شرح درس المعدلات المرتبطة – الرياضيات توجيهي

Q: محيط دائرة يتغير مع نصف القطر؟

C=2πr ولذلك C′=2πr′.

Q: مساحة دائرة تتغير؟

A=πr² ولذلك A′=2πr r′.

يتناول هذا الدرس كيفية إيجاد معدل تغير كمية مجهولة بالنسبة للزمن من خلال ربطها بكميات أخرى معلومة معدلات تغيرها، باستخدام قاعدة السلسلة والاشتقاق الضمني.

استراتيجية حل مسائل المعدلات المرتبطة

تبدأ عملية الحل بفهم دقيق للمسألة وتحديد المتغيرات التي تتغير مع الزمن. تعتمد الفكرة الأساسية على اشتقاق العلاقة التي تربط هذه المتغيرات بالنسبة للزمن $t$ .

استراتيجية الحل: مجموعة من الخطوات تشمل: الفهم، الرسم، كتابة المعادلة، الاشتقاق بالنسبة للزمن، ثم التعويض لإيجاد المطلوب.

خطوات الحل المنهجية:

أفهم المسألة: حدد المتغير المطلوب ومعدلات التغير المعطاة.
أرسم مخططاً: حدد الثوابت والمتغيرات بوضوح على الرسم.
أكتب معادلة: اربط بين المتغيرات (مساحة، حجم، فيثاغورس، نسب مثلثية).
أشتق بالنسبة للزمن: استخدم قاعدة السلسلة والاشتقاق الضمني بالنسبة لـ $t$ .
أعوض: ضع القيم المعلومة في اللحظة المطلوبة لإيجاد الناتج.

دائماً اشتق العلاقة بالنسبة للزمن قبل التعويض بالقيم اللحظية؛ التعويض المبكر بالقيم المتغيرة يجعل المشتقة صفراً وهذا خطأ شائع.

معدل تغير المساحة والحجم

عند سقوط قطرة ماء، تتكون موجات دائرية يتغير نصف قطرها ومساحتها بمرور الزمن. نستخدم قوانين المساحة والمحيط للربط بين هذه المعدلات.

في الدائرة، معدل تغير المحيط $dC/dt$ لا يعتمد على طول نصف القطر $r$ لأنه ثابت ( $2\pi \cdot dr/dt$ )، بينما معدل تغير المساحة $dA/dt$ يعتمد طردياً على $r$ .

القوانين المستخدمة:

محيط الدائرة: $C = 2\pi r$
مساحة الدائرة: $A = \pi r^2$
حجم الكرة: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$

انتبه للوحدات؛ إذا كان الحجم بـ $cm^3/s$ ونصف القطر بـ $cm$ ، يجب أن تكون النتيجة متسقة.

المعدلات المرتبطة — يتناول هذا الدرس كيفية إيجاد معدل تغير كمية مجهولة بالنسبة للزمن من خلال ربطها بكميات أخرى معلومة معدلات تغيرها، باستخدام قاعدة السلسلة والاشتقاق الضمني.

تذكير: في الامتحان: اكتب القانون ثم عوّض بالأرقام مع الوحدات.

معدل تغير المسافة والزوايا

تظهر مسائل المسافات غالباً عند تحرك جسمين في مسارات متعامدة أو انطلاق صاروخ رأسياً. نستخدم نظرية فيثاغورس للمسافات، وظل الزاوية $\tan \theta$ لمعدلات تغير الزوايا.

زاوية الارتفاع: هي الزاوية المحصورة بين خط النظر إلى الأعلى والخط الأفقي.

أهم العلاقات:

نظرية فيثاغورس: $z^2 = x^2 + y^2$
علاقة الظل: $\tan \theta = \frac{y}{x}$
مشتقة الظل: $\sec^2 \theta \frac{d\theta}{dt}$

إذا كانت المسافة تتناقص (اقتراب من نقطة)، فإن معدل التغير $dx/dt$ يكون سالباً. إهمال الإشارة السالبة يؤدي لنتائج خاطئة تماماً.

معدل تغير حجم السائل في المخروط

في الخزانات المخروطية، يتغير كل من نصف قطر سطح الماء $r$ وارتفاعه $h$ بمرور الزمن. لتبسيط الحل، نربط بينهما باستخدام تشابه المثلثات.

تشابه المثلثات في المخروط يشبه نسبة خلط المكونات؛ فمهما تغير حجم السائل، تظل النسبة بين نصف القطر والارتفاع ثابتة وتساوي نسبة أبعاد الخزان الأصلي.

حجم المخروط: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$
علاقة التشابه: $\frac{r}{h} = \frac{R_{base}}{H_{total}}$
استبدال $r$ بدلالة $h$ يجعل القانون: $V = k \cdot h^3$ حيث $k$ ثابت.

تدريب مهم: بعد هذا القسم، راجع أمثلة 1–5 وأسئلة نهاية الدرس في آخر بطاقة.

مراجعة الدرس

سؤال: مستطيل يزداد طوله بمعدل $2 cm/s$ ويقل عرضه بمعدل $3 cm/s$ ، ما معدل تغير مساحته ومحيطه عند لحظة معينة؟

مجموعة من المسائل لتدعيم الفهم.

سؤال: مكعب يتمدد طول ضلعه بمعدل $6 cm/s$ ، أجد معدل تغير حجمه ومساحة سطحه بعد مرور زمن محدد.

سؤال: خزان أسطواني يملأ بالوقود بمعدل $500 L/min$ ، أجد معدل ارتفاع الوقود فيه.

سؤال: يسقط الرمل من حزام ناقل مكوناً كومة مخروطية، أجد سرعة تغير ارتفاع الكومة.

سؤال: طائرتان تقتربان من نقطة التقاء مساريهما بزاوية قائمة، أجد معدل تغير المسافة بينهما.

سؤال: كاميرا ترصد سيارة سباق، أجد سرعة تغير زاوية ارتفاع الكاميرا.

سؤال: جسيم يتحرك على منحنى اقتران جيبي، أجد معدل تغير المسافة بينه وبين نقطة الأصل.

تعريفات أساسية

المعدلات المرتبطة: مسائل تتضمن كميات تتغير بمرور الزمن، حيث ترتبط هذه الكميات بمعادلة، ويتم إيجاد معدل تغير إحداها بمعلومية معدلات تغير الكميات الأخرى في لحظة زمنية معينة.
قاعدة السلسلة: قاعدة تُستخدم لاشتقاق الدوال المركبة، وتُطبق هنا لاشتقاق المعادلات بالنسبة للزمن (t) عند وجود متغيرات وسيطة.
الاشتقاق الضمني: طريقة لاشتقاق طرفي المعادلة بالنسبة للمتغير المستقل (t) عندما تكون المتغيرات مرتبطة ضمنياً في المعادلة.
السرعة الزاوية: قيمة التغير في قياس الزاوية بالراديان مقسومة على الزمن المنقضي، ويُرمز لها بالرمز ω.
زاوية الارتفاع: الزاوية المحصورة بين خط النظر إلى الأعلى والخط الأفقي.
زاوية الانخفاض: الزاوية المحصورة بين خط النظر إلى الأسفل والخط الأفقي.

أسئلة محلولة

تزداد دائرة موجة ماء بمعدل $\frac{dr}{dt}=3\,cm/s$ . أجد $\frac{dC}{dt}$ عندما $r=5\,cm$ .

اعرض الحل

العلاقة $C=2\pi r$ . نشتق زمنياً: $\frac{dC}{dt}=2\pi\frac{dr}{dt}=2\pi(3)=6\pi\,cm/s$ . لا تعتمد النتيجة على $r$ لأن معدل تغير المحيط ثابت هنا.

تزداد دائرة موجة ماء بمعدل $\frac{dr}{dt}=3\,cm/s$ . أجد $\frac{dA}{dt}$ عندما $r=9\,cm$ .

اعرض الحل

العلاقة $A=\pi r^2$ . نشتق زمنياً: $\frac{dA}{dt}=2\pi r\frac{dr}{dt}$ . بالتعويض: $\frac{dA}{dt}=2\pi(9)(3)=54\pi\,cm^2/s$ .

سيارتان تتحركان نحو تقاطع متعامد: $x=0.3\,km, y=0.4\,km, \frac{dx}{dt}=-80\,km/h, \frac{dy}{dt}=-100\,km/h$ . أجد معدل تغير المسافة $z$ بينهما.

اعرض الحل

العلاقة $z^2=x^2+y^2$ ، ومنها $z\frac{dz}{dt}=x\frac{dx}{dt}+y\frac{dy}{dt}$ . عند اللحظة المعطاة $z=\sqrt{0.3^2+0.4^2}=0.5$ . إذن $0.5\frac{dz}{dt}=0.3(-80)+0.4(-100)=-64$ ، ومنه $\frac{dz}{dt}=-128\,km/h$ . المسافة تتناقص بمعدل $128\,km/h$ .

صاروخ موقعه الرأسي $s(t)=50t^2$ ft، والكاميرا تبعد $2000$ ft عن المنصة. أجد $\frac{d\theta}{dt}$ بعد $10$ s.

اعرض الحل

العلاقة $\tan\theta=\frac{s}{2000}$ . نشتق: $\sec^2\theta\frac{d\theta}{dt}=\frac1{2000}\frac{ds}{dt}$ . عند $t=10$ : $s=5000$ و $ds/dt=1000$ . من المثلث $\cos\theta=\frac{2000}{\sqrt{5000^2+2000^2}}=\frac2{\sqrt{29}}$ ، لذا $\sec^2\theta=\frac{29}{4}$ . إذن $\frac{29}{4}\theta\prime=\frac12$ ، ومنه $\theta\prime=\frac2{29}\,rad/s$ .

مصباح يبعد $4$ m عن جدار ويدور $3$ دورات/دقيقة. أجد سرعة بقعة الضوء عندما تكون $8$ m من أقرب نقطة على الجدار وتبتعد عنها.

اعرض الحل

العلاقة $x=4\tan\theta$ . السرعة الزاوية $\frac{d\theta}{dt}=3(2\pi)=6\pi\,rad/min$ . نشتق: $\frac{dx}{dt}=4\sec^2\theta\frac{d\theta}{dt}$ . عند $x=8$ : $\tan\theta=2$ ، إذن $\sec^2\theta=5$ . لذلك $\frac{dx}{dt}=4(5)(6\pi)=120\pi\,m/min$ .

بطاقات مهمة

ما المعدلات المرتبطة؟

كميات تتغير مع الزمن وترتبط بمعادلة واحدة، فنشتق المعادلة بالنسبة إلى $t$ .

ما خطوات الحل الخمس؟

افهم، ارسم، اكتب علاقة، اشتق بالنسبة إلى الزمن، ثم عوض القيم اللحظية.

ما الخطأ الأخطر؟

التعويض بالقيم اللحظية قبل الاشتقاق؛ لأنه يحول المتغير إلى ثابت زائف.

كيف أحدد إشارة المعدل؟

يزداد/يبتعد/يمتلئ موجب، ويتناقص/يقترب/يتسرب سالب.

محيط دائرة يتغير مع نصف القطر؟

$C=2\pi r$ ولذلك $C\prime=2\pi r\prime$ .

مساحة دائرة تتغير؟

$A=\pi r^2$ ولذلك $A\prime=2\pi r r\prime$ .

حجم كرة يتغير؟

$V=\frac43\pi r^3$ ولذلك $V\prime=4\pi r^2r\prime$ .

مساران متعامدان؟

$z^2=x^2+y^2$ ثم $zz\prime=xx\prime+yy\prime$ .

مساران بزاوية ثابتة غير قائمة؟

$z^2=x^2+y^2-2xy\cos\theta$ ثم اشتق زمنياً.

زاوية ارتفاع مع بعد أفقي ثابت؟

غالباً $\tan\theta=\frac{الارتفاع}{البعد\ الثابت}$ .

نصائح للمراجعة

جوهر الدرس هو تحويل العلاقة السكونية بين الكميات إلى علاقة حركية بين معدلات تغيرها عبر الزمن.

موضوعات أخرى في الوحدة

التفاضل وتطبيقاتهمشتقة اقترانات خاصة التفاضل وتطبيقاتهمشتقتا الضرب والقسمة والمشتقات العليا التفاضل وتطبيقاتهقاعدة السلسلة التفاضل وتطبيقاتهالاشتقاق الضمني

المعدلات المرتبطة

شرح الدرس

استراتيجية حل مسائل المعدلات المرتبطة

معدل تغير المساحة والحجم

معدل تغير المسافة والزوايا

معدل تغير حجم السائل في المخروط

مراجعة الدرس

تعريفات أساسية

أسئلة محلولة

عام

المزايا

الأبحاث

المنصة

عام

المزايا

الأبحاث

المنصة