العمليات على الأعداد المركبة

• إجراء العمليات الحسابية الأربع (الجمع، الطرح، الضرب، القسمة) على الأعداد المُرَكَّبة.
• إيجاد الجذر التربيعي لعدد مُركَّب، وإيجاد الجذور المُرَكَّبة لمعادلات كثيرات الحدود.

الجمع والطرح: نجمع الأجزاء المتشابهة

وإذا أردنا عكس التربيع، كيف نجد الجذر التربيعي لعدد مُركّب؟

تُشبه عمليتا جمع الأعداد المُرَكَّبة وطرحها عمليتي جمع المقادير الجبرية وطرحها، حيث تُجمَع الحدود المتشابهة بعضها مع بعض.

إذا كان: $z_1 = a + ib, z_2 = x + iy$ عددين مُركَّبين، فإنّه يُمكن إيجاد جمعهما أو طرحهما على النحو الآتي:

• النظير الجمعي للعدد المركب $z=a+bi$ هو: $-z=-a-bi$

أجد ناتج كل مما يأتي:

a. $(7+8i) + (-9+14i)$

b. $(11+9i) - (4-6i)$

وكيف نضرب عددين مُركّبين؟

الضرب: نوزّع ثم نعوّض عن مربّع الوحدة التخيلية

أجد الناتج بالصورة القياسية:

a. $-3i(4-5i)$

b. $(5+4i)(7-4i)$

c. $(3+6i)^2$

وماذا لو أردنا القسمة بدل الضرب؟

القسمة: نضرب في مرافق المقسوم عليه

• لاحظتُ في الفرع الأخير من المثال السابق أنَّ ناتج ضرب العدد المركب $5+4i$ في مُرافقه يساوي عدداً حقيقياً.
• وهذا صحيح دائماً لأي عدد مُركب: $z=a+ib$، وناتج الضرب يكون دائماً في صورة: $a^2+b^2$؛ أي إنَّ $|z|^2=z\bar{z}$.

a. $\frac{-4+3i}{1+i}$

b. $\frac{2-6i}{-3i}$

c. $\frac{7i}{4-4i}$

وكيف نضرب ونقسم إذا كتبنا العددين بالصورة المثلثية؟

الصورة المثلثية: نضرب المقاييس ونجمع السعات

أجد الناتج بالصورة المثلثية:

a. $6(\cos\frac{\pi}{3} + i \sin\frac{\pi}{3}) \times 2(\cos\frac{\pi}{6} + i \sin\frac{\pi}{6})$

b. $6(\cos(-\frac{\pi}{3}) + i \sin(-\frac{\pi}{3})) \div 2(\cos\frac{5\pi}{6} + i \sin\frac{5\pi}{6})$

الجذر التربيعي: نفرضه ثم نقارن الأجزاء

• فإذا كان: $\sqrt{z} = x + iy$، فإنَّ: $z = (x + iy)^2$.
• يُمكن إيجاد قيمة كلّ من $x$، و $y$ الحقيقيتين بتربيع الطرفين، ثمَّ المقارنة بين الأجزاء الحقيقية والأجزاء التخيلية في طرفي المعادلة.

1. نفرض الجذر:: نكتب الجذر التربيعي بالصورة القياسية بجزأين حقيقيين مجهولين.
2. نربّع الطرفين:: نفتح القوسين ونعوّض عن مربّع الوحدة التخيلية.
3. نقارن الأجزاء:: نساوي الجزأين الحقيقيين ثم الجزأين التخيليين فينتج نظام معادلتين.
4. نحلّ بالتعويض:: نحلّ إحدى المعادلتين لمتغير ونعوّضه في الأخرى.
5. نقبل القيم الحقيقية فقط:: نحسب المتغير الآخر لكل قيمة، ثم نتحقق بتربيع الجذرين.

أجد الجذرين التربيعيين لكلّ من الأعداد المُرَكَّبة الآتية:

a. $-5 - 12i$

b. $-9i$

c. $-\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}$

وماذا عن جذور المعادلات التي درجتها أعلى من الثانية؟

المميّز السالب: جذران مُركّبان مُترافقان

تعلَّمتُ سابقًا حلّ بعض المعادلات التربيعية في صورة: $ax^2 + bx + c = 0$، حيث: $a, b, c$ أعداد حقيقية، باستعمال القانون العام الذي صيغته:

• استعملتُ أيضًا المُميّز ($\Delta = b^2 - 4ac$) لتحديد إذا كان للمعادلة التربيعية جذران حقيقيان أم لا، وإذا كان الجذران متساويين أم لا.
• بعد تعرُّف الأعداد المُرَكَّبة أُلاحظ أنّه إذا كان المُميّز سالبًا، فإنّه ينتج عددان مُرَكَّبان مُترافقان من تعويض القِيَم: $a, b, c$ في القانون العام.
• إذن، إذا كان المُميّز سالبًا، فإنَّ للمعادلة التربيعية جذرين مُرَكَّبين.

• إذا كانت درجة معادلة كثير حدود أكبر من الصفر، فقد لا توجد لها جذور حقيقية، وإنّما توجد لها جذور مُرَكَّبة.

فكم جذرًا مُركّبًا يوجد لكل معادلة؟

كم جذرًا لمعادلة كثير الحدود؟

• تؤكّد النظرية وجود صفر مُرَكَّب واحد - على الأقل - لأيّ معادلة كثير حدود درجتها أكبر من الصفر، لكنّها لا تساعد على إيجاد هذا الصفر.

• تُستعمل نظرية التحليل المُرَكَّب، وحقيقة أنَّ الجذور المُرَكَّبة تأتي في صورة أزواج من الأعداد المُرَكَّبة المُترافقة، لتحديد أنواع الجذور الممكنة.

وكيف نجد هذه الجذور فعليًّا لمعادلة محدّدة؟

نحلّل كثير الحدود لنجد كل جذوره

• يُمكن استعمال نظريتي الباقي والعوامل لتحليل كثير الحدود، وحلّ معادلته.

أجد جميع الجذور الحقيقية والجذور المركبة للمعادلة: $z^3 - z^2 - 7z + 15 = 0$

من جذر معلوم إلى المعادلة

• تُستعمل هذه الطريقة أحيانًا لإيجاد قِيَم معاملات مجهولة في المعادلة.
• إذا عُلِم أحد جذور المعادلة، فإنه يُمكن السير بخطوات عكسية (بَدءًا بالجذر المعلوم) لإيجاد المعادلة الأصلية، أو أحد معاملاتها.

إذا كان: $2 - i$ هو أحد جذور المعادلة: $x^2 + ax + b = 0$، فأجد قيمة كل من $a$، و$b$.