تجاوز إلى المحتوى الرئيسي
تابعنا على تيليجرامانضم

المتطابقات المثلثية 1

المتطابقات والمعادلات المثلثية · الرياضيات

آخر تحديث:

محتويات الموضوع (١٣)

شرح الموضوع

فكرة الدرس

المتطابقات المثلثية 1

  • استعمال المتطابقات المثلثية لإيجاد قِيَم الاقترانات المثلثية.
  • استعمال المتطابقات المثلثية لتبسيط المقادير المثلثية، وإثبات صِحَّة متطابقات مثلثية.
  • إيجاد قِيَم الاقترانات المثلثية لمجموع زاويتين والفرق بينهما.
  • إثبات صِحَّة المتطابقات المثلثية باستعمال متطابقات المجموع والفرق.

من دائرة الوحدة إلى أول متطابقة

المتطابقات المثلثية الأساسية

تعلَّمتُ سابقًا أنَّه إذا رُسمت الزاوية θ\theta في الوضع القياسي، فإنَّ ضلع انتهائها يقطع دائرة الوحدة في نقطة وحيدة هي P(x,y)P(x, y)

  • ومنه، فإنَّ: x=cos⁡θx = \cos \theta، و y=sin⁡θy = \sin \theta.
  • النقطة P(x,y)P(x, y) تقع على دائرة مركزها نقطة الأصل، ونصف قُطرها وحدة واحدة؛ لذا تنتج المعادلتان الآتيتان:
x2+y2=1x^2 + y^2 = 1
cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1

وما المتطابقات الأخرى التي تنتج من تعريف الاقترانات المثلثية؟

المتطابقات الأساسية: خمس مجموعات تحفظها

  • في ما يأتي المتطابقات المثلثية الأساسية الناتجة بصورة مباشرة من تعريف الاقترانات المثلثية الستة التي درستُها سابقًا.

مفهوم أساسي

متطابقات المقلوب:

csc⁡θ=1sin⁡θ\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}
sec⁡θ=1cos⁡θ\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}
cot⁡θ=1tan⁡θ\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}

متطابقات الزاوية السالبة:

sin⁡(−θ)=−sin⁡θ\sin (-\theta) = -\sin \theta
cos⁡(−θ)=cos⁡θ\cos (-\theta) = \cos \theta
tan⁡(−θ)=−tan⁡θ\tan (-\theta) = -\tan \theta

متطابقات الزاويتين المتتامتين: sec⁡(π2−θ)\sec (\frac{\pi}{2} - \theta) تساوي؟

فكيف نستعمل هذه المتطابقات لإيجاد قيمة نسبة مثلثية من نسبة أخرى؟

نجد قيمة نسبة مثلثية من نسبة أخرى

  • يُمكن استعمال المتطابقات الأساسية لإيجاد قِيَم الاقترانات المثلثية.

مثال 1

الربعsin⁡θ,csc⁡θ\sin \theta, \csc \thetacos⁡θ,sec⁡θ\cos \theta, \sec \thetatan⁡θ,cot⁡θ\tan \theta, \cot \theta
الربع الأول⊕\oplus⊕\oplus⊕\oplus
الربع الثاني⊕\oplus⊖\ominus⊖\ominus
الربع الثالث⊖\ominus⊖\ominus⊕\oplus
الربع الرابع⊖\ominus⊕\oplus⊖\ominus

تبسيط المقادير المثلثية وإعادة كتابتها

أجد قيمة tan⁡θ\tan \theta إذا كان:

π<θ<3π2\pi < \theta < \frac{3\pi}{2} sec⁡θ=−32\sec \theta = -\frac{3}{2}

والآن كيف نستعمل المتطابقات في تبسيط مقدار مثلثي؟

كيف نبسّط مقدارًا مثلثيًا؟

مثال 2

أُبسّط كُلًّا من المقادير الآتية:

a. sin⁡x(csc⁡x−sin⁡x)\sin x (\csc x - \sin x)

b. 1+sin⁡xcos⁡x+cos⁡x1+sin⁡x1 + \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{1 + \sin x}

c. sin⁡(π2−x)sec⁡x\sin (\frac{\pi}{2} - x) \sec x

مثال 3

أُعيد كتابة 11+cos⁡x\frac{1}{1 + \cos x} بحيث لا يحوي كسرًا.

إثبات صحة متطابقة مثلثية

كيف نثبت صحة متطابقة؟

  • وفي ما يأتي بعض المبادئ العامة التي تساعدني على إثبات صحة المتطابقات المثلثية:
  • البدء بأحد طرفي المتطابقة: أختار أحد طرفي المتطابقة، الذي يكون أكثر تعقيدًا فيها غالبًا، أو يمكن تحويل كل طرف إلى مقدار مثلثي بسيط.
  • استعمال المتطابقات المثلثية المعروفة: يُمكنني استعمال المتطابقات المثلثية التي أعرفها، إضافة إلى بعض المهارات الجبرية، لتحويل الطرف الذي اخترته بدايةً.
  • التحويل إلى اقتران الجيب أو جيب التمام: من المفيد أحيانًا إعادة كتابة جميع الاقترانات بدلالة اقتران الجيب وجيب التمام.

مثال 4

  • الدعم البياني: يُمكنني إثبات صحة متطابقة بيانيًا بتمثيل كل طرف منها باستعمال برمجية جيوجبرا، والتحقق من تطابق التمثيلين.

أثبت صحة المتطابقة:

a. cot⁡xcos⁡x=csc⁡x−sin⁡x\cot x \cos x = \csc x - \sin x

b. 1−cos⁡xsin⁡x=sin⁡x1+cos⁡x\frac{1 - \cos x}{\sin x} = \frac{\sin x}{1 + \cos x}

c. 11−cos⁡x+11+cos⁡x=2csc⁡2x\frac{1}{1 - \cos x} + \frac{1}{1 + \cos x} = 2 \csc^2 x

هل تُمثّل المعادلة الآتية متطابقة؟

sin⁡x1+cos⁡x+1−cos⁡xsin⁡x=2csc⁡x\frac{\sin x}{1 + \cos x} + \frac{1 - \cos x}{\sin x} = 2 \csc x أتحقّق من ذلك بطريقة بيانية وأخرى جبرية.

أحلّ الفرع 3 بطريقة أخرى.

  • يُفضّل أحيانًا تحويل كل طرف من المتطابقة المراد إثبات صحتها إلى مقدار مثلثي وسيط.

مثال 5

أثبت صحة المتطابقة: (tan⁡x+cot⁡x)2=sec⁡2x+csc⁡2x(\tan x + \cot x)^2 = \sec^2 x + \csc^2 x.

متطابقات المجموع والفرق

جيب وجيب تمام وظل مجموع زاويتين وفرقهما

  • سأتعلم الآن كيفية استعمال مجموعة من المتطابقات لإيجاد قيمة اقتران مثلثي لمجموع زاويتين أو الفرق بينهما.

متطابقات المجموع:

sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta
cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta
tan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β\tan (\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}

مثال 6

أجد قيمة كلٍّ ممّا يأتي:

a. cos⁡75∘\cos 75^{\circ}

b. tan⁡π12\tan \frac{\pi}{12}

c. sin⁡80∘cos⁡20∘−cos⁡80∘sin⁡20∘\sin 80^{\circ} \cos 20^{\circ} - \cos 80^{\circ} \sin 20^{\circ}

نثبت متطابقات جديدة بالمجموع والفرق

  • يُمكنني أيضًا استعمال المتطابقات المجموع والفرق لإثبات صحَّة متطابقات مثلثية أُخرى.

مثال 7

كيف يُمكن إثبات صحَّة المتطابقة:

cos⁡(π2−x)=sin⁡x\cos (\frac{\pi}{2} - x) = \sin x بتطبيق التحويلات الهندسية على الاقتران الرئيس: f(x)=cos⁡xf(x) = \cos x؟

أثبت صحة كل متطابقة:

a. tan⁡(π2−x)=cot⁡x\tan (\frac{\pi}{2} - x) = \cot x

b. tan⁡x−1tan⁡x+1=tan⁡(x−π4)\frac{\tan x - 1}{\tan x + 1} = \tan (x - \frac{\pi}{4})

تعريفات أساسية

متطابقة مثلثية

المعادلة: cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 صحيحة لجميع قِيَم θ\theta؛ لذا تُسمَّى متطابقة مثلثية ⁦(trigonometric identity)⁩.

صحة المتطابقة

صحة المتطابقة تعني أنه يمكن تطبيقها لجميع قيم المتغير التي يكون طرفاها معرفين عندها.

تبسيط المقادير المثلثية

تبسيط المقادير المثلثية هو كتابة المقادير بدلالة اقتران مثلثي واحد فقط (إن أمكن)، ويُمكن ذلك باستعمال المتطابقات المثلثية.

إثبات صحة المتطابقات المثلثية

يُمكن استعمال المتطابقات المثلثية الأساسية، إضافةً إلى تعريف الاقترانات المثلثية، لإثبات صحة متطابقات أُخرى، عن طريق تحويل أحد طرفي المتطابقة المراد إثبات صحتها إلى الطرف الآخر باتباع سلسلة من الخطوات، كلّ منها تُعدّ متطابقة.

المرافق

يُعدّ كُلّ من العاملين: a−ba - b و a+ba + b مُرافقًا للآخر، وينتج من ضربهما الفرق بين المربّعين: a2−b2a^2 - b^2

الضرب في المرافق

أحتاج في بعض المسائل إلى إعادة كتابة المقادير المثلثية بحيث لا تحوي كسرًا، ويُمكن عمل ذلك أحيانًا باستعمال الضرب في المُرافق. فمثلاً، عندما يكون المقام في صورة u±1u \pm 1، أو صورة 1±u1 \pm u، فإنني أضرب البسط والمقام في مُرافق المقام، ثم أُطبّق متطابقات فيثاغورس.

معاينة موضوع «المتطابقات المثلثية 1» من وحدة «المتطابقات والمعادلات المثلثية» في مادة الرياضيات. أقسام الشرح: ١٣، التعريفات: ٦، الأسئلة المحلولة: ٨.

المصدر: المركز الوطني لتطوير المناهج، المتطابقات المثلثية 1 (ص ٣٤–٤٥)

موضوعات أخرى في الوحدة

تابع الدراسة