التوزيع الهندسي وتوزيع ذي الحدين

• تعرُّف التوزيع الاحتمالي والتوقُّع للمُتغيِّر العشوائي الهندسي.
• تعرُّف التوزيع الاحتمالي والتوقُّع والتباين للمُتغيِّر العشوائي ذي الحدَّين.

تجربة بيرنولي: نجاح أو فشل فقط

• مثال: تجربة إلقاء قطعة النقد مرَّة واحدة وملاحظة الوجه الظاهر تُمثِّل تجربة بيرنولي؛ لأنَّ لها أحد ناتجين: صورة، أو كتابة.
• تُعدُّ الصورة هي النجاح، والكتابة هي الفشل، أو العكس.
• بوجه عام: يُمكن النظر إلى أيِّ تجربة عشوائية بوصفها تجربة بيرنولي، بافتراض أنَّ حدثًا مُعيَّنًا من الفضاء العيني للتجربة هو النجاح.
• بصرف النظر عن العدد الفعلي لعناصر ذلك الحدث.
• مثال: عند إلقاء حجر نرد مُرقَّمة بالأعداد من 1 إلى 6، يُمكن عَدُّ ظهور عدد أقل من 4 هو النجاح، وأنَّ أيَّ عدد (ناتج) آخر هو الفشل.

فماذا لو كرّرنا تجربة بيرنولي إلى أن يأتي أول نجاح؟

التجربة الهندسية: نكرّر حتى أول نجاح

• الشرط 1: اشتمال التجربة على محاولات مستقلة ومُتكرِّرة.
• الشرط 2: فرز النتائج المُمكِنة في كل محاولة إلى نجاح أو فشل.
• الشرط 3: ثبات احتمال النجاح في كل محاولة.
• الشرط 4: التوقُّف عند أوَّل نجاح.

في الفرع 2 من المثال 1، إذا سُحبت الكرات الأربع على التوالي مع الإرجاع، فهل يُمثِّل ذلك تجربة احتمالية هندسية؟

أُبيّن إذا كانت التجربة تُمثِّل تجربة احتمالية هندسية:

a) إلقاء عبد العزيز قطعة نقد منتظمة 6 مَرَّات، ثمَّ كتابة عدد مَرَّات ظهور الصورة.

b) إطلاق سامية أسهماً بشكل مُتكرِّر نحو هدف، ثمَّ التوقُّف عند إصابته أوَّل مَرَّة، علمًا بأنَّ احتمال إصابتها الهدف في كل مَرَّة هو 0.6

المتغير الهندسي وقاعدة احتماله

• في التجربة الهندسية، إذا دلَّ المُتغيِّر العشوائي $X$ على عدد المحاولات وصولاً إلى أوَّل نجاح، فإنَّ $X$ يُسمى المُتغيِّر العشوائي الهندسي.
• يُعبَّر عنه بالرموز: $X \sim Geo(p)$، حيث $p$ احتمال النجاح الثابت في كل محاولة.
• ومن ثَمَّ، فإنَّ المُتغيِّر $X$ يأخذ القِيَم الآتية: $1, 2, 3, ...$

• الرموز: يرمز إلى قِيَم المُتغيِّر العشوائي بالرمز $x$، ويُرمز إلى المُتغيِّر العشوائي نفسه بالرمز $X$.

إذا كان: $X \sim Geo(p)$، فإنَّ: $P(X > x) = (1 - p)^x$

• المُتغيِّر العشوائي الهندسي يأخذ قِيَمًا معدودة؛ لذا يُسمى مُتغيِّرًا عشوائيًا مُنفصلاً.

لماذا لا يأخذ المُتغيِّر العشوائي الهندسي القيمة $x = 0$؟

يُمثِّل الشكل المجاور قرصًا مُقسَّمًا إلى 4 قطاعات متطابقة. إذا دلَّ المُتغيِّر العشوائي $X$ على عدد مَرَّات تدوير مُؤشِّر القرص حتى يقف عند اللون الأخضر أوَّل مَرَّة، فأجد كلاً ممّا يأتي:

a) $P(X = 3)$

b) $P(X \leq 4)$

c) احتمال تدوير مُؤشِّر القرص 3 مَرَّات على الأقل حتى يقف عند اللون الأخضر أوَّل مَرَّة.

توقّع المتغير الهندسي: كم محاولة ننتظر؟

• التوقُّع للمُتغيِّر العشوائي الهندسي يساوي مقلوب الاحتمال الثابت لجميع المحاولات.
• فإذا كان احتمال ظهور الصورة عند إلقاء قطعة نقد منتظمة هو $\frac{1}{2}$، فمن المُتوقَّع ظهورها أوَّل مَرَّة بعد إلقاء النقد مَرَّتين.
• رموز رياضية: يُستعمل كلٌّ من الرمز $E(X)$ والرمز $\mu$ للدلالة على توقُّع المُتغيِّر العشوائي $X$.

إذا افترضتُ أنَّ المُراسِل الصحفي قد سأل 35 زائرًا، وأنَّ أيًّا منهم لم يشاهد المباراة، فهل يعني ذلك أنَّ نسبة 5% غير صحيحة أو أنَّها فقط مصادفة؟ أُبرِّر إجابتي.

تسويق: أعلنت إحدى شركات تصنيع حبوب الفطور للأطفال عن وجود لعبة مجانية في بعض علب الحبوب الجديدة التي تُنتجها الشركة. إذا احتوت علبة من كل 4 علب على لعبة، ودلَّ المُتغيِّر العشوائي $X$ على عدد العلب التي سيفتحها الطفل حتى يجد لعبة، فكم علبة يُتوقَّع أن يفتحها الطفل حتى يجد أوَّل لعبة؟

التجربة ذات الحدين: عدد محاولات محدد

• محاولات مستقلة ومُتكرِّرة: اشتمال التجربة على محاولات مستقلة ومُتكرِّرة.
• نجاح أو فشل: فرز النتائج المُمكِنة في كل محاولة إلى نجاح أو فشل.
• احتمال ثابت: ثبات احتمال النجاح في كل محاولة.
• عدد مُحدَّد: وجود عدد مُحدَّد من المحاولات في التجربة.

هل تُعدُّ التجربة في الفرع 2 من المثال 4 هندسية؟ أُبرِّر إجابتي.

أُبيّن إذا كانت التجربة تُمثِّل تجربة احتمالية ذات حدَّين:

⁦a)⁩ إلقاء حجر نرد منتظم 20 مَرَّة، ثمَّ كتابة عدد المَرَّات التي ظهر فيها العدد 1 على الوجه العلوي لحجر النرد.

⁦b)⁩ اختيار 7 طلبة عشوائيًا من صف روضة فيه 15 ولدًا و10 بنات، وذلك لتشكيل فريق لإحدى الألعاب، ثمَّ كتابة عدد البنات اللاتي وقع عليهن الاختيار.

المتغير ذو الحدين وقاعدة احتماله

• إذا دلَّ المُتغيِّر العشوائي $X$ على عدد مَرَّات النجاح في جميع محاولات التجربة التي عددها $n$، فإنَّ $X$ يُسمى المُتغيِّر العشوائي ذو الحدَّين.
• احتمال النجاح في كل محاولة هو $p$.
• يُعبَّر عنه بالرموز: $X \sim B(n, p)$، حيث $n$ و $p$ معاملا المُتغيِّر العشوائي.
• ومن ثَمَّ، فإنَّ المُتغيِّر $X$ يأخذ القِيَم الآتية: $0, 1, 2, ..., n$.

• المُتغيِّر العشوائي ذو الحدَّين يأخذ قِيَمًا معدودة؛ لذا يُسمى مُتغيِّرًا عشوائيًا مُنفصلاً.

هل يُمكن استعمال $\binom{n}{n-r}$ بدلاً من $\binom{n}{r}$ في صيغة احتمال توزيع ذي الحدَّين؟ أُبرِّر إجابتي.

⁦a)⁩ ألقت عائشة حجر نرد منتظمًا 10 مَرَّات. ما احتمال ظهور العدد 1 على الوجه العلوي 3 مَرَّات فقط.

⁦b)⁩ تحتوي آلة حاسبة على 16 زرًّا للعمليات الأساسية، والمساواة، والفاصلة العشرية، والأعداد من 0 إلى 9. إذا أغمض أحمد عينيه، ثمَّ ضغط على أزرار هذه الآلة 20 مَرَّة بصورة عشوائية، فما احتمال أن يضغط على أزرار العمليات الحسابية الأساسية 3 مَرَّات فقط؟

⁦c)⁩ إذا كان احتمال نجاح عملية جراحية هو 0.8، وأجرى طبيب هذه العملية 10 مَرَّات خلال عام واحد، فما احتمال أن تنجح 7 عمليات منها على الأقل؟

توقع المتغير ذي الحدين

سيارات: بعد إجراء مسح للسيارات التي صنعتها شركة ما، تبيَّن أنَّ في 5% منها عطلاً ميكانيكيًا. إذا استورد وكيل للشركة في إحدى الدول 1000 سيارة، فأجد عدد السيارات التي يُتوقَّع أن يظهر فيها هذا العطل.

تباين المتغير ذي الحدين: مقدار التشتّت

• التباين $Var(X)$ أو $\sigma^2$ هو مقياس لتشتُّت قِيَم $X$ عن وسطها الحسابي $E(X)$.

• معلومة: توجد اختبارات عِدَّة للخرسانة المُتصلِّبة، منها: اختبار مقاومة الضغط، واختبار مقاومة الشَّدِّ، واختبار النفاذية.

فحص مُراقب الجودة في أحد المصانع 500 عيِّنة عشوائيًا من الخلطات الخرسانية، فوجد أنَّ 10 منها لا تُطابق المواصفات. إذا فحص مُراقب الجودة 200 عيِّنة أخرى، فأجد كلاً ممّا يأتي:

⁦a)⁩ العدد المُتوقَّع من العيِّنات التي لا تُطابق المواصفات من الـ 200 عيِّنة التي فحصها مُراقب الجودة.

b) تباين عدد العيِّنات التي لا تُطابق المواصفات من الـ 200 عيِّنة التي فحصها مُراقب الجودة.