المستقيمات في الفضاء

• تعرُّف المتجهات المتوازية في الفضاء.
• كتابة معادلة متجهة للمستقيم في الفضاء.
• إيجاد إحداثيات نقطة تقاطع مستقيمين في الفضاء.

مسألة اليوم: هل يتقاطع مسارا الإشارتين؟

نبدأ بمعرفة متى يتوازى متجهان، ثم نكتب معادلة المستقيم.

نعود إلى مسألة اليوم

متى يكون متجهان متوازيين؟

إذا كان: $\vec{u} = \langle u_1, u_2, u_3 \rangle, \vec{v} = \langle v_1, v_2, v_3 \rangle$، فإنَّ:

$\vec{u} \parallel \vec{v}$ إذا وفقط إذا وُجِد عدد حقيقي $k$، حيث: $k \neq 0$، بحيث يكون:

كيف نطبّق الشرط على نقاط معلومة؟

اختبار التوازي من إحداثيات النقاط

إذا كان: $G(7, 5, -11)$، $H(4, 4, -4)$، $K(4, 5, 3)$، $L(7, 7, 3)$، فأحدِّد إن كان كل متجهين ممَّا يأتي متوازيين أم لا:

a) $\overrightarrow{GH}, \overrightarrow{KL}$

b) $\overrightarrow{GL}, \overrightarrow{HK}$

إثبات توازي قطعتين في مثلث

• يُمكن استعمال تعريف توازي المتجهات لإثبات بعض علاقات التوازي في الأشكال الهندسية.

في المثلث ⁦RST⁩ المجاور، إذا كان: $\vec{RS} = 4\vec{a}, \vec{RT} = 6\vec{b}$، والنقطة ⁦U⁩ منتصف ⁦RS⁩، والنقطة ⁦V⁩ منتصف ⁦RT⁩، فأثبت أنَّ $\vec{UV}$ يوازي $\vec{ST}$.

إثبات أنَّ ثلاث نقاط على استقامة واحدة

• لإثبات أنَّ ثلاث نقاط في الفضاء تقع على استقامة واحدة، يكفي إثبات وجود متجهين متوازيين بينهما نقطة مشتركة، وتكون النقاط الثلاث هي نقاط بداية أو نهاية لهذين المتجهين.

يظهر في الشكل المجاور المثلث ⁦OAB⁩.

إذا كان: $\vec{OB} = \vec{b}, \vec{OA} = \vec{a}$، وكانت النقطة ⁦D⁩ تقع على ⁦OB⁩، والنقطة ⁦E⁩ منتصف ⁦AB⁩، والنقطة ⁦F⁩ تقع على ⁦AD⁩، حيث: $\vec{OF} = \frac{2}{5}(\vec{a} + \vec{b})$، فأثبت أنَّ ⁦O⁩، ⁦F⁩، و ⁦E⁩ تقع على استقامة واحدة.

كيف نكتب معادلة مستقيم في الفضاء؟

تعلَّمتُ سابقًا استعمال الميل ومقطع المحور $y$ لكتابة معادلة مستقيم في المستوى الإحداثي. والآن سأتعلَّم كيف أستعمل المتجهات لكتابة معادلة المستقيم في الفضاء.

• يُطلق على هذه الصيغة اسم المعادلة المتجهة للمستقيم ⁦(vector equation of a line)⁩.
• يُسمَّى المتجه $\vec{v}$ اتجاه المستقيم $l$.

• $t = 0$ تُحدِّد النقطة $P_0$.
• قيم $t$ الموجبة تُحدِّد النقاط الواقعة في اتجاه $\vec{v}$ بدءًا بـ $P_0$.
• قيم $t$ السالبة تُحدِّد النقاط الواقعة عكس اتجاه $\vec{v}$ بدءًا بـ $P_0$.

كيف نستعمل الصيغة حين تُعطى نقطة واتجاه؟

معادلة مستقيم من نقطة واتجاه

أجد معادلة متجهة للمستقيم $l$ الذي يوازي المتجه: $\vec{v} = \langle 1, -4, -5 \rangle$، ويمرُّ بالنقطة $U(0, -6, 9)$.

معادلة مستقيم من نقطتين عليه

• يُمكِن بسهولة تحديد متجه موازٍ لمستقيم يمرُّ بنقطتين معلومتين؛ وهو المتجه الذي يقع على المستقيم، وطرفاه هاتان النقطتان.
• إذا عُلِمت نقطتان يمرُّ بهما المستقيم، فيُمكِن عندئذٍ كتابة معادلته المتجهة باتِّباع الخطوتين الآتيتين:
• إيجاد الصورة الإحداثية للمتجه الموازي، الذي طرفاه النقطتان المعلومتان، بصرف النظر عن النقطة التي يبدأ منها المتجه.
• تعويض متجه الموقع لإحدى النقطتين والمتجه الموازي للمستقيم في صيغة المعادلة المتجهة للمستقيم.

أجد معادلة متجهة للمستقيم $l$ المار بالنقطتين: $M(3, 7, -9)$، و $\mathrm{N}(2, -4, 3)$.

هل تقع نقطة على المستقيم؟ وأين تقع نقطة معلومة؟

• يُمكِن استعمال المعادلة المتجهة للمستقيم في التحقُّق من وقوع نقطة معلومة عليه أم لا، وإيجاد نقطة تقع عليه، عُلِم أحد إحداثياتها.

تُمثِّل: $\vec{r} = 11\hat{i} + 5\hat{j} - 6\hat{k} + t(7\hat{i} - 2\hat{j} + 5\hat{k})$ معادلة متجهة للمستقيم $l$:

⁦a)⁩ أُبيِّن أنَّ النقطة التي متجه الموقع لها هو $39\hat{i} - 3\hat{j} + 14\hat{k}$ تقع على المستقيم $l$.

⁦b)⁩ أجد متجه الموقع للنقطة التي تقع على هذا المستقيم، وتُقابل القيمة: $t = -3$.

⁦c)⁩ إذا كانت النقطة $(v, -3v, 5v-1)$ تقع على المستقيم $l$، فما قيمة $v$؟

ثلاث حالات لمستقيمين في الفضاء

• يكون المستقيمان في المستوى الإحداثي متوازيين، أو متقاطعين.

• إذا عُلِمت معادلتا مستقيمين في الفضاء، فيُمكن الجزم بتوازيهما إذا كان اتجاه كلِّ منهما موازيًا للآخر؛ أي إنَّ أحدهما ينتج من ضرب الآخر في عدد حقيقي.

وكيف نعرف أنَّ المستقيمين متقاطعان أم متخالفان؟

مستقيمان متقاطعان: نحلّ ثلاث معادلات

• يُمكِن الحكم على تقاطع المستقيمين: $l_1: \vec{r} = \vec{a} + t\vec{b}$، و $l_2: \vec{r} = \vec{c} + u\vec{d}$ بمساواة متجهي الموقع $\vec{r}$ في معادلتيهما،
• وحلِّ المعادلات الثلاث الناتجة لإيجاد قيمة كلٍّ من المُتغيِّر $t$ والمُتغيِّر $u$.
• فإذا تحقَّقت المعادلات الثلاث لقيمتي هذين المُتغيِّرين، كان المستقيمان متقاطعين.
• وإذا كان المستقيمان غير متوازيين وغير متقاطعين، فإنَّهما يكونان متخالفين.

إذا كانت: $\vec{r} = \langle 3, 7, -9 \rangle + t\langle 1, 11, -12 \rangle$ معادلة متجهة للمستقيم $l_1$، وكانت:

$\vec{r} = \langle -30, -6, 30 \rangle + u\langle 4, -6, 3 \rangle$ معادلة متجهة للمستقيم $l_2$، أحدِّد إن كان المستقيمان متوازيين، أو متقاطعين، أو متخالفين، ثمَّ أجد إحداثيات نقطة تقاطعهما إذا كانا متقاطعين.

من الحياة: مساران لطائرتين في عرض جوي

عرض جوي: أقلعت طائرة من موقع إحداثياته: $(0, 7, 0)$.

وفي الوقت نفسه، أقلعت طائرة ثانية من موقع إحداثياته: $(-2, 0, 0)$.

وبعد التحليق مدَّة قصيرة في مسارين مستقيمين، أصبحت الطائرة الأولى عند الموقع الذي إحداثياته: $(8, 15, 16)$، وأصبحت الطائرة الثانية عند الموقع الذي إحداثياته: $(22, 24, 48)$.

ما علاقة خطّي سير الطائرتين: متوازيان، أم متقاطعان، أم متخالفان؟

إذا كانت مسارات الطائرات في عرض جوي مستقيمة ومتقاطعة، فهل يُؤكِّد ذلك أنَّ الطائرات ستصطدم؟ أُبرِّر إجابتي.