امتحان الرياضيات الوزاري 2025، الدورة العامة، الورقة الثانية، مع الإجابات

ناتج: ∫ (cos x cos ⁦3x⁩) / (cos ⁦2x⁩ + cos ⁦4x⁩) dx هو:

ناتج: ∫ (x² + ⁦2x⁩ + 2) / (x + 2) dx هو:

إذا كان الاقتران المبين منحناه في الشكل الآتي هو: f(x) = 5 - 5^x ، فإن مساحة المنطقة المظللة بالوحدات المربعة هي:

إذا كان: $\int_{a}^{2a} (\frac{x+1}{x}) \, dx = \ln 6$ , $a > 0$ ، فإنّ قيمة الثابت $a$ هي:

قيمة: $\int_{0}^{2} (\frac{e}{2})^{2-x} \, dx$ هي:

قيمة: $\int_{-1}^{0} \sqrt{x^2 - x^4} \, dx$ هي:

قيمة: $\int_{-2}^{0} e^{6x} (2 - \frac{2}{e^x})^5 \, dx$ هي:

يُمثّل الاقتران P(x) سعر القطعة الواحدة (بالدينار) من مُنتَج معين، حيث x عدد القطع المبيعة بالمئات. إذا كان: P'(x) = (-⁦6x⁩) / sqrt(8 + x^2) هو معدّل التغيّر في سعر هذه القطعة، وكان سعر القطعة الواحدة هو ⁦10 JD⁩، عندما يكون عدد القطع المبيعة منها 100 قطعة، فإنّ قاعدة الاقتران P(x) هي:

قيمة: ∫₀^(π/4) tan x sec³ x dx هي:

ناتج: ∫ 1 / (x²(x - 1)) dx هو:

يُبيّن الشكل الآتي منحنى السرعة - الزمن لجسم يتحرك على المحور x في الفترة [0, 8]، إذا بدأ الجسم الحركة من x = 5 عندما t = 0، فإنّ إزاحة الجسم في الفترة الزمنية المعطاة هي:

حلّ المعادلة التفاضلية: $\frac{dy}{dx} = \frac{((x-3) \sin y)^2}{3-x}$ الذي تحققه النقطة $(0, \frac{\pi}{4})$ هو:

إذا كان: $\vec{u} = \langle 2, 4, \sqrt{k} \rangle$ ، وكان: $|\vec{u}| = 3\sqrt{3}$ ، فإنّ قيمة الثابت $k$ هي:

إذا كان: $H(10, 7, 8), G(-2, 3, 2)$ ، فإنّ متّجه الوحدة الذي في اتجاه $\vec{GH}$ هو:

إذا كان متّجه الموقع للنقطة $T$ هو $\langle 6, -5, 1 \rangle$ ، ومتّجه الموقع للنقطة $M$ هو $\langle 2, 3, -3 \rangle$ ، وكانت النقطة $N$ تقع على $TM$ بحيث أنّ: $\vec{TN} = \frac{1}{3} \vec{NM}$ ، فإنّ متّجه الموقع للنقطة $N$ هو:

إذا كان: $\vec{b} = \langle -1, 1, 1 \rangle, \vec{a} = \langle 2, 0, 3 \rangle$ ، وكان: $\vec{pa} - q\vec{b} = \langle 12, -8, -2 \rangle$ ، فإنّ قيمة $p + q$ هي:

إذا كان الشكل الآتي يُمثّل المربع ABCD الذي فيه: A(5, -2, 4) ، B(8, 4, 10) ، C(14, 7, 4)، فإنّ مُتّجه الموقع للنقطة D هو:

إذا كان: $\vec{u} = \langle -6, 9, b \rangle$ ، و $\vec{v} = \langle 4, a, 6 \rangle$ ، وكان: $\vec{u} \parallel \vec{v}$، فإنّ قيمة الثابت a هي:

إذا كان الشكل الآتي يُمثّل مكعباً طول ضلعه 6 وحدات، وكانت النقطة M تُمثّل مركز المكعب، فإنّ للمستقيم l المار بالنقطتين B و M معادلة مُتّجهة تُمثّله هي:

إذا كان: |v⃗| = |w⃗| = √2، وكان: v⃗ · w⃗ = -1، فإنّ قياس الزاوية بين المُتّجهين v⃗ و w⃗ هو:

إحدى التجارب الآتية تُمثّل تجربة احتمالية هندسية:

إذا كان: $X \sim Geo(p)$ ، وكان: $P(X > 3) = 0.512$ ، فإنّ توقّع المتغيّر العشوائي $X$ هو :

إذا كان منحنى التوزيع الطبيعي المجاور يُمثّل نمذجة لأطوال أقطار مسامير (بالمليمتر) التي يُنتجها مصنع، فإنّ الانحراف المعياري لأطوال المسامير التي يُنتجها المصنع هو : ملحوظة: يُمكنك الاستفادة من القاعدة التجريبية الآتية:

إذا كان: $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ ، وكان: $P(X < \mu - k) = 0.12$ ، حيث $k$ ثابت موجب، فإنّ قيمة $P(\mu - k < X < \mu + k)$ هي:

إذا كان: $X \sim N(230, 25)$ ، وكان: $P(230 < X < x) = 0.4$ ، فإنّ قيمة $x$ هي: ملحوظة: يمكنك الاستفادة من الجدول الآتي الذي يُمثّل بعضًا من قيم جدول التوزيع الطبيعي المعياري.

جد كلًّا من التكاملات الآتية: 1) ∫ (⁦3x⁩-4) / (x³+⁦3x²⁩+⁦4x⁩+12) dx 2) ∫ e²ˣ ln(2 + eˣ) dx

معتمدًا الشكل المجاور الذي يُمثّل مُنحنيي الاقترانين: f(x) = ⁦2k⁩(x² - 4) , g(x) = k(4 - x²) ، حيث k ثابت. إذا كان مُنحنيا الاقترانين يتقاطعان في النقطة A والنقطة B، وكانت مساحة المنطقة المظلّلة 16 وحدة مربعة، فجد قيمة الثابت k

يُبيّن الشكل المجاور مُنحنيي الاقترانين: f(x) = 2 + sin x , g(x) = 2 جد حجم المُجسّم الناتج من دوران المنطقة المظلّلة حول المحور x

يُمكن نمذجة مُعدّل تغيّر عدد الطيور في إحدى المحميّات بالمعادلة التفاضلية: dN/dt = N(1 - 1/⁦2 t⁩) ، حيث N عدد الطيور في المحميّة بعد t سنة من بدء دراسة عليها. جد العدد التقريبي للطيور في المحميّة بعد سنتين من بدء الدراسة، علمًا بأنّ عددها عند بدء الدراسة هو 202 طائر.

a) في الشكل المجاور OAQ مثلث فيه: $\vec{OA} = \mathbf{a}, \vec{RB} = \mathbf{b}$ إذا كان $OB:BQ = 1:2$ ، وكانت $RB = 2AR$ ، و $PQ = 2AP$ فاستعمل $\mathbf{a}$ و $\mathbf{b}$ في إثبات أن $RPQB$ شبه منحرف.

b) إذا كانت النقطة $R(0, -2, -6)$ تقع على المستقيم $l_1$ الذي له معادلة متجهة: $\vec{r} = \langle -2, 2, 0 \rangle + u \langle 2, -4, -6 \rangle$ ، وكانت: $\vec{r} = \langle -40, -2, -1 \rangle + t \langle 7, 2, 2 \rangle$ معادلة متجهة للمستقيم $l_2$ ، فأجب عن كل مما يأتي: 1) بيّن أن النقطة $S(23, 16, 17)$ تقع على المستقيم $l_2$ 2) جد مساحة المثلث $RPS$ حيث $P$ نقطة تقاطع المستقيمين $l_1$ و $l_2$. (قرّب الناتج لأقرب عدد صحيح)

a) أجرت شركة تسويق عبر الانترنت دراسة فتبين أن احتمال شراء الزبون لمنتج ما من منتجاتها بعد التواصل معه هو $\frac{1}{4}$ ، إذا تواصلت الشركة مع 8 زبائن، وكان ثمن المنتج ⁦8 JD⁩ ، فجد كلاً مما يأتي: 1) احتمال أن يشتري نصف الزبائن المنتج 2) احتمال أن يكون عائد المبيعات أكثر من ⁦48 JD⁩

b) بيّنت إدارة السير أن سرعة السيارات على أحد الطرق تتبع توزيعًا طبيعيًا: $X \sim N(\mu, 25)$. إذا كانت السرعة القصوى المحدّدة على هذا الطريق $100 \text{ km/h}$ ، وكان العدد الكلي للسيارات التي تسير على هذا الطريق في أحد الأيام هو 500 سيارة، فجد العدد التقريبي للسيارات التي ستتجاوز السرعة القصوى المحدّدة على هذا الطريق في هذا اليوم، علمًا بأن سرعة 20% من السيارات التي تسير على هذا الطريق أكبر من $95 \text{ km/h}$ ملحوظة: يمكنك الاستفادة من الجدول الآتي الذي يُمثّل بعضًا من قيم جدول التوزيع الطبيعي المعياري.