الأعداد المركبة

• تعرُّف العدد المركَّب، وإيجاد سعته ومقياسه، وتمثيله بيانيًّا في المستوى المركَّب.

الوحدة التخيّلية: جذر العدد السالب

تعلَّمتُ سابقًا أنَّه لا يوجد حلّ حقيقي للمعادلة التربيعية: $x^2 = -1$؛ لأنَّني إذا حاولتُ حلَّها، فإنَّ الناتج سيكون: $x^2 = -1$ $x = \pm\sqrt{-1}$

• وهذا غير مُمكن؛ لأنَّ مُربَّع أيّ عدد حقيقي لا يكون سالبًا.
• ابتكر علماء الرياضيات توسعة للنظام العددي بإضافة وحدة تخيّلية رُمز إليها بالرمز $i$.

• بناءً على تعريف $i$، فإنَّ كُلًّا من $i$ و $-i$ يُعَدُّ جذرًا تربيعيًّا للعدد $-1$؛ لأنَّ $i^2 = (-i)^2 = -1$، إلَّا أنَّ $i$ يُسمَّى الجذر الرئيس للعدد $-1$.

ويُمكن إيجاد الجذر الرئيس للعدد الحقيقي السالب $(-k)$ على النحو الآتي:

أجد قيمة الجذر الرئيس لكل مما يأتي بدلالة $i$:

وكيف نضرب هذه الأعداد التخيّلية بعضها ببعض؟

ضرب الأعداد التخيّلية: حوّلها إلى ⁦i⁩ أولًا

• ضرب الأعداد التخيّلية يتطلب كتابتها أولا بدلالة $i$، ثم استعمال خاصيتي التبديل والتجميع لكتابة الناتج في أبسط صورة.
• بافتراض أنّ $\sqrt{-1} = i$

أجد ناتج كل مما يأتي في أبسط صورة، بافتراض أن $\sqrt{-1} = i$:

وماذا يحدث حين نجمع عددًا حقيقيًّا مع عدد تخيّلي؟

العدد المركّب: جزء حقيقي وجزء تخيّلي

• الأعداد الحقيقية هي أيضا أعداد مركبة؛ لأنه يمكن كتابة أي عدد حقيقي $a$ في صورة: $a + 0i$، وفيه $b = 0$.
• الأعداد التخيلية هي أيضا أعداد مركبة؛ لأنه يمكن كتابة أي عدد تخيلي $ib$ في صورة: $0 + ib$، وفيه $a = 0$.
• الأعداد الحقيقية والأعداد التخيلية تمثل مجموعتين جزئيتين من النظام العددي، واتحادهما معا، إضافة إلى حاصل جمع أعدادهما، ينتج منه مجموعة الأعداد المركبة.

• الأعداد المُرَكَّبة ($C$) تشمل الأعداد الحقيقية والأعداد التخيّلية معًا، إضافةً إلى حاصل جمع هذه الأعداد.
• الأعداد الحقيقية ($R$) تشمل الأعداد النسبية والأعداد غير النسبية معًا.

ومتى نقول إنّ عددين مركّبين متساويان؟

تساوي عددين مركّبين: الحقيقي مع الحقيقي والتخيّلي مع التخيّلي

يتساوى العددان المركبان $a + ib, c + id$ إذا وفقط إذا كان: $a = c, b = d$، حيث $a, b, c, d$ أعداد حقيقية.

أجد قيمة $x$ وقيمة $y$ الحقيقيتين اللتين تجعلان المعادلة: $x + 5 + (4y - 9)i = 12 - 5i$ صحيحة.

وكيف نرسم العدد المركّب على المستوى؟

التمثيل البياني للعدد المركّب ومرافقه

• العدد المركب $a + ib$ يمكن تمثيله في المستوى الإحداثي بالزوج المرتب $(a, b)$، أو بالمتجه $\langle a, b \rangle$.
• المحور الأفقي يسمى المحور الحقيقي، ويرمز إليه بالرمز $(Re)$.
• المحور الرأسي يسمى المحور التخيلي، ويرمز إليه بالرمز $(Im)$.

• عند تمثيل $z$ ومرافقه بيانيا في المستوى الإحداثي نفسه، ألاحظ أن كلا منهما هو انعكاس للآخر في المحور الحقيقي $(Re)$.

أمثل العدد المركب ومرافقه بيانيا في كل مما يأتي:

ما مرافق العدد الحقيقي $a$؟

وكيف نقيس بُعد العدد المركّب عن نقطة الأصل؟

مقياس العدد المركّب: بُعده عن نقطة الأصل

• يستعمل قانون المسافة بين نقطتين لإيجاد مقياس العدد المركب.

مقياس العدد المركب: $z = a + ib$ هو: $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$، حيث $a, b$ عددان حقيقيان.

أجد مقياس كل عدد مركب فيما يأتي:

وماذا عن الزاوية التي يصنعها العدد مع المحور الحقيقي؟

سعة العدد المركّب: الزاوية مع المحور الحقيقي

• يوجد عدد لانهائي من الزوايا المرسومة في الوضع القياسي التي لها ضلع الانتهاء نفسه، فقد عرفت السعة الرئيسة للعدد المركب.

أي إنّ:

• يمكن استعمال النسب المثلثية في المثلث القائم الزاوية لإيجاد سعة العدد المركب $z = a + ib$ الذي يقع في الربع الأول.

إذا كان $z = a + ib$ عددًا مُركبًا يقع في الربع الأوّل، فإنّ سعته تعطى بالصيغة الآتية:

• إذا وقع $z$ في الربع الثاني، فإن سعته زاوية منفرجة؛ لذا تستعمل مكملتها لإيجادها.
• إذا كانت سعة $z$ هي الزاوية المنفرجة $\theta$، فإن مكملتها $\theta'$ زاوية حادة.
• يرسم في الربع الثاني مثلث قائم أحد رؤوسه $z$ وإحدى زواياه $\theta'$، وتستعمل النسب المثلثية لإيجاد قياس $\theta'$.

السعة حسب الربع الذي يقع فيه العدد

• إذا وقع العدد المركب في الربع الثالث أو الربع الرابع، فإن سعته تساوي معكوس سعة مرافقه الذي يقع في الربع الأول أو الثاني.
• السبب: قياس الزاوية بين المحور الحقيقي الموجب والقطعة المستقيمة يساوي قياس الزاوية نفسها لمرافقه، لكن اتجاه كل منهما مختلف.

• إذا كان $a$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين، فإنّ:

أجد سعة كلّ من الأعداد المركبة الآتية، وأقرّب إجابتي إلى أقرب منزلتين عشريتين:

كيف أجد السعة عندما $a = 0$؟

وكيف نكتب العدد بدلالة مقياسه وسعته؟

الصورة المثلثية: اكتب العدد بمقياسه وسعته

• النقطة $(a, b)$ التي تمثل العدد المركب $z = a + ib$، الذي مقياسه $r = |z|$، وسعته $\theta$.

إذا كان $z = a + ib$، فإنَّ سعة العدد المركب: $\theta = \text{Arg}(z)$، ومقياسه: $r = |z|$، يُستعملان لكتابته بالصورة المثلثية كما يأتي:

1. المقياس: أحسب مقياس العدد المركب بصيغة الجذر التربيعي لمجموع مربعي جزأيه.
2. الربع: أحدّد الربع الذي يقع فيه العدد لأختار صيغة السعة المناسبة.
3. السعة: أحسب السعة الرئيسة بالراديان باستعمال الآلة الحاسبة.
4. الصورة المثلثية: أعوّض المقياس والسعة في الصورة المثلثية للعدد المركب.

أكتب العدد المركب $z$ بالصورة المثلثية في كل مما يأتي:

كيف يُمكِن تحديد الربع الذي يقع فيه العدد المُركَّب من دون تمثيله بيانيًّا في المستوى المُركَّب؟