امتحان الرياضيات الوزاري 2025، الدورة التكميلية، الورقة الثانية، مع الإجابات

ناتج: $\int (3\sqrt{x} - 2^{-x}) \, dx$ هو:

قيمة: $\int_{2}^{4} \frac{|2x-3|}{3-2x} \, dx$ هي:

إذا كان الاقتران المُبيّن منحناه في الشكل الآتي هو: $f(x) = x(2-x)^2$ ، فإن مساحة المنطقة المظللة (بالوحدات المربعة) هي:

إذا كان: $a < 2$ ، $\int_{-3}^{a} (\frac{-1}{x-2}) dx = \ln(\frac{5}{3})$ ، فإنّ قيمة الثابت $a$ هي:

إذا كان: $\int \frac{x^2+3x+9}{x+3} dx = ax^2 + 9\ln|x+3| + C$ ، فإنّ قيمة الثابت $a$ هي:

قيمة: $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos 2x}{\sin x \cos x + 1} dx$ هي:

يتحرك جُسيم في مسار مستقيم، وتُعطى سرعته بالاقتران: $v(t) = 20 - (2t - 6)^2$ ، حيث $v$ السرعة بالمتر لكل ثانية و $t$ الزمن بالثواني. إذا كان الموقع الابتدائي للجُسيم هو $4\text{ m}$ ، فإنّ موقع الجُسيم بعد $3$ ثوانٍ هو:

قيمة: $\int \frac{(x^2-2x+1)^3}{x^8} dx$ هي:

يُمثّل الاقتران $C(t)$ تركيز دواء في الدم بعد $t$ دقيقة من حقنه في جسم مريض، حيث $C$ مقيسة بالملغرام لكلّ سنتيمتر مكعب (mg/cm³). إذا كان تركيز الدواء لحظة حقنه في جسم المريض ⁦1.5mg/cm³⁩ ، وأخذ يتغيّر بمعدل $C'(t) = \frac{-0.1\, e^{-0.1t}}{(1 + e^{-0.1t})^2}$ ، فإنّ قاعدة الاقتران $C(t)$ هي:

ناتج: $\int \frac{x+4}{x^2-x} \, dx$ هو:

يُبيّن الشكل الآتي منحنى السرعة - الزمن لجسم يتحرك على المحور x في الفترة [0, 7]، إذا بدأ الجسم الحركة من x = 0 عندما t = 0 ، فإنّ إزاحة الجسم في الفترة الزمنية المعطاة هي:

حلّ المعادلة التفاضلية: $x \frac{dy}{dx} = \sqrt{y}\,(3x + 1)$ الذي تحققه النقطة $(1, 1)$ هو:

إذا كانت: $A(-5, -8, 4)$ ، $B(n, 2, -2n)$ ، وكانت: $N(-1, -3, -1)$ نقطة مُنتصف القطعة المُستقيمة $\overline{AB}$ ، فإنّ إحداثيات النقطة $B$ هي:

إذا كان: $\vec{\mathbf{f}} = 5\hat{\imath} - 3\hat{\jmath} + 7\hat{k}$ ، $\vec{\mathbf{g}} = 10\hat{\imath} + 8\hat{\jmath} - 5\hat{k}$ ، فإنّ $2\vec{\mathbf{f}} - \vec{\mathbf{g}}$ هو:

إذا كانت: $A(-2, 8, 12)$ ، $C(0, 1, -14)$ ، فإنّ مُتجه الإزاحة من النقطة $C$ إلى النقطة $A$ هو:

إذا كان: $G(2, 3, -4)$ ، $H(4, -2, 3)$ ، وكانت $D$ نقطة حيث: $\overrightarrow{GH} = \overrightarrow{HD}$ ، فإنّ مُتجه الموقع للنقطة $D$ هو:

إذا كانت: $\vec{\mathbf{r}} = \langle 2, -3, 5 \rangle + t\langle -4, 2, 8 \rangle$ مُعادلة مُتجهة للمستقيم $l$ ، فإنّ إحداثيات نقطة تقاطع المُستقيم $l$ مع المُستوى $yz$ هي:

إذا كان: $\vec{b} = \langle \alpha, 6, -8 \rangle, \vec{a} = \langle 2, -3, 4 \rangle$ ، فإنّ قيمة الثابت $\alpha$ التي تجعل المتجهين $\vec{a}$ و $\vec{b}$ متوازيين هي:

في متوازي الأضلاع $PSRQ$ الآتي، تقع النقطة $N$ على $\overline{SQ}$ ، حيث $SN:NQ = 3:2$ إذا كان: $\vec{RN} = k(2\vec{a} + 3\vec{b})$ ، فإنّ قيمة الثابت $k$ هي:

إذا كانت $P(1, 1, 3)$ نقطة غير واقعة على المستقيم $l$ ، وكان مسقط العمود من النقطة $P$ على المستقيم $l$ هو $F(2, \frac{1}{2}, \frac{5}{2})$ ، فإنّ البعد بين النقطة $P$ والمستقيم $l$ (بوحدات الطول) هو:

يُمثّل الشكل الآتي قُرصًا مُقسّمًا إلى ثلاثة قطاعات دائرية متطابقة. إذا دلّ المتغيّر العشوائي $X$ على عدد مرات تدوير مؤشر القرص حتى يقف عند القطاع الذي يحمل العدد 0 أول مرة، فإنّ قيمة $E(X)$ هي:

إذا كان: $X \sim B(n, 0.2)$ ، وكان: $E(X) = 4$ ، فإنّ التباين للمتغيّر العشوائي $X$ هو:

توصلت دراسة إلى أنّ أعمار النساء في إحدى الدول تتبع توزيعًا طبيعيًا وسطه الحسابي 72 عامًا، وانحرافه المعياري 6 أعوام. إذا اختيرت امرأة عشوائيًا فإنّ احتمال أن يقلّ عُمرها عن 60 عامًا هو: ملحوظة: استعمل الجدول الآتي الذي يمثّل بعضًا من قيم جدول التوزيع الطبيعي المعياري.

يدلّ المتغيّر العشوائي الطبيعي: $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ ، على كُتَل الحاويات المخصّصة للشحن في أحد المصانع. إذا كان: $P(X > \mu + 15) = 0.37$ ، فإنّ $P(X < \mu - 15)$ هو:

يدلّ المتغيّر العشوائي الطبيعي: $X \sim N(2.2, \sigma^2)$ ، على كُتَل الدجاج (بالكيلوغرام) في إحدى المزارع. إذا كانت كُتَل 95% منها تتراوح بين $1.6\text{ kg}$ و $2.8\text{ kg}$ ، فإنّ قيمة الانحراف المعياري $\sigma$ لكُتَل الدجاج هي: ملحوظة: استعمل القاعدة التجريبية المبيّنة في الشكل الآتي.

a) جد كلًّا من التكاملات الآتية: 1) $\int \frac{e^{3x}}{e^{2x}+2e^{x}-3} \, dx$ 2) $\int x \sec^2 x \tan x \, dx$

b) جد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيي الاقترانين: $f(x) = x^2 + 11$ , $g(x) = x^4 - 1$

a) يُبيّن الشكل المجاور المنطقة المحصورة بين المحورين الإحداثيين في الربع الأول، ومنحنى الاقتران $f(x) = \sqrt{x - 2}$ ، والمستقيمين: $x = 6$ , $y = 5$ جد حجم المُجسّم الناتج من دوران المنطقة المظلّلة حول المحور $x$

b) جد الحلّ الخاص الذي يُحقّق الشرط الأولي: $y(2) = 1$ ، للمعادلة التفاضلية: $\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{3y - 2} - \frac{x}{2y - 1}$

في الشكل المجاور إذا كانت: $\vec{MA} = \vec{a}$ , $\vec{BC} = \vec{b}$ ، وكانت $AM:MB = 1:2$ ، وكانت $N$ نقطة منتصف $\overline{AC}$ ، و $C$ نقطة منتصف $\overline{BD}$ . فاستعمل $\vec{a}$ و $\vec{b}$ في إثبات أنّ: $M$ و $N$ و $D$ تقع على استقامة واحدة.

إذا كان المستقيم $l_1$ يمرّ بالنقطتين: $(7, -1, -4)$ , $(-8, -1, 8)$، وكان المستقيم $l_2$ يمرّ بالنقطتين: $(-1, 4, 7)$ , $(5, -6, -7)$، وكان المستقيمان $l_1$ و $l_2$ يتقاطعان في النقطة $B$، فأجب عن كلّ ممّا يأتي: 1) جد إحداثيات النقطة $B$ 2) جد قياس الزاوية الحادة بين المستقيمين $l_1$ و $l_2$ إلى أقرب عُشر درجة

في أثناء فترة الإحماء قبل انطلاق صافرة بدء مباراة كرة قدم بين فريقين، سدّد لاعب من أحد الفريقين المتنافسين 5 ركلات جزاء نحو المرمى. إذا كان احتمال تسجيله هدفًا في كلّ ركلة جزاء هو $\frac{3}{4}$ ، فجد كلًّا ممّا يأتي في صورة كسر عادي بأبسط صورة: 1) احتمال أن يسجّل اللاعب هدفًا في تسديدتين فقط من بين 5 ركلات جزاء. 2) احتمال أن يفشل اللاعب في تسجيل هدف في تسديدة واحدة على الأقلّ من بين 5 ركلات جزاء.

يدلّ المتغيّر العشوائي الطبيعي $X \sim N(1000, \sigma^2)$ على كُتَل أكياس من الجزر (بالغرام) التي يعرضها للبيع إحدى أسواق الخضار والفواكه. إذا زادت كُتَل 5% من الأكياس على $1010 \text{ g}$ ، فجد قيمة الانحراف المعياري لكُتَل أكياس الجزر. (قرّب الناتج لأقرب منزلتين عشريتين)

ملحوظة: يمكنك الاستفادة من الجدول الآتي الذي يمثّل بعضًا من قيم جدول التوزيع الطبيعي المعياري.