المحل الهندسي في المستوى المركب

• تعرّف المحل الهندسي في المستوى المُركّب، ورسمه
• تمثيل منطقة حلّ متباينات في هذا المستوى

المحل الهندسي: أين تتحرك النقطة؟

• فمثلاً، الدائرة هي محل هندسي لنقطة تتحرّك في مسار يبعد مسافة مُحدّدة عن نقطة ثابتة هي مركز الدائرة.

الدائرة: أعداد تبعد مسافة ثابتة عن مركز

• تبعد الأعداد المركّبة التي تُحقّق المعادلة: $|z| = r$ مسافة $r$ وحدة عن نقطة الأصل؛ لأنّ مقياس كلّ منها هو $r$ وحدة.
• المحل الهندسي الذي تُمثله هذه المعادلة هو دائرة مركزها نقطة الأصل، وطول نصف قُطرها $r$ كما في الشكل المجاور.

أجد المحل الهندسي الذي تمثله المعادلة: $|z + 5 - 4i| = 7$، ثم أكتب المعادلة بالصيغة الديكارتية.

المنصف العمودي: بُعدان متساويان من نقطتين

• تمثل $|z - z_1|$ المسافة بين $z$ و$z_1$، وتمثل $|z - z_2|$ المسافة بين $z$ و$z_2$.
• وبما أن هاتين المسافتين متساويتان بصرف النظر عن موقع $z$، فإنه يُعبّر عن ذلك بالمعادلة الآتية:

أجد المحل الهندسي الذي تمثله المعادلة: $|z - 5i| = |z + 1|$، ثم أكتب المعادلة بالصيغة الديكارتية.

الشعاع من نقطة الأصل: سعة ثابتة

• إن سعة جميع الأعداد المركبة التي تُحقّق المعادلة: $\text{Arg}(z) = \theta_0$ هي $\theta_0$.
• لذا فإنها تقع على شعاع ⁦(ray)⁩ يصنع زاوية قياسها $\theta_0$ راديان مع المحور الحقيقي الموجب، ويبدأ (الشعاع) بنقطة الأصل، ويمتدّ بصورة لانهائية في أحد اتجاهيه كما في الشكل المجاور.

• بما أنَّ سعة العدد المركب: $z = 0$ غير مُعرّفة، فإنَّ الشعاع لا يحوي نقطة الأصل، ويُعبّر عن ذلك بدائرة مُفرغة في بداية الشعاع.

الشعاع من أي نقطة: البداية تتحرك

• وبما أنَّ ناتج تعويض نقطة بداية الشعاع في المعادلة هو $\text{Arg}(0)$ (قيمة غير مُعرَّفة)، فإنَّ نقطة بداية الشعاع تُستثنى، ويُعبَّر عنها بدائرة مُفرغة.

أجد المحل الهندسي الذي تُمثّله كل معادلة ممَّا يأتي a. $\text{Arg}(z) = \frac{\pi}{3}$

b. $\text{Arg}(z - 5) = -\frac{2\pi}{3}$

المتباينات: ارسم الحدّ ثم اختر الجهة

• يُرسَم منحنى المعادلة المرتبطة بالمتباينة بعد استعمال رمز المساواة ⁦(=)⁩ بدلًا من رمز المتباينة (<, >, ≤, ≥)، حيث تُمثِّل المعادلة الناتجة منحنى يُسمّى المنحنى الحدودي.
• وهو منحنى يُقسِّم المستوى المُركب إلى جزأين، أحدهما يحوي جميع الأعداد المُركبة التي تُحقّق المتباينة.

أُمثّل في المستوى المُرَكّب المحل الهندسي للنقاط التي تُحقّق كل متباينة a. $|z + 3 + i| \le 6$

b. $|z + 3 + i| < |z - 4|$

c. $\frac{\pi}{4} < \text{Arg}(z+5) \le \frac{\pi}{2}$

نظام متباينات: منطقة تحقق الشرطين معًا

• يُمكن أيضًا تمثيل منطقة حلّ نظام متباينات بيانياً في المستوى المُرَكّب بصورة مُشابهة لتمثيل أنظمة المتباينات في المستوى الإحداثي.

أُمثّل في المستوى المُرَكّب المحل الهندسي للنقاط التي تُحقّق المتباينة: $|z + 3 - 2i| \ge 4$ والمتباينة: $\frac{-\pi}{2} < \text{Arg}(z - 2 + i) < \frac{\pi}{4}$.