حل المعادلات المثلثية

• حلُّ المعادلات المثلثية.
• سأتعلّم في هذا الدرس كيفية إيجاد حلٍّ لهذا النوع من المعادلات.

المعادلة المثلثية: متى تصحّ المساواة؟

• المتطابقات المثلثية حالة خاصة من المعادلات المثلثية؛ لأنها صحيحة لجميع قيم المتغيرات المُعرّف عندها طرفا المعادلة.
• بعض المعادلات تكون صحيحة فقط عند قيم مُحدّدة للمتغير.

فكيف نجد هذه القيم المُحدّدة؟ نبدأ بأبسط معادلة.

المعادلة الأساسية: من دائرة الوحدة إلى كل الحلول

• لحلّ أي معادلة مثلثية يجب تبسيطها بحيث تصبح معادلة مثلثية أساسية.
• لذا من المُهمّ أولًا إتقان حلّ المعادلات الأساسية.
• طول دورة اقتران الجيب واقتران جيب التمام هو $2\pi$، وطول دورة اقتران الظلّ هو $\pi$.

1. أبسّط المعادلة: حتى تصبح أساسية: اقترانًا مثلثيًا واحدًا يساوي ثابتًا.
2. أجد الحلول ضمن دورة واحدة: بدائرة الوحدة، أو بالآلة الحاسبة إن لم تكن الزاوية معروفة.
3. أجد جميع الحلول: أضيف مضاعفات طول الدورة الصحيحة إلى كل حلّ.

• لإيجاد الحلّ في الربع المطلوب أستعمل الزاوية المرجعية:
• الربع الثاني: أطرح الزاوية المرجعية من $\pi$
• الربع الثالث: أضيف الزاوية المرجعية إلى $\pi$
• الربع الرابع: أطرح الزاوية المرجعية من $2\pi$

أحلّ كل معادلة:

a. $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

b. $\cos x = \frac{1}{2}$

c. $\tan x = -1$

الآلة الحاسبة: حين لا تكون الزاوية خاصة

• إذا لم تكن الزوايا معروفة، فيُمكنني استعمال الآلة الحاسبة لإيجادها.

a. $\sin x = 0.23$

b. $\tan x = -10$

اقتران مثلثي واحد: افصله ثم حلّ

a. $5 \sin x = 3 \sin x + \sqrt{3}$

b. $2 \cos^2 x - 1 = 0$

التحليل: معادلة تربيعية أو عامل مشترك

• يُمكن حلُّ بعض المعادلات بالتحليل، مثل المعادلات التي في صورة معادلة تربيعية.
• ومثل المعادلات التي تتطلَّب إخراج عامل مشترك.

أحلّ كل معادلة في الفترة $[0, 2\pi)$:

a. $2 \sin^2 x - \sin x - 1 = 0$

b. $\sin x \cos x = 2 \sin x$

المتطابقات: حوّل المعادلة إلى اقتران واحد

a. $2 \sin^2 x - 3 \cos x = 0$

b. $2 \sin 2x - 3 \sin x = 0$

التربيع والحل الدخيل: تحقّق قبل أن تطمئن

• يتطلَّب حلُّ بعض المعادلات المثلثية تربيع طرفي المعادلة أوَّلًا، ثمَّ استعمال المتطابقات.
• وقد لا يُحقِّق الناتج المعادلة الأصلية؛ لذا يجب التحقُّق من صحَّة الحلِّ.

أحلُّ المعادلة: $\cos x - \sin x = 1$ في الفترة $[0, 2\pi)$.

ضعف الزاوية: احسب أولًا ثم اقسم

أحلُّ المعادلة: $2 \cos 2x = 1$ في الفترة $[0, 2\pi)$.

نصف الزاوية: احسب أولًا ثم اضرب

أحلُّ المعادلة: $2 \cos \frac{x}{2} - 1 = 0$ في الفترة $[0, 2\pi)$.