امتحان الرياضيات الوزاري 2026، الدورة العامة، مع الإجابات

الإجابة الصحيحة: د) $$x = 3, x = -5$$

بإعادة ترتيب المعادلة: $x^3 + 3x^2 - 13x - 15 = 0$. بما أنّ $x = -1$ حل، فإنّ $(x + 1)$ عامل من عواملها. بقسمة كثير الحدود على $(x + 1)$ نحصل على $x^2 + 2x - 15 = 0$، وتحليلها يعطي $(x + 5)(x - 3) = 0$، ومنه الحلان الآخران هما $x = 3$ و $x = -5$.

الإجابة الصحيحة: ج) $\frac{6}{x+1} + \frac{1}{(x+1)^2}$

صورة التجزئة لعامل خطي مكرر هي $\frac{A}{x+1} + \frac{B}{(x+1)^2}$. بتوحيد المقامات: $A(x+1) + B = 6x + 7$. بمقارنة المعاملات: $A = 6$، و $A + B = 7 \implies B = 1$. إذن التجزئة هي $\frac{6}{x+1} + \frac{1}{(x+1)^2}$.

الإجابة الصحيحة: ب) $$-4$$

بحسب نظرية الباقي، $f(1) = f(-2)$. نحسب $f(1) = 1 + 3 + p - 32 = p - 28$. ونحسب $f(-2) = 16 - 24 - 2p - 32 = -2p - 40$. بمساواتهما: $p - 28 = -2p - 40 \implies 3p = -12 \implies p = -4$.

الإجابة الصحيحة: ب) $$-\frac{1}{\sqrt{5}}$$

بما أنّ $\frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi$ فإنّ $\frac{3\pi}{4} < \frac{\theta}{2} < \pi$ (الربع الثاني)، وبالتالي تكون إشارة الظل سالبة. باستخدام متطابقة نصف الزاوية: $\tan^2\frac{\theta}{2} = \frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta} = \frac{1-\frac{2}{3}}{1+\frac{2}{3}} = \frac{1}{5}$. إذن: $\tan\frac{\theta}{2} = -\frac{1}{\sqrt{5}}$.

الإجابة الصحيحة: أ) $$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x$$

باستخدام متطابقة جيب التمام لمجموع زاويتين: $\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right) = \cos x \cos\frac{\pi}{6} - \sin x \sin\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x - \frac{1}{2}\sin x$. بالتعويض في المقدار: $\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x - \frac{1}{2}\sin x + \frac{1}{2}\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x$.

الإجابة الصحيحة: ج) $$\sec x$$

كتابة $\tan x$ بدلالة الجيب وجيب التمام: $\cos x + \sin x \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right) = \cos x + \frac{\sin^2 x}{\cos x}$. بتوحيد المقامات: $\frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos x} = \frac{1}{\cos x} = \sec x$.

الإجابة الصحيحة: د) $$x = \pi$$

بتحليل المعادلة التربيعية: $(\cos x - 4)(\cos x + 1) = 0$. إمّا $\cos x = 4$ (مرفوض؛ لأنّ المدى $[-1, 1]$). أو $\cos x = -1 \implies x = \pi$ في الفترة المحددة.

الإجابة الصحيحة: د) $$x = \frac{13\pi}{8}, x = \frac{15\pi}{8}$$

كتابة $\sec x = \frac{1}{\cos x}$، والضرب في $\cos x$: $4\sin x \cos x + \sqrt{2} = 0$. باستخدام متطابقة ضعف الزاوية: $2\sin(2x) = -\sqrt{2} \implies \sin(2x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. بما أنّ $x \in (\pi, 2\pi)$ فإنّ $2x \in (2\pi, 4\pi)$، وعليه $2x = \frac{13\pi}{4}$ أو $2x = \frac{15\pi}{4}$، ومنها $x = \frac{13\pi}{8}, \frac{15\pi}{8}$.

الإجابة الصحيحة: ج) $$\cos 2x$$

مشتقة الاقتران هي: $f'(x) = \cos x - \sin x$. بالضرب: $f(x) \times f'(x) = (\cos x + \sin x)(\cos x - \sin x) = \cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x$.

الإجابة الصحيحة: أ) $$16$$

كتابة الاقتران بالصورة: $f(x) = x^{10/3} + b x^{1/3}$. المشتقة: $f'(x) = \frac{10}{3}x^{7/3} + \frac{b}{3}x^{-2/3}$. بالتعويض: $f'(-1) = -\frac{10}{3} + \frac{b}{3} = 2 \implies b - 10 = 6 \implies b = 16$.

الإجابة الصحيحة: د) $$8 e^{2x}$$

$f'(x) = 2e^{2x} - 2e^{-2x}$، و $f''(x) = 4e^{2x} + 4e^{-2x}$. إذن: $f''(x) + 2f'(x) = (4e^{2x} + 4e^{-2x}) + (4e^{2x} - 4e^{-2x}) = 8e^{2x}$.

الإجابة الصحيحة: د) $$-\frac{1}{2}\ ^\circ\text{C/h}$$

معدل التغير هو المشتقة: $A'(t) = -\frac{32}{(t+2)^3}$. عند $t = 2$: $A'(2) = -\frac{32}{(2+2)^3} = -\frac{32}{64} = -\frac{1}{2}\ ^\circ\text{C/h}$.

الإجابة الصحيحة: ج) $$\frac{1}{e \ln 27}$$

مشتقة الاقتران اللوغاريتمي: $f'(x) = \frac{1}{x(2 + \ln x)\ln 3}$. عند $x = e$ بما أنّ $\ln e = 1$: $f'(e) = \frac{1}{e(3)\ln 3} = \frac{1}{e \ln(3^3)} = \frac{1}{e \ln 27}$.

الإجابة الصحيحة: ب) 7

من الشكل البياني: $f(1) = 1$ وميل القطعة المستقيمة لـ $f$ هو $f'(1) = \frac{4 - 1}{2 - 1} = 3$. بينما ميل القطعة المستقيمة لـ $g$ هو $g'(1) = \frac{2 - 5}{3 - 0} = -1$. باشتقاق $h(x)$: $h'(x) = 2f(x)f'(x) - g'(x) \implies h'(1) = 2(1)(3) - (-1) = 6 + 1 = 7$.

الإجابة الصحيحة: أ) $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$

نشتق بالنسبة لـ $t$: $\frac{dx}{dt} = 2\sec t \tan t$ و $\frac{dy}{dt} = \sec^2 t$. باستخدام قاعدة السلسلة: $\frac{dy}{dx} = \frac{\sec^2 t}{2\sec t \tan t} = \frac{\sec t}{2\tan t}$. عند $t = \frac{\pi}{4}$: $\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{2}}{2(1)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

الإجابة الصحيحة: ب) $$\frac{1}{5}$$

عند $y = 1$: $4^x \ln(1) = \frac{x}{1} - 1 \implies 0 = x - 1 \implies x = 1$. باشتقاق الطرفين ضمنيًا: $(4^x \ln 4)\ln y + 4^x \frac{y'}{y} = \frac{y - x y'}{y^2}$. بالتعويض عن $(1, 1)$: $0 + 4y' = 1 - y' \implies 5y' = 1 \implies y' = \frac{1}{5}$.

الإجابة الصحيحة: أ) 15

بالاشتقاق الضمني: $\frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{y}}\frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}$. الميل عند $(4, 9)$ هو: $m = -\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}} = -\frac{3}{2}$. معادلة المماس: $y - 9 = -\frac{3}{2}(x - 4) \implies y = -\frac{3}{2}x + 15$، إذن المقطع $y$ هو $15$.

الإجابة الصحيحة: د) $$\frac{1}{20\pi}\text{ m/min}$$

نصف قطر قاعدة الأسطوانة $r = 2\text{ m}$، وحجم الوقود $V = \pi r^2 h = 4\pi h$. بمـا أنّ $1\text{ m}^3 = 1000\text{ L}$، فإنّ معدّل التغير في الحجم $\frac{dV}{dt} = \frac{200}{1000} = \frac{1}{5}\text{ m}^3\text{/min}$. بالاشتقاق بالنسبة للزمن: $\frac{dV}{dt} = 4\pi \frac{dh}{dt} \implies \frac{dh}{dt} = \frac{1}{20\pi}\text{ m/min}$.

الإجابة الصحيحة: ب) $4\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)$

$|z| = \sqrt{2^2 + b^2} = 4 \implies b^2 = 12 \implies b = -2\sqrt{3}$ لأنّ $b < 0$. إذن $z = 2 - 2\sqrt{3}i$ في الربع الرابع، وسعته $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{-2\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3}$، فتكون الصورة المثلثية $4\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)$.

الإجابة الصحيحة: أ) $$4 + i$$

نحسب $iw = i(-2 + 10i) = -2i - 10$. بالتعويض: $12 + iw + z = 12 + (-10 - 2i) + (2 + 3i) = (12 - 10 + 2) + (-2 + 3)i = 4 + i$.

الإجابة الصحيحة: ج) $$-34 + 14i$$

بضرب العددين المركبين: $zw = (2 + 3i)(-2 + 10i) = -4 + 20i - 6i + 30i^2 = -4 + 14i - 30 = -34 + 14i$.

الإجابة الصحيحة: ب) $$\pm 3$$

بالضرب في مرافق المقام: $z = \frac{(b + 9i)(1 - bi)}{1 + b^2} = \frac{(10b) + (9 - b^2)i}{1 + b^2}$. لكي يكون $z$ حقيقيًا يجب أن يكون الجزء التخيلي صفرًا: $\frac{9 - b^2}{1 + b^2} = 0 \implies 9 - b^2 = 0 \implies b = \pm 3$.

الإجابة الصحيحة: أ) $x^2 - 2x + 5 = 0$

بما أن المعاملات حقيقية، فإن الجذر الآخر هو المرافق $(1 + 2i)$. مجموع الجذرين $= (1 - 2i) + (1 + 2i) = 2$، وحاصل ضربهما $= (1)^2 + (-2)^2 = 5$. إذن المعادلة هي: $x^2 - 2x + 5 = 0$.

الإجابة الصحيحة: د) $$\frac{7\pi}{12}$$

سعة $z_1$ في الربع الرابع هي $\operatorname{Arg}(z_1) = -\frac{\pi}{6}$، وسعة $z_2$ في الربع الثالث هي $\operatorname{Arg}(z_2) = -\pi + \frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4}$. قياس الزاوية بينهما هو $|-\frac{\pi}{6} - (-\frac{3\pi}{4})| = |-\frac{2\pi}{12} + \frac{9\pi}{12}| = \frac{7\pi}{12}$.

الإجابة الصحيحة: ج) $|z| \le 3$, $-\frac{\pi}{4} < \operatorname{Arg}(z + 1) \le \frac{\pi}{2}$

المنطقة داخل دائرة مركزها نقطة الأصل ونصف قطرها $3$ مع حدود متصلة، إذن $|z| \le 3$. يبدأ الشعاعان من النقطة $(-1, 0)$، فالصيغة هي $\operatorname{Arg}(z+1)$. الشعاع السفلي زاويته $-\frac{\pi}{4}$ وهو متقطع (إشارة $<$)، والعلوي زاويته $\frac{\pi}{2}$ ومتصل (إشارة $\le$).

الإجابة الصحيحة: ب) $$2\ln|\sin \frac{1}{2}x| + C$$

نعلم أن $\int \cot(kx) \, dx = \frac{1}{k}\ln|\sin(kx)| + C$. هنا $k = \frac{1}{2}$، فيكون الناتج $\frac{1}{1/2}\ln|\sin \frac{1}{2}x| + C = 2\ln|\sin \frac{1}{2}x| + C$.

الإجابة الصحيحة: د) $$\frac{2^{2x+1}}{(\ln 2)^2} + C$$

باستخدام قاعدة تكامل الاقتران الأسي ذي الأساس غير الطبيعي: $\int \frac{2^{2x+2}}{\ln 2} \, dx = \frac{1}{\ln 2} \cdot \frac{2^{2x+2}}{2 \ln 2} + C = \frac{2^{2x+1}}{(\ln 2)^2} + C$.

الإجابة الصحيحة: أ) $$\frac{1}{2}$$

باستخدام المتطابقة $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$: $\int_0^\pi \frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx = \left[ \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} \right]_0^\pi = \frac{\pi}{2}$. بمقارنتها مع $a\pi$ نجد أنّ $a = \frac{1}{2}$.

الإجابة الصحيحة: ب) $y = \frac{1}{3}e^{3x} + e^{-x} + \frac{2}{3}$

بإجراء التكامل: $y = \int (e^{3x} - e^{-x}) \, dx = \frac{1}{3}e^{3x} + e^{-x} + C$. نعوض النقطة $(0, 2)$: $2 = \frac{1}{3}(1) + 1 + C \implies C = \frac{2}{3}$. إذن: $y = \frac{1}{3}e^{3x} + e^{-x} + \frac{2}{3}$.

الإجابة الصحيحة: ج) $$16$$

المسافة الكلية هي $d = \int_0^{2\pi} |4\sin t| \, dt$. تنعدم السرعة عند $t = \pi$ في الفترة: $d = \int_0^\pi 4\sin t \, dt + \int_\pi^{2\pi} -4\sin t \, dt = [-4\cos t]_0^\pi + [4\cos t]_\pi^{2\pi} = 8 + 8 = 16$.

الإجابة الصحيحة: ب) $$\frac{1}{6}(x + 1)^6 + C$$

ندمج الأساسين تحت القوة نفسها: $x^5 \left(1 + \frac{1}{x}\right)^5 = \left(x\left(1 + \frac{1}{x}\right)\right)^5 = (x + 1)^5$. بالتكامل المباشر: $\int (x + 1)^5 dx = \frac{(x + 1)^6}{6} + C$.

الإجابة الصحيحة: د) $$\frac{1}{9} \tan^3 3x + C$$

نكتب المقدار على الصورة: $\frac{\sin^2 3x}{\cos^2 3x} \cdot \frac{1}{\cos^2 3x} = \tan^2 3x \sec^2 3x$. باستخدام التعويض: نفرض $u = \tan 3x$ فتكون $du = 3\sec^2 3x dx$. التكامل يصبح: $\frac{1}{3} \int u^2 du = \frac{1}{9} u^3 + C = \frac{1}{9} \tan^3 3x + C$.