مشتقة اقترانات خاصة

بعد قواعد القوة والمجموع، يدخل الدرس اقترانات خاصة تظهر كثيرا في مسائل المماس والحركة: الأسي الطبيعي واللوغاريتمي الطبيعي. في الامتحان تبدو القواعد قصيرة، لكن الخطأ المعتاد أن يخلط الطالب بين $e^x$ و$x^n$، أو ينسى مجال $\ln x$.

العدد النيبيري $e$: هو أساس الاقتران الأسي الطبيعي $f(x)=e^x$، ويمتاز هذا الاقتران بأن مشتقته تساويه: $\frac{d}{dx}e^x=e^x$.

تُبنى فكرة مشتقة $e^x$ من ميل القاطع ثم ميل المماس، وننتهي إلى أن ميل المماس عند أي نقطة على منحنى $y=e^x$ يساوي الإحداثي $y$ للنقطة نفسها. لذلك في مثال 1: مشتقة $3e^x$ هي $3e^x$، ومشتقة $x^2+e^x$ هي $2x+e^x$.

الأساس ثابت أم المتغير هو الأس؟: في $x^5$ نستعمل قاعدة القوة، أما في $e^x$ فالأساس ثابت والأس هو المتغير، لذلك تبقى المشتقة $e^x$. لا تطبق $nx^{n-1}$ على $e^x$.

أما $\ln x$ فهو العكسي الطبيعي للاقتران $e^x$، ومجاله $(0,\infty)$. قاعدة الدرس: إذا كان $f(x)=\ln x$ فإن $f′(x)=\frac1x$. ونستعمل قوانين اللوغاريتمات قبل الاشتقاق، مثل $\ln(x^4)=4\ln x$، أو $\ln(xe^x)+\ln(7x)=2\ln x+x+\ln7$.

بسّط اللوغاريتم أولا: قبل الاشتقاق، استعمل قوانين الضرب والقسمة والقوة في اللوغاريتمات. هذا يحول المسألة من شكل طويل إلى مجموع حدود مشتقاتها مباشرة.

بمقارنة منحنى $f(x)=\sin x$ بمنحنى مشتقته نستنتج أن $f′(x)=\cos x$. وبطريقة مشابهة تكون مشتقة جيب التمام $-\sin x$. هذه القواعد تعتمد على القياس بالراديان، لذلك لا تعامل $x$ كدرجات في الاشتقاق.

قواعد مثلثية أساسية: $\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$، و$\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x$. الإشارة السالبة في مشتقة جيب التمام هي أكثر موضع يغير جواب المماس والسرعة.

في مثال 3: مشتقة $3\sin x+4$ هي $3\cos x$، ومشتقة $\frac12e^x-7\cos x$ هي $\frac12e^x+7\sin x$. عندما يجتمع الأسي والمثلثي، اشتق كل حد بقاعدته، ولا تجمع القواعد في قاعدة واحدة.

المماس والعمودي: ميل المماس عند $x=a$ هو $f′(a)$. وميل العمودي هو سالب مقلوب ميل المماس إذا لم يكن المماس أفقيا أو رأسيا. بعدها اكتب معادلة المستقيم بصيغة الميل والنقطة.

في مثال 4 نستعمل $f(x)=\ln(\frac{x}{e})=\ln x-1$، لذلك $f′(x)=\frac1x$. عند النقطة $(1,-1)$ يكون ميل المماس $1$، فمعادلته $y=x-2$، وميل العمودي $-1$، فمعادلته $y=-x$.

إذا كان $s(t)$ يمثل موقع جسم على خط مستقيم، فالسرعة المتجهة هي مشتقة الموقع: $v(t)=s′(t)$، والتسارع هو مشتقة السرعة: $a(t)=v′(t)=s′′(t)$. السرعة القياسية هي $|v(t)|$، ولذلك لا تحمل اتجاه الحركة.

السكون اللحظي: يكون الجسم في سكون لحظي عندما $v(t)=0$. هذا لا يعني بالضرورة أن موقعه $0$، بل يعني أن سرعته المتجهة انعدمت في تلك اللحظة.

1. مثال 5 يعطي $s(t)=6t^2-t^3$. نشتق فنحصل على $v(t)=12t-3t^2$، ثم $a(t)=12-6t$.
2. عند $t=2$: $v(2)=12$ و$a(2)=0$. وللسكون اللحظي نحل $12t-3t^2=0$، فنجد $t=0$ و$t=4$.

الموقع ليس الاتجاه: في المثال نفسه، عند $t=5$ يكون الموقع موجبا لكن السرعة $-15$، أي يتحرك الجسم في الاتجاه السالب. اتجاه الحركة تحدده إشارة $v(t)$، لا إشارة $s(t)$.

للعودة إلى الموقع الابتدائي، لا نحل $v(t)=0$، بل نحل $s(t)=s(0)$. في مثال 5 $s(0)=0$، ولذلك نحل $6t^2-t^3=0$ فنجد العودة بعد $6$ ثوان إلى جانب اللحظة الابتدائية.

ترتيب مسائل الحركة: اكتب أولا $v=s′$ و$a=v′$. ثم صنف السؤال: سرعة عند زمن، سكون لحظي، اتجاه حركة، أو عودة إلى الموقع الابتدائي. لكل نوع معادلة مختلفة.

في الحركة التوافقية البسيطة توصف الإزاحة باقتران جيبي أو جيب تمام، مثل $s(t)=5\cos t$ أو $s(t)=7\sin t$. المشتقات تعطي السرعة والتسارع، وتكشف أن الجسم يتحرك حول موقع الاتزان بين موضعي إزاحة عظمى.

مثال الزنبرك: إذا كان $s(t)=5\cos t$، فإن $v(t)=-5\sin t$ و$a(t)=-5\cos t$. التسارع دائما معاكس للموقع؛ إذا كان الجسم فوق موقع الاتزان جذبه التسارع إلى الأسفل، وإذا كان أسفله جذبه إلى الأعلى.

Exam Lens: أسئلة هذا الدرس غالبا تكون: أوجد مشتقة، اكتب مماسا أو عموديا، أو فسر حركة جسم. ابدأ بالقانون الصغير، ثم طبق قاعدة المجموع/المضاعف، ثم اربط الناتج بسياق السؤال.

وحدات الحركة: إذا كان الموقع بالمتر والزمن بالثانية، فالسرعة $m/s$ والتسارع $m/s^2$. لا تكتب رقما مجردا في مسائل الحركة إذا كان السياق يعطي وحدات.

مراجعة الدرس

• أجد مشتقة $f(x)=2\sin x-e^x$؟
• أجد مشتقة $f(x)=\frac{\ln x}{4}-\pi\cos x$؟
• أجد مشتقة $f(x)=\ln(\frac1{x^3})+x^4$؟
• أجد مشتقة $f(x)=e^{x+1}+1$؟
• أجد مشتقة $f(x)=e^x+\frac{x}{e}$؟
• أجد مشتقة $f(x)=\ln(10x^n)$؟
• إذا $f(x)=\sin x+\frac12e^x$، أجد معادلة المماس عند $(\pi,\frac12e^\pi)$؟