تجاوز إلى المحتوى الرئيسي
تابعنا على تيليجرامانضم

المتطابقات المثلثية 2

المتطابقات والمعادلات المثلثية · الرياضيات

آخر تحديث:

محتويات الموضوع (١١)

شرح الموضوع

المتطابقات المثلثية 2

  • إيجاد قيّم الاقترانات المثلثية باستعمال المتطابقات المثلثية لضعف الزاوية ونصفها.
  • إعادة كتابة المقادير المثلثية من صورة الضرب إلى صورة الجمع، والعكس.

ضعف الزاوية: كيف نجد قيمته من قيمة الزاوية نفسها؟

يختلف ميل منحدرات التزلّج المُصمّمة للمنافسة باختلاف مستوى مهارة المتسابقين. ميل المنحدر للمتسابقين المحترفين هو tan⁡θ=53\tan \theta = \frac{5}{3}، حيث θ\theta الزاوية التي يصنعها المنحدر مع سطح الأرض. أمّا المتسابقون المبتدئون فتميل منحدراتهم بزاوية قياسها نصف الزاوية θ\theta. ما ميل المنحدر للمتسابقين المبتدئين؟

المتطابقات المثلثية لضعف الزاوية

صيغة الجيب
---
sin⁡2θ=2sin⁡θcos⁡θ\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta
صيغ جيب التمام
---
cos⁡2θ=cos⁡2θ−sin⁡2θ\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta
cos⁡2θ=1−2sin⁡2θ\cos 2\theta = 1 - 2 \sin^2 \theta
cos⁡2θ=2cos⁡2θ−1\cos 2\theta = 2 \cos^2 \theta - 1
صيغة الظلّ
---
tan⁡2θ=2tan⁡θ1−tan⁡2θ\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}

مثال 1

هل يُمكن إيجاد tan⁡2θ\tan 2\theta بطريقة أخرى؟

إذا كان: cos⁡θ=−23\cos \theta = -\frac{2}{3}، حيث: π2<θ<π\frac{\pi}{2} < \theta < \pi، فأجد قيمة كلّ ممّا يأتي:

a) sin⁡2θ\sin 2\theta b) cos⁡2θ\cos 2\theta c) tan⁡2θ\tan 2\theta

مثال 2

ثلاثة أضعاف الزاوية: نبني على ضعف الزاوية

  • نجمع متطابقتين: يُمكن استعمال متطابقات ضعف الزاوية ومتطابقات مجموع زاويتين لإيجاد قيمة اقتران مثلثي عند 3θ3\theta باستعمال قيمة الاقتران عند θ\theta.

أكتب sin⁡3θ\sin 3\theta بدلالة sin⁡θ\sin \theta و cos⁡θ\cos \theta.

المتطابقات المثلثية لنصف الزاوية

تقليص القوّة: كيف نُنزل قوى الجيب وجيب التمام؟

  • تقليص القوّة: تُكتب المقادير المثلثية التي تتضمَّن قوى للجيب وجيب التمام والظلّ بدلالة القوَّة الأولى لجيب التمام فقط، باستعمال متطابقات ضعف الزاوية.
المتطابقات المثلثية لتقليص القوَّة
---
sin⁡2θ=1−cos⁡2θ2\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}
cos⁡2θ=1+cos⁡2θ2\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}
tan⁡2θ=1−cos⁡2θ1+cos⁡2θ\tan^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{1 + \cos 2\theta}

مثال 3

أعيد كتابة cos⁡4x\cos^4 x بدلالة القوَّة الأولى لجيب التمام.

نصف الزاوية: كيف نختار الإشارة؟

المتطابقات المثلثية لنصف الزاوية
---
sin⁡θ2=±1−cos⁡θ2\sin \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}
cos⁡θ2=±1+cos⁡θ2\cos \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}}
tan⁡θ2=±1−cos⁡θ1+cos⁡θ\tan \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}}

مثال 5

هل يُمكن حلُّ الفرع 3 من المثال 5 بطريقة أخرى؟ أُبرّر إجابتي.

أجد قيمة cos⁡112.5∘\cos 112.5^\circ من دون استعمال الآلة الحاسبة.

إذا كان: sin⁡x=25\sin x = \frac{2}{5}، حيث: π2<x<π\frac{\pi}{2} < x < \pi، فأجد قيمة كلّ ممّا يأتي:

a) sin⁡x2\sin \frac{x}{2} b) cos⁡x2\cos \frac{x}{2} c) tan⁡x2\tan \frac{x}{2}

متطابقات تحويل الضرب إلى مجموع أو فرق

كيف نحوّل حاصل الضرب إلى جمع؟

متطابقات تحويل الضرب إلى جمع
---
sin⁡αsin⁡β=12[cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β)]\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} [\cos (\alpha-\beta) - \cos (\alpha+\beta)]
sin⁡αcos⁡β=12[sin⁡(α−β)+sin⁡(α+β)]\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} [\sin (\alpha-\beta) + \sin (\alpha+\beta)]
cos⁡αcos⁡β=12[cos⁡(α−β)+cos⁡(α+β)]\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} [\cos (\alpha-\beta) + \cos (\alpha+\beta)]

مثال 6

أُعيد كتابة sin⁡7xcos⁡x\sin 7x \cos x في صورة مجموع أو فرق.

والعكس: كيف نحوّل الجمع إلى ضرب؟

  • ترتبط كلٌّ من متطابقات تحويل الضرب إلى مجموع أو فرق بإحدى متطابقات تحويل المجموع أو الفرق إلى ضرب.

مثال 7

متطابقات تحويل المجموع أو الفرق إلى ضرب
---
sin⁡α+sin⁡β=2sin⁡(α+β2)cos⁡(α−β2)\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin (\frac{\alpha+\beta}{2}) \cos (\frac{\alpha-\beta}{2})
cos⁡α+cos⁡β=2cos⁡(α+β2)cos⁡(α−β2)\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos (\frac{\alpha+\beta}{2}) \cos (\frac{\alpha-\beta}{2})
sin⁡α−sin⁡β=2cos⁡(α+β2)sin⁡(α−β2)\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos (\frac{\alpha+\beta}{2}) \sin (\frac{\alpha-\beta}{2})
cos⁡α−cos⁡β=−2sin⁡(α+β2)sin⁡(α−β2)\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin (\frac{\alpha+\beta}{2}) \sin (\frac{\alpha-\beta}{2})

أُعيد كتابة cos⁡3x+cos⁡2x\cos 3x + \cos 2x في صورة ضرب.

إثبات متطابقة: من أين نبدأ؟

  • نثبت متطابقة: يُمكن استعمال المتطابقات المثلثية لضعف الزاوية، ونصف الزاوية، وتحويل الضرب إلى مجموع أو فرق، في إثبات متطابقات مثلثية أُخرى.
  • نبدأ بالطرف الأكثر تعقيدًا: ألاحظ أنَّ الطرف الأيسر أكثر تعقيدًا، لذا أبدأ بالمقدار المثلثي الموجود فيه.

مثال 8

أُثبت صحة كل متطابقة:

a) 2tan⁡x1+tan⁡2x=sin⁡2x\frac{2 \tan x}{1 + \tan^2 x} = \sin 2x

b) sin⁡x+sin⁡ycos⁡x+cos⁡y=tan⁡(x+y2)\frac{\sin x + \sin y}{\cos x + \cos y} = \tan \left( \frac{x+y}{2} \right)

تعريفات أساسية

متطابقات ضعف الزاوية

تُستعمل متطابقات ضعف الزاوية لإيجاد قيمة اقتران مثلثي عند الزاوية 2θ2\theta باستعمال قيمة الاقتران عند الزاوية θ\theta.

المتطابقات المثلثية لنصف الزاوية

تُعدُّ المتطابقات المثلثية لنصف الزاوية نتيجة مباشرة لمتطابقات تقليص القوَّة، وذلك بأخذ الجذر التربيعي لطرفي كل متطابقة، واستعمال الزاوية θ2\frac{\theta}{2} بدلًا من الزاوية θ\theta.

متطابقات تحويل الضرب إلى مجموع أو فرق

يُمكن كتابة مقدار ضرب، مثل sin⁡ucos⁡v\sin u \cos v، في صورة حاصل جمع اقترانات مثلثية أو طرحها، وذلك باستعمال متطابقات تحويل الضرب إلى جمع.

المتطابقات المثلثية لتقليص القوّة

يُمكن استعمال المتطابقات المثلثية لضعف الزاوية في كتابة المقادير المثلثية التي تتضمَّن قوى للجيب وجيب التمام والظلّ بدلالة القوَّة الأولى لجيب التمام فقط

القوّة الأولى لجيب التمام

القوَّة الأولى لجيب التمام تعني جيب التمام مرفوعًا للأُسّ واحد، (وعادة لا يظهر الأُسّ 1 عند كتابة التعابير والمقادير الجبرية)، مثل: cos⁡x,cos⁡3x,cos⁡8x,cos⁡(5x+4)\cos x, \cos 3x, \cos 8x, \cos(5x+4)

معاينة موضوع «المتطابقات المثلثية 2» من وحدة «المتطابقات والمعادلات المثلثية» في مادة الرياضيات. أقسام الشرح: ١١، التعريفات: ٥.

المصدر: المركز الوطني لتطوير المناهج، المتطابقات المثلثية 2 (ص ٤٦–٥٦)

موضوعات أخرى في الوحدة

تابع الدراسة