امتحان الرياضيات الوزاري 2025، الدورة التكميلية، الورقة الأولى، مع الإجابات

إذا كان: $f(x) = \ln(\frac{x^2}{e}), x \neq 0$، فإن $f'(x)$ هي:

إذا كان: $f(x) = \sin x + \pi \cos x$، فإن $f'(\frac{3\pi}{2})$ هي:

يُبيّن الشكل الآتي منحنى الاقتران $g(x)$. إذا كان: $h(x) = g(x)e^{-x}$، فإن $h'(4)$ هي:

إذا أمكن التعبير عن ارتفاع نبتة مُهجّنة من نبات تبّاع الشمس باستعمال الاقتران: $h(t) = \frac{t^2}{4+t^2}$، حيث $h$ ارتفاع النبتة بالأمتار، و $t$ الزمن بالأشهر بعد زراعة البذور، فإنّ معدّل تغيّر ارتفاع النبتة بالنسبة إلى الزمن عندما $t=1$ هو:

إذا كان: $f(x) = 5^{2-x}$، فإنّ ميل العمودي على المماس لمنحنى الاقتران $f(x)$ عندما $x=2$ هو:

إذا كان: $f(x) = \cot \pi x$، فإنّ $f'(\frac{1}{4})$ هي:

إذا كان: $f(x) = \frac{4}{x+1}, x < -1$، فإنّ إحداثيي النقطة التي يكون عندها $f'(x) = -1$ هي:

إذا كان الاقتران: $A(t) = Ne^{0.1t}$ يُمثّل عدد الخلايا البكتيرية بعد $t$ ساعة في مجتمع بكتيري، وكان معدّل نمو المجتمع بعد 10 ساعات هو ($200e$) خلية لكلّ ساعة، فإنّ قيمة الثابت $N$ هي:

إذا كان: $h(x) = (f \circ g)(x)$، وكان: $f(1) = 3, f'(1) = -1, g(2) = 1, g'(2) = 2$؛ فإن $h'(2)$ هي:

إذا كان الاقتران: $s(t) = 5 - \sin t, t \ge 0$ يُمثّل موقع جُسيم يتحرك في مسار مستقيم، حيث $s$ الموقع بالأمتار، و $t$ الزمن بالثواني، فإنّ موقع الجُسيم عندما كان في حالة سكون لحظي أوّل مرة بعد انطلاقه هو:

إذا كان: $f(x) = (\log_2(x - 1))^3$؛ فإنّ $f'(5)$ هي:

يتحرك جُسيم على منحنى الاقتران: $f(x) = \frac{8}{2 + \sqrt{x}}, x \ge 0$. إذا كان معدّل تغيّر الإحداثي $x$ هو $2.5 \text{ cm/s}$ ، فإنّ معدّل تغيّر الإحداثي $y$ عندما $x = 4 \text{ cm}$ هو:

اعتمادًا على الشكل الآتي الذي يُبيّن التمثيل البياني لمنحنى الاقتران $f(x)$ ، فإنّ للاقتران $f(x)$ قيمة عظمى محلية هي:

إذا كان: $f(x) = x + \frac{9}{x}$ ، فإنّ للاقتران $f(x)$ قيمة عظمى مطلقة في الفترة $[-6, -1]$ هي:

اعتمادًا على الشكل الآتي الذي يُبيّن منحنى المشتقة الأولى للاقتران $f'(x)$ ، فإنّ النقطة (النقاط) من بين مجموعة النقاط $\{T, E, N, R, W, M\}$ التي يكون عندها للاقتران $f(x)$ قيمة (قيم) صغرى محلية هي:

إذا كان للاقتران: $f(x) = \ln(ax^2 + 6) \ , \ a > 0$ نقطة انعطاف عندما $x = \sqrt{2}$، فإنّ قيمة الثابت a هي:

يُمثّل الاقتران: $s(x) = 30 - 0.2x$ سعر المعطف (بالدينار) الذي حدده أحد مصانع الألبسة، حيث $x$ عدد المعاطف المبيعة. إذا مثّل الاقتران: $C(x) = 10 + 0.1x^2$ تكلفة إنتاج $x$ معطف، فإنّ عدد المعاطف اللازم بيعها لتحقيق أكبر ربح ممكن هو:

ملحوظة: في جميع الفقرات من 18 إلى 25، فإن $\sqrt{-1} = i$ حيثما وردت. إذا كان: $z = 3 - 2i$ ، فإن $|z^2|$ هو:

ملحوظة: في جميع الفقرات من 18 إلى 25، فإن $\sqrt{-1} = i$ حيثما وردت.

ناتج $\frac{2+8i}{-2i}$ بالصورة القياسية هو:

ملحوظة: في جميع الفقرات من 18 إلى 25، فإن $\sqrt{-1} = i$ حيثما وردت.

إذا كان $z$ عددًا مركبًا، وكان: $\text{Arg}(\bar{z}) = \frac{2\pi}{3}$ ، $|z| = 4$ ، فإنّ الصورة القياسية للعدد المركب $z$ هي:

ملحوظة: في جميع الفقرات من 18 إلى 25، فإن $\sqrt{-1} = i$ حيثما وردت.

إذا كان: $z = 1 - 3i$ ، و $w = 1 + i$ ، فاعتمد ذلك للإجابة عن الفقرتين (21) و (22) الآتيتين:

قيمة $(Arg(z - w))$ هي:

ملحوظة: في جميع الفقرات من 18 إلى 25، فإن $\sqrt{-1} = i$ حيثما وردت.

إذا كان: $z = 1 - 3i$ ، و $w = 1 + i$ ، فاعتمد ذلك للإجابة عن الفقرتين (21) و (22) الآتيتين:

ناتج $z + 2\overline{w}$ هو:

ملحوظة: في جميع الفقرات من 18 إلى 25، فإن $\sqrt{-1} = i$ حيثما وردت.

متباينة المحلّ الهندسي (بدلالة $z$) التي تُمثّل المنطقة المظلّلة في الشكل الآتي هي:

ملحوظة: في جميع الفقرات من 18 إلى 25، فإن $\sqrt{-1} = i$ حيثما وردت.

إذا كان: $a - 3i$ هو أحد جذور المعادلة: $x^2 - 8x + b = 0$ ، حيث $a$ و $b$ عددان حقيقيان، فإنّ قيمة $b$ هي:

ملحوظة: في جميع الفقرات من 18 إلى 25، فإن $\sqrt{-1} = i$ حيثما وردت.

إذا كان: $z_1 = 3 + pi$ ، و $z_2 = 5 + i\sqrt{11}$ ، وكان: $|z_1 z_2| = 30$ ، فإنّ القيمتين الممكنتين للثابت $p$ هما:

a) إذا كان $y = e^{x} \cos x$ ، فبيّن أن: $y'' - 2y' + 2y = 0$

b) جد $\frac{d^2y}{dx^2}$ للمعادلة الوسيطية الآتية عندما $t = 1$ :

a) جد إحداثيي النقطة (النقاط) على منحنى العلاقة: $x^2 + 4xy + 2y^2 = 7$ ، بحيث يكون عندها مماس المنحنى موازيًا للمستقيم: $3x + 4y = 2$

b) إذا كان: $y = (x^2 + 3)^{x-1}$ ، فاستعمل الاشتقاق اللوغاريتمي لإيجاد $\frac{dy}{dx}$ عندما $x = 1$

c) يدور مصباح مُثبّت بالأرض حول نفسه 8 دورات في الدقيقة، ويبعد مسافة ⁦2 m⁩ عن جدار مستقيم كما في الشكل المجاور. جد سرعة تحرُّك بقعة ضوء المصباح على الجدار عندما تكون على بُعد ⁦0.5 m⁩ من أقرب نقطة إلى المصباح على الجدار أثناء حركتها مُقتربة من هذه النقطة.

a) جد فترات التزايد وفترات التناقص والقيم القصوى المحلية (إن وجدت) للاقتران الآتي باستعمال الاشتقاق: $f(x) = \cos^2 x + \sin x \ , \ \left[0, \frac{2\pi}{3}\right]$

b) يبيّن الشكل المجاور مستطيلًا مرسومًا داخل المثلث $ABC$ القائم الزاوية في $B$ ، حيث $BA = BC$ . جد أبعاد المستطيل التي تجعل مساحته أكبر ما يمكن.

a) إذا كان: $z_1 = 2\left(\cos\frac{5\pi}{6} + i \sin\frac{5\pi}{6}\right)$ ، $z_2 = 4\left(\cos\frac{\pi}{3} + i \sin\frac{\pi}{3}\right)$ ، فجد $z_1 z_2$ بالصورة المثلثية.

b) جد قيمة $x$ ، وقيمة $y$ الحقيقيتين اللّتين تجعلان المعادلة الآتية صحيحة:

c) جد العدد المركّب الذي يحقّق كلًّا من المحلّ الهندسي الذي معادلته: $|z - 5| = |z - 3i|$ ، والمحلّ الهندسي الذي معادلته: $\text{Arg}(z - 6 - 2i) = \frac{3\pi}{4}$