x) = \cos 8x$ يساوي أربعة أضعاف طول دورة الاقتران $g(x) = \cos 2x$.

27. تحدٍّ: أستعمل التمثيل البياني المجاور لكتابة قاعدة اقتران في صورة: $y = a \tan bx$.

28. تحدٍّ: أملأ الفراغ بما هو مناسب في ما يأتي لتصبح المعادلة صحيحة: