الكسور الجزئية

• كتابة المقدار الجبري النسبي الذي يُمكِن تحليل مقامه في صورة مجموع مقادير جبرية نسبية أبسط.

التجزئة: عكس جمع الكسور النسبية

• عند جمع مقدارين نسبيين مختلفي المقام أو طرحهما، فإنَّه يجب أوّلًا توحيد مقاميهما باستعمال المضاعف المشترك الأصغر (م.م.أ) للمقامين

• تعتمد عملية تجزئة المقادير الجبرية النسبية على عوامل المقام. سأتعلَّم في هذا الدرس حالتين مختلفتين من التجزئة تبعًا لنوع عوامل المقام، وهما:
• عوامل المقام كثيرات حدود خطِّية مختلفة.
• عوامل المقام كثيرات حدود، أحدها تربيعي غير مُكرَّر، ولا يُمكِن تحليله (مُميِّزه سالب).
• عوامل المقام كثيرات حدود، أحدها تربيعي غير مُكرَّر، ولا يُمكِن تحليله (مُميِّزه سالب).

فكيف نبدأ حين تكون كل عوامل المقام خطّية؟

عوامل خطّية مختلفة: ثابت فوق كل عامل

• إذا كانت جميع عوامل كثير الحدود في مقام المقدار النسبي خطِّية، فإنَّه ينتج من كلٍّ منها كسر جزئي بسطه ثابت ومقامه العامل الخطِّي في الصورة الآتية:

1. حلّل المقام: حلّله تحليلًا كاملًا إلى عوامل خطّية مختلفة.
2. أعدّ التجزئة: اكتب كسرًا جزئيًّا لكل عامل، وبسطه رمز مجهول.
3. وحّد المقامات: اضرب طرفي المعادلة في م.م.أ للمقامات، ثم اختصر.
4. أوجد الثوابت: عوِّض قيمة تُصفّر عاملًا لتحذف بقية الرموز، وكرّر لكل عامل.
5. اكتب الناتج: عوِّض قيم الثوابت في الكسور الجزئية.

أُجزِّئ كل مقدار نسبي ممّا يأتي إلى كسور جزئية:

a) $\frac{x}{x^2-5x+6}$

b) $\frac{x+10}{x^2+2x-8}$

أُجزِّئ كُلًّا من المقادير النسبية الآتية إلى كسور جزئية:

عامل تربيعي لا يتحلّل: بسطه مقدار خطّي

• قد يحوي تحليل المقام عاملًا تربيعيًّا لا يُمكِن تحليله، عندئذٍ ينتج من العامل التربيعي كسر جزئي بسطه كثير حدود خطّي في صورة $Ax + B$، ومقامه العامل التربيعي.

• بتحليل كثير الحدود باستعمال الأصفار النسبية

أُجزِّئ $\frac{11x-7}{x^3-2x^2-2x-3}$ إلى كسور جزئية.

أُجزِّئ كُلًّا من المقادير النسبية $\frac{6x^2-7x+10}{(x-2)(x^2+1)}$

وماذا لو كانت درجة البسط كبيرة؟

بسط درجته لا تقلّ عن المقام: اقسم أوّلًا

• إذا كانت درجة $P$ مُساوِية لدرجة $Q$ أو أكبر منها، فيجب أوّلًا تجهيز المقدار النسبي باستعمال القسمة الطويلة، وذلك بقسمة $P$ على $Q$.

1. اقسم: اقسم البسط على المقام بالقسمة الطويلة.
2. اكتب الناتج: اكتب ناتج القسمة مضافًا إليه كسر الباقي على المقام.
3. جزّئ الباقي: حلّل المقام، ثم جزّئ كسر الباقي بإحدى الحالتين السابقتين.

أُجزِّئ $\frac{3x^2+12x+4}{x^2+x}$ إلى كسور جزئية.

أُجزِّئ كُلًّا من المقادير النسبية $\frac{x^3+12x^2+33x+2}{x^2+8x+15}$

مسائل وتبرير: ثبّت الطرق الثلاث

13 أُبيِّن أنَّه يُمكِن كتابة $\frac{1}{x^2-a^2}$ في صورة $\frac{1}{2a(x-a)} - \frac{1}{2a(x+a)}$، حيث $a$ عدد حقيقي لا يساوي صفرًا.

يُستعمَل الاقتران الآتي لتقدير درجة الحرارة لعادم مُحرِّك ديزل:

$R(x) = \frac{2000(4-3x)}{(11-7x)(7-4x)}, \quad 0 \le x \le 1$ حيث $x$ مقدار جهد المُحرِّك، و$R(x)$ درجة الحرارة بالفهرنهايت:

14 أُجزِّئ الاقتران $R(x)$ إلى كسور جزئية.

15 إذا كان $R(x)$ يُمثِّل الفرق بين اقتران أعلى درجة حرارة للعادم واقتران أقل درجة حرارة للعادم، فأجد كلًّا من الاقترانين، وأستعين بالسؤال السابق في عملية الحلِّ.

16 أحُلُّ المسألة الواردة في بداية الدرس.

17 أكتشف الخطأ: بدأت رنيم خطوات تجزئة المقدار $\frac{x^2+3x+1}{(x+3)(x-2)}$ كالآتي:

أُحدِّد الخطأ الذي وقعت فيه رنيم، ثمَّ أُصحِّحه.

تحدٍّ: أُجزِّئ كُلًّا من المقادير النسبية الآتية إلى كسور جزئية:

18 $\frac{3x^3+12x-20}{x^3-4x^2+8x-8}$

19 $\frac{(x-3)^2}{x^3-16x}$

20 تبرير: إذا كان $\frac{ax+b}{x^2-1} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}$، فأجد قيمة كلٍّ من $A$ و$B$ بدلالة المُتغيِّرين $a$ و$b$، ثمَّ أُبرِّر إجابتي.