امتحان الرياضيات الوزاري 2024، الدورة العامة، الورقة الثانية، مع الإجابات

ناتج: $\int (3^{-x} + \sin(-x)) \, dx$ ، هو:

ناتج: $\int (\cot^2 3x + 2) \, dx$ ، هو:

قيمة: $\int_{0}^{a} \frac{1}{a+\frac{x}{2}} dx, a > 0$ ، هي:

معتمدًا الشكل الآتي الذي يُمثّل منحنى الاقتران: $f(x) = |x - 2| + 1$ ، فإنّ قيمة $\int_{0}^{4} f(x) dx$ ، هي:

إذا كان: $f'(x) = (2e^x + 1)^2$ ، وكان: $f(0) = 6$ ، فإنّ قاعدة الاقتران $f$ ، هي:

يتحرك جُسيم في مسار مستقيم، وتُعطى سرعته بالاقتران: $v(t) = 2 \cos(\frac{t}{3})$ ، حيث $v$ السرعة بالمتر لكل ثانية، و $t$ الزمن بالثواني. إنّ إزاحة الجُسيم بالأمتار في الفترة $[0, 2\pi]$ ، هي:

ناتج: $\int \cos^3 x \sin^2 x dx$ ، هو:

قيمة: $\int_{0}^{1} 20x(1-x)^3 \, dx$ ، هي:

ناتج: $\int \frac{4}{(x-2)(x+2)} \, dx$ ، هو:

ناتج: $\int \ln \sqrt{x} \, dx$ ، هو:

الحل العام للمعادلة التفاضلية: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{xy} \ , \ x > 0, \ y > 0$ ، هو:

معتمدًا الشكل الآتي الذي يُمثّل منحنى السرعة - الزمن لجسيم يتحرك على المحور x في الفترة الزمنية [0,6]. إذا بدأ الجسيم الحركة من x = 2 عندما t = 0 ، فإنّ الموقع النهائي للجسيم، هو:

حل المعادلة التفاضلية: $\frac{dy}{dx} = e^{(x+y)}$ ، الذي يحقق النقطة $(0, 0)$ ، هو:

معتمدًا الشكل الآتي، المثلث $OAB$ فيه: $\vec{OA} = \vec{a}$ ، و $\vec{OB} = \vec{b}$ ، والنقطة $D$ هي منتصف $\overline{AB}$ . إنّ $\vec{OD}$ بدلالة كل من $\vec{a}$ و $\vec{b}$ ، هو:

إذا كان: $\vec{v} = \langle a, a-1, a+1 \rangle$ ، وكان: $|\vec{v}| = \sqrt{5}$ ، فإنّ القيمتين الممكنتين للثابت $a$ ، هما:

إذا كان: $\vec{u} = -2\hat{i} + 3\hat{k}$ ، $\vec{v} = 3\hat{j} - 2\hat{k}$ ، فإنّ $2\vec{u} - 3\vec{v}$ ، هو:

إذا كان متجه الموقع للنقطة $M$ هو $\langle 4, 2, -8 \rangle$ ، وكان متجه الموقع للنقطة $N$ هو $\langle 4, -4, 6 \rangle$ ، فإنّ متجه الموقع للنقطة $K$ التي تقع في منتصف $\overline{MN}$ ، هو:

إذا كان: $\vec{v} = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$ ، فإنّ المتجه الذي له اتجاه $\vec{v}$ نفسه، ومقداره 9 ، هو:

إحداثيات النقطة التي تقع على المستقيم $l$ الذي له معادلة متجهة: $\vec{r} = \langle 4, 5, -2 \rangle + t\langle -3, 1, 2 \rangle$ ، وتقع أيضًا في المستوى $XZ$ ، هي:

إذا كان: $\vec{u} = \langle -2, 1 - a, 3 \rangle$ ، $\vec{v} = \langle b + 1, 4, -6 \rangle$ ، وكان: $\vec{u} \parallel \vec{v}$ ، فإنّ قيمة $(a + b)$ ، هي:

في تجربة إلقاء حجر نرد منتظم 5 مرات، فإنّ احتمال ظهور عدد فردي 3 مرات، هو:

إذا كان: $X \sim B(4, p)$ ، وكان: $P(X = 1) = P(X = 2)$ ، فإنّ التباين للمتغيّر العشوائي X ، هو:

اعتمادًا على القاعدة التجريبية في الشكل الآتي، إذا اتّخذ التمثيل البياني لأطوال مجموعة من الطلبة شكل المنحنى الطبيعي بوسط حسابي μ ، وانحراف معياري σ . فإنّ النسبة المئوية للطلبة الذين تقلّ أطوالهم عن الوسط الحسابي بمقدار لا يزيد على انحرافين معياريين، هي:

إذا كان: $X \sim N(\mu, \mu^2)$ ، $\mu > 0$ ، وكانت قيمة z المعيارية المقابلة لقيمة $x = 1$ هي 2 ، فإنّ قيمة الانحراف المعياري لهذا التوزيع، هي:

ملحوظة: يمكنك الاستفادة من الجدول الآتي الذي يُمثّل بعضًا من قيم جدول التوزيع الطبيعي المعياري.

إذا كان Z متغيّرًا عشوائيًا طبيعيًا معياريًا ، فإنّ $P(-0.5 < z < 1.5)$ يساوي:

السؤال الثاني: (32 علامة) a) جد كلاً من التكاملات الآتية: 1) $\int (1 + \cos^2 x) \tan^3 x \, dx$ 2) $\int \frac{4x^3 - 2}{2x^2 - 3x - 2} \, dx$

b) معتمدًا الشكل المجاور، ما مساحة المنطقة المظللة؟ f(x) = ⁦2x³⁩ - x² - ⁦5x⁩ g(x) = ⁦3x⁩ - x²

السؤال الثالث: (22 علامة) a) جد قيمة التكامل الآتي: $\int_{0}^{1} \frac{x^3 e^{x^2}}{(x^2 + 1)^2} \, dx$

b) معتمدًا الشكل المجاور الذي يُمثّل منحنيي الاقترانين: $f(x) = \sqrt{ax} \ , \ g(x) = \frac{x}{a} \ , \ a > 0 \ , \ x \geq 0$ إذا كان حجم المجسم الناتج من دوران المنطقة المظللة حول المحور x يساوي $\frac{64\pi}{3}$ وحدة مكعبة، فجد قيمة الثابت a.

معتمدًا الشكل المجاور الذي يظهر فيه متوازي الأضلاع OABC ، إذا كان: $\vec{OA} = 6\vec{a}$ و $\vec{OC} = 6\vec{b}$ ، وكانت النقطة T تقع على CB ، بحيث كان $CT = \frac{1}{2} TB$ ، والنقطة U تقسم AB ، حيث $AU:UB = 1:2$ . إذا مُدّ الضلع OA على استقامته إلى النقطة D ، حيث $OD = \frac{4}{3} OA$ ، فأثبت باستعمال المتجهات أنّ النقاط: T, U, D تقع على استقامة واحدة.

إذا كانت: $\vec{r_1} = \langle 2, 4, -8 \rangle + t \langle 2, -2, 14 \rangle$ معادلة متجهة للمستقيم $l_1$ ، وكانت: $\vec{r_2} = \langle -2, 2, 3 \rangle + u \langle 5, 1, -4 \rangle$ معادلة متجهة للمستقيم $l_2$ ، فأثبت أنّ المستقيمين $l_1, l_2$ متقاطعان، ثمّ جد نقطة التقاطع.

في الشكل المجاور يظهر مُكعّب طول ضلعه ⁦4cm⁩ مرسومًا في نظام الإحداثيات ثلاثي الأبعاد، بحيث يقع أحد رؤوسه في نقطة الأصل O ، وتقع أحرفه: $\vec{OC}$ على المحور x ، و $\vec{OB}$ على المحور y ، و $\vec{OD}$ على المحور z. جد $m\angle DAO$ إلى أقرب عشر درجة (باستعمال المتجهات).

في يوم طبي مجاني، حلّلت لجنة طبية فصائل دم لطلبة إحدى المدارس. إذا كان احتمال ظهور فصيلة الدم $A^+$ يساوي 0.2 عند إجراء هذا التحليل لعيّنات دم الطلبة، فجد كلاً ممّا يأتي: 1) احتمال تحليل أكثر من ثلاث عيّنات دم حتى ظهور أول عيّنة من فصيلة الدم $A^+$. 2) العدد المتوقع لعيّنات الدم التي ستُحلّل إلى حين ظهور أول عيّنة من فصيلة الدم $A^+$.

أُجريت دراسة على 20000 شجرة في غابة، فتبيّن أنّ 2136 شجرة يقلّ طول كلّ منها عن ⁦10m⁩ . إذا كانت أطوال هذه الأشجار تتبع توزيعًا طبيعيًا وسطه الحسابي $\mu$ وانحرافه المعياري ⁦4m⁩ ، فجد قيمة $\mu$ . ملحوظة: يمكنك الاستفادة من الجدول الآتي الذي يمثّل بعضًا من قيم جدول التوزيع الطبيعي المعياري.