نظريتا الباقي والعوامل

• تعرُّف نظريتي الباقي والعوامل، واستعمالهما لتحليل اقترانات كثيرات الحدود وإيجاد أصفارها.
• حل معادلات كثيرات الحدود.

قسمة كثيرات الحدود: من الطويلة إلى طريقة الجدول

تعلّمتُ سابقًا أنّ كثير الحدود بمُتغيِّر واحد يتكوَّن من وحيد حدٍّ أو أكثر، وأنَّ صورته العامة هي:

• حيث $n$ عدد صحيح غير سالب، و $a_n, a_{n-1}, \ldots, a_1, a_0$ أعداد حقيقية.

• ومن أمثلته:
• $f(x) = x^3 - 6x^2 + 8x$ , $P(x) = 5$ , $P(x) = 2 - x$

• تعلَّمْتُ أيضًا أنّه يُمكِنُ قسمة كثير حدود على كثير حدود آخر باستعمال القسمة الطويلة.
• فمثلًا، يُمكِن قسمة $(x^3 + 2x^2 - 11x - 12)$ على $(x + 4)$ كما يأتي:

كيف يعمل الجدول خطوة خطوة في مثال كامل؟

الجدول خطوة خطوة: ناتج القسمة والباقي

• الخطوة 1: أُنشِئ جدولًا من 4 أعمدة (درجة ناتج القسمة 2) و3 صفوف (درجة المقسوم عليه 1).
• أكتب حدود المقسوم عليه في العمود الأيسر، وأُضيف خانة الباقي إلى منطقة العمل.

• الخطوة 2: أكتب الحدّ الرئيس من المقسوم $(9x^3)$ في الخانة اليسرى العليا من منطقة العمل.

• الخطوة 3: أبحث عن حدٍّ جبري ناتج ضربه في $3x$ يساوي $9x^3$.
• بما أنّ ناتج ضرب $3x$ في $3x^2$ يساوي $9x^3$، فإنّني أكتب $3x^2$ أعلى الجدول.

• الخطوة 4: أضرب $3x^2$ في $-2$، ثمّ أكتب الناتج $(-6x^2)$ في الخانة المُناظِرة للحدّين المضروبين.
• المقسوم لا يحوي حدًّا من الدرجة الثانية، فأُضيف $6x^2$ إلى منطقة العمل كي أحذف الحدّ $-6x^2$.
• عند إضافة $6x^2$ يُمكِن تحديد الحدّ الثاني من ناتج القسمة، وهو $(2x)$؛ لأنّ ناتج ضرب $3x$ في $2x$ يساوي $6x^2$.

• الخطوة 5: أَضرِب $2x$ في $-2$، ثمَّ أكتب الناتج $-4x$ في منطقة العمل.
• للحصول على الحدِّ ذي الدرجة 1 في المقسوم $(-x)$، يجب إضافة $3x$ إلى $-4x$ في منطقة العمل.
• عند إضافة $3x$ يُمكِن تحديد الحدِّ الأخير في ناتج القسمة، وهو $(1)$؛ لأنَّ ناتج ضرب $3x$ في 1 يساوي $3x$

• الخطوة 6: أَضرِب 1 في $-2$، ثمَّ أكتب الناتج $-2$ في الخانة المُتبقِّية من منطقة العمل.
• لم أحصل على قيمة مُساوِية للحدِّ الأخير (الثابت) في المقسوم، فأحتاج إلى إضافة العدد 5 في خانة الباقي.
• لأنَّ ناتج جمعه إلى العدد $-2$ يساوي (3)، وهو الحدُّ الأخير (الثابت) في المقسوم؛ عندئذٍ يكون باقي القسمة 5

• إذن، ناتج القسمة هو: $3x^2 + 2x + 1$، والباقي $5$، ويُمكِنُني كتابة ذلك كما يأتي:

• يُمكِنُني التحقُّق من صِحَّة الحلِّ بإيجاد مجموع الحدود في منطقة العمل، والتحقُّق من مساواتها للمقسوم.

أستعمل طريقة الجدول لإيجاد ناتج كلٍّ ممّا يأتي:

a) $(x^3 + 6x^2 - 9x - 14) \div (x + 1)$

b) $(2x^3 - x^2 + 3) \div (x - 3)$

هل نصل إلى الباقي بطريقة أبسط من القسمة؟

نظرية الباقي: الباقي بالتعويض لا بالقسمة

ألاحظ ممّا سبق أنّه يمكن إيجاد باقي قسمة كثير حدود، مثل: $P(x) = 2x^3 - 7x^2 + 5$ على كثير حدود من الدرجة 1، مثل: $(x-3)$ بطريقتين:

• الطريقة 1: القسمة الطويلة.

• الطريقة 2: طريقة الجدول.

• ولكنْ، هل يمكن إيجاد باقي قسمة كثير حدود على كثير حدود من الدرجة 1 بطريقة أبسط؟
• في المثال أعلاه، أقارن بين باقي القسمة، وهو $(-4)$، وقيمة $P(3)$:
• $P(3) = 2(3)^3 - 7(3)^2 + 5$ — بتعويض $x = 3$
• $= 54 - 63 + 5$ — بالضرب
• $= -4$ — بالتبسيط
• ألاحظ أنّ قيمة $P(3)$ تساوي باقي قسمة كثير الحدود $P(x)$ على $(x-3)$، وهذا يقودنا إلى نظرية الباقي ⁦(remainder theorem)⁩.

أستعمل نظرية الباقي لإيجاد باقي قسمة $P(x)$ على $h(x)$ في كلٍّ ممّا يأتي:

a) $P(x) = 4x^4 - 7x^3 + 5x^2 + 2,\ h(x) = x - 1$

b) $P(x) = 3x^3 + 8x^2 - 3x - 6,\ h(x) = x + 3$

c) $P(x) = -2x^3 - 5x^2 + 10x + 9,\ h(x) = 2x + 8$

ماذا يعني أن يكون الباقي صفرًا؟

نظرية العوامل: باقٍ صفر يعني عاملًا

• إذا كان باقي قسمة كثير الحدود $f(x)$ على $(x - k)$ يساوي 0، فإنَّ:

• حيث $q(x)$ كثير الحدود الناتج من القسمة. ومنه، فإنَّ:

• أيْ إنَّ $(x-k)$ عامل من عوامل $f(x)$، وهذا يُوضِّح نظرية العوامل ⁦(factor theorem)⁩ التي تُعَدُّ حالة خاصة من نظرية الباقي.

• إذا عُلِم أحد عوامل كثير الحدود، فإنَّه يمكن تحليله تحليلًا كاملًا، وذلك بكتابته في صورة حاصل ضرب مجموعة من كثيرات الحدود التي لا يُمكِن تحليلها.

إذا كان: $P(x) = x^3 - 2x^2 - 13x - 10$، فأُجيب عن السؤالين الآتيين:

⁦a)⁩ أُبيِّن أنَّ $(x-5)$ عامل من عوامل $P(x)$.

⁦b)⁩ أُحلِّل $P(x)$ تحليلًا كاملًا.

ما الأصفار التي يمكن أن نجدها قبل أن نبدأ التجريب؟

الأصفار النسبية: قائمة المرشَّحين قبل الاختبار

• وعند تمثيل كثير الحدود بيانيًّا، فإنَّ أصفاره هي إحداثيات $x$ لنقاط تقاطع منحناه مع المحور $x$.
• فمثلًا، لكثير الحدود $Q(x)$ المعطى تمثيله البياني جانبًا، توجد 4 أصفار، هي: $-3, 0, 1, 5$، ويقطع عندها منحنى المحور $x$.

• يُمكِن استعمال نظرية الأصفار النسبية ⁦(rational zero theorem)⁩ لإيجاد بعض الأصفار المُحتمَلة لكثيرات الحدود؛ بُغْيَةَ اختبارها.

• عند إيجاد أحد الأصفار النسبية لكثير الحدود، فإنَّه يُمكِن إيجاد أصفاره الأُخرى باستعمال القسمة والتحليل.
• لإيجاد الأصفار النسبية المُحتمَلة، أقسِم عوامل الحدِّ الثابت على عوامل المعامل الرئيس، ثمَّ أكتب الأصفار النسبية المُحتمَلة في أبسط صورة.

إيجاد جميع الأصفار: مرشَّحون، اختبار، تحليل

أجد جميع أصفار كثير الحدود في ما يأتي:

a) $P(x) = 5x^3 - x^2 - 5x + 1$

b) $Q(x) = x^4 + 6x^3 + 7x^2 - 6x - 8$

كيف نوظّف الأصفار في حلّ معادلة؟

معادلة كثير الحدود: نحلّلها ثم نصفّر كل عامل

• يُمكِن حلُّ بعض معادلات كثيرات الحدود باستعمال طرائق التحليل البسيطة التي تعلَّمْتها سابقًا، مثل التحليل بإخراج عامل مشترك أو باستعمال التجميع،
• لكنَّ بعض معادلات كثيرات الحدود لا يُمكِن حلُّها باستعمال هذه الطرائق، عندئذٍ يُمكِن استعمال نظرية الأصفار النسبية لتحليل كثير الحدود المرتبط بالمعادلة، ثمَّ حلِّ المعادلة.

أحُلُّ كل معادلة ممّا يأتي:

a) $x^3 - x^2 - 9x + 9 = 0$

b) $x^3 + 3x^2 - 4 = 0$

تدريب: قسمة وباقٍ وعوامل ومعادلات

أستعمل طريقة الجدول لإيجاد ناتج القسمة والباقي في كلٍّ ممّا يأتي:

1 $(6x^4 - 5x^3 + 8x^2 - 7x - 12) \div (3x - 4)$

2 $(2x^5 - 5x^4 + 9x^2 - 10x + 15) \div (1 - 2x)$

أستعمل نظرية الباقي لإيجاد باقي قسمة $f(x)$ على $h(x)$ في كلٍّ ممّا يأتي:

3 $f(x) = 8x^4 + 2x^3 - 53x^2 + 37x - 6,\ h(x) = x + 1$

4 $f(x) = 4x^3 + 2x^2 - 6x - 8,\ h(x) = 3x + 4$

أُبيِّن أنَّ $h(x)$ عامل من عوامل $f(x)$ في كلٍّ ممّا يأتي:

5 $f(x) = x^3 - 37x + 84,\ h(x) = x + 7$

6 $f(x) = 2x^3 - 5x^2 - x + 6,\ h(x) = 2x - 3$

أُحلِّل كل اقتران ممّا يأتي تحليلًا كاملًا:

7 $f(x) = x^3 + 3x^2 - 13x - 15$

8 $g(x) = x^4 - 7x^3 + 13x^2 + 3x - 18$

9 $h(x) = 2x^3 - 13x^2 + 17x + 12$

10 $q(x) = 3x^3 - 18x^2 + 2x - 12$

أحُلُّ كلًّا من المعادلات الآتية:

11 $x^3 - 4x^2 - 7x + 10 = 0$

12 $5x^3 - 15x^2 - 47x - 15 = 2x^3 - 10x^2$

13 $3x^3 + 3x^2 - 14x - 8 = 0$

14 $6x^3 - 13x^2 + x + 2 = 0$

ننتقل الآن إلى مسائل بيانية وثوابت مجهولة.

تدريب: بيانيًّا، وثوابت مجهولة، ومسألة اليوم

أستعمل التمثيل البياني لمنحنى كل اقتران ممّا يأتي لإيجاد أحد أصفاره النسبية، ثمَّ إيجاد جميع أصفار الاقتران:

15 $f(x) = 4x^3 - 20x + 16$

16 $f(x) = 4x^3 - 12x^2 - x + 15$

17 إذا كان: $x = 1,\ x = 4$ هما حلَّين للمعادلة: $x^3 - 3x^2 + ax + b = 0$، فأجد الحلَّ الثالث لها.

18 إذا كان باقي قسمة: $f(x) = x^3 + ax^2 + x + 5$ على $x - 1$ يساوي مثلي باقي قسمته على $x + 1$، فما قيمة $a$؟

إذا كان: $f(x) = ax^3 + bx^2 - 9x - 9$، حيث: $a, b$ ثابتان، و $a, b \neq 0$، فأُجيب عن الأسئلة الآتية:

19 إذا كان $(x - 3)$ عاملًا من عوامل الاقتران $f(x)$، فأُبيِّن أنَّ: $3a + b = 4$

20 إذا كان باقي قسمة $f(x)$ على $x - 2$ يساوي $-15$، فأُبيِّن أنَّ: $2a + b = 3$

21 أجد قيمة كلٍّ من $a$، و $b$.

22 أحُلُّ المسألة الواردة في بداية الدرس.

وماذا عن الأسئلة التي تحتاج تفكيرًا أعمق؟

تفكير أعلى: مسألة مفتوحة، خطأ، وتحدٍّ

23 مسألة مفتوحة: أكتب اقترانًا من الدرجة الثالثة يكون $(x-3)$ أحد عوامله، ويكون باقي قسمته على $(x+1)$ يساوي $-8$

24 أكتشف الخطأ: أرادت سهام إيجاد الأصفار النسبية المُحتمَلة للاقتران: $f(x) = -8x^6 + 7x^5 - 3x^4 + 45x^3 - 1500x^2 + 16x$، فكان حلُّها كالآتي:

أُبيِّن الخطأ الذي وقعت فيه سهام، ثمَّ أُصحِّحه.

25 تحدٍّ: إذا كان باقي قسمة كثير الحدود $f(x)$ على $(x - 3)$ يساوي 4، وباقي قسمته على $(x + 2)$ يساوي 9، فأجد باقي قسمة $f(x)$ على $(x - 3)(x + 2)$.