المتجهات في الفضاء

• تمثيل المتجه في نظام الإحداثيات ثلاثي الأبعاد، والتعبير عنه بالصورة الإحداثية، أو بدلالة متجهات الوحدة الأساسية.

من المستوى إلى الفضاء: المحور الثالث

أحدِّد موقع نقطة في المستوى الإحداثي بزوج $(x, y)$ على المحور $x$ والمحور $y$ المتعامدين، إلّا أنّ المستوى الإحداثي ليس كافيًا لتحديد موقع نقطة ما في الفضاء.

• تنتج من إضافة المحور $z$ ثلاثة مستويات: المستوى $xy$، والمستوى $xz$، والمستوى $yz$.

• لتعيين النقطة $P(a, b, c)$ أعيِّن $(a, b)$ في المستوى $xy$ أوَّلًا،
• ثمَّ أتحرَّك إلى الأعلى أو إلى الأسفل بموازاة المحور $z$، تبعًا لقيمة الإحداثي $z$ وإشارته.

أعيِّن كُلًّا من النقاط الآتية في نظام الإحداثيات ثلاثي الأبعاد:

a. $(-3, 2, 4)$

b. $(1, 0, -4)$

c. $(5, -4, -2)$

d. $(-4, -2, 3)$

وكيف نقيس المسافة بين نقطتين في هذا الفضاء؟

المسافة بين نقطتين ومنتصف القطعة في الفضاء

عمليتي حساب المسافة بين نقطتين في الفضاء، وإيجاد إحداثيات منتصف قطعة مستقيمة في الفضاء، تُشبهان حساب المسافة بين نقطتين، وإيجاد إحداثيات منتصف قطعة مستقيمة في المستوى الإحداثي.

إذا كانت: $A(x_1, y_1, z_1)$, $B(x_2, y_2, z_2)$، فإنَّ المسافة بين النقطتين ⁦A⁩ و ⁦B⁩ تعطى بالصيغة الآتية:

وإحداثيات نقطة منتصف ⁦AB⁩ هي:

إذا كانت: ⁦M(5⁩, -3, ⁦6), N⁩(2, 1, -6)، فأجد كُلًّا ممَّا يأتي:

⁦a)⁩ المسافة بين ⁦N⁩ و ⁦M⁩.

⁦b)⁩ إحداثيات نقطة منتصف ⁦MN⁩.

وماذا لو رسمنا سهمًا من نقطة إلى أخرى في الفضاء؟

المتجه في الفضاء: إحداثياته ومقداره

إنَّ الكَمِّيات المتجهة (مثل: الإزاحة، والسرعة المتجهة) لا تقتصر على المستوى ⁦xy⁩؛ لذا لا بُدَّ من التوسُّع في مفهوم المتجهات ليشمل الفضاء.

• تُمثَّل المتجهات في الفضاء بطريقة مُشابهة لتمثيلها في المستوى الإحداثي.
• المتجه $\vec{v}$ الذي بدايته $A(x_1, y_1, z_1)$ ونهايته $B(x_2, y_2, z_2)$ يُمثَّل بسهم بدايته $A$ ونهايته $B$.
• ويُرمز إليه بالرمز $\overrightarrow{AB}$، أو الرمز $\vec{v}$.

يُمكن كتابة المتجه بالصورة الإحداثية عن طريق طرح إحداثيات نقطة البداية من إحداثيات نقطة النهاية كما يأتي:

• يُمكن حساب مقدار المتجه (طول المتجه) في الفضاء بطريقة مُشابهة لحسابه في المستوى الإحداثي.

المعطيات: $A(-1, 5, 3)$، $B(-5, 3, -2)$.

المطلوب: أكتب $\overrightarrow{AB}$ بالصورة الإحداثية، ثمَّ أجد مقداره.

وكيف نجمع المتجهات ونطرحها ونضربها في عدد؟

الجمع والطرح والضرب في عدد: هندسيًّا

• لجمع $\vec{a}$ و $\vec{b}$ هندسيًّا بقاعدة المثلث: أرسم $\vec{a}$ أوَّلًا، ثمَّ أرسم $\vec{b}$ بحيث تكون بدايته نهاية $\vec{a}$.
• ثمَّ أصل بين بداية $\vec{a}$ ونهاية $\vec{b}$ كما في الشكل، فينتج $\vec{a} + \vec{b}$ الذي يُسمَّى أيضًا المُحصِّلة.

• لإيجاد $\vec{a} - \vec{b}$ أجمع $\vec{a}$ مع معكوس $\vec{b}$؛ أي:

• ومن ثَمَّ، يُمكن إيجاد ناتج طرح $\vec{a} - \vec{b}$ هندسيًّا بطريقة مُشابهة لعملية الجمع كما في الشكل.

• ضرب المتجه $v$ في العدد الحقيقي $k$: أرسم متجهًا موازيًا لـ $v$، وطوله $|k|$ مرَّة طول $v$.
• الاتجاه نفسه إذا كان $k > 0$.
• عكس اتجاه $\vec{v}$ إذا كان $k < 0$.

في متوازي الأضلاع $ABCD$ المجاور، $F$ نقطة منتصف $BC$، و $G$ نقطة منتصف $DC$.

المعطيات: $\vec{a} = \overrightarrow{BD}$، $\vec{b} = \overrightarrow{AD}$، $AE = 3EB$.

المطلوب: أكتب كُلًّا ممَّا يأتي بدلالة $\vec{a}$ و $\vec{b}$:

a. $\overrightarrow{AB}$

b. $\overrightarrow{EB}$

c. $\overrightarrow{EF}$

وكيف نُجري هذه العمليات مباشرةً على الإحداثيات؟

العمليات على المتجهات جبريًّا

يُمكن تطبيق عمليات الجمع والطرح والضرب في عدد حقيقي جبريًّا على المتجهات في الفضاء كما هو حال المتجهات في المستوى الإحداثي.

إذا كان: $\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)$, $\vec{w} = (w_1, w_2, w_3)$ متجهين في الفضاء، وكان ⁦c⁩ عددًا حقيقيًّا، فإنَّ:

المعطيات: $\vec{u} = (4, 5, -3)$، $\vec{v} = (3, 0, -5)$، $\vec{w} = (9, -2, -5)$.

المطلوب: فأجد كُلًّا ممَّا يأتي:

a. $3\vec{v} - 4\vec{u}$

b. $3\vec{u} + 5\vec{v} - 2\vec{w}$

ومتى يكون متجهان متساويين؟

متى يتساوى متجهان؟

إذا كان: $\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)$, $\vec{w} = (w_1, w_2, w_3)$، فإنَّ:

إذا وفقط إذا كان:

$v_1 = w_1$، $v_2 = w_2$، $v_3 = w_3$.

المعطيات: $\vec{u} = (20, 2p-5, -12)$، $\vec{v} = (3q+8, 0, 3r)$، $\vec{u} = \vec{v}$.

المطلوب: أجد قيمة كُلّ من $p$، و $q$، و $r$.

وأين تقع النقطة بالنسبة إلى نقطة الأصل؟

متجه الموقع ومتجه الإزاحة

أما الصورة الإحداثية لهذا المتجه فهي:

ألاحظ أنَّ $\overrightarrow{AB}$ هو ناتج طرح متجه الموقع للنقطة ⁦A⁩ من متجه الموقع للنقطة ⁦B⁩ وفق قاعدة المثلث لجمع المتجهات؛ أي إنَّ:

• يُمثِّل مقدار متجه الإزاحة $\overrightarrow{AB}$ المسافة بين $A$ و $B$، وهذه المسافة قيمة عددية غير متجهة.

المعطيات: نقاط في الفضاء:

$A(-2, 8, 13)$، $B(5, -7, -9)$، $C(0, 1, -14)$.

a. متجه موقع كُلّ من النقاط: $A$، و $B$، و $C$.

b. متجه الإزاحة من النقطة $B$ إلى النقطة $C$.

c. المسافة بين النقطة $A$ والنقطة $C$.

وهل توجد طريقة أبسط لكتابة أي متجه؟

متجهات الوحدة الأساسية

• إذا كانت نقطة بداية المتجه $\vec{v}$ هي نقطة الأصل ونقطة نهايته $(v_1, v_2, v_3)$ فإنَّ صورته الإحداثية: $\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)$.

• تُعدُّ متجهات الوحدة في الاتجاه الموجب للمحاور الإحداثية الثلاثة أهم متجهات الوحدة، وأكثرها استخدامًا؛ لذا تُسمَّى متجهات الوحدة الأساسية.

• لكلٍّ من متجهات الوحدة الأساسية الثلاثة رمز خاص وصورة إحداثية:
• في اتجاه محور $x$ الموجب: $\hat{i}$، وصورته الإحداثية $(1, 0, 0)$.
• في اتجاه محور $y$ الموجب: $\hat{j}$، وصورته الإحداثية $(0, 1, 0)$.
• في اتجاه محور $z$ الموجب: $\hat{k}$، وصورته الإحداثية $(0, 0, 1)$.

أكتب كُلًّا من المتجهات الآتية بدلالة متجهات الوحدة الأساسية:

a. $\vec{g} = (9, 0, -4)$

b. $\overrightarrow{AB}$:

$A(2, -1, 4)$، $B(7, 6, -2)$.

c. $4\vec{m} - 5\vec{f}$:

$\vec{m} = -2\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$، $\vec{f} = 3\hat{i} - 5\hat{j} + 6\hat{k}$.

وكيف نحوّل أي متجه إلى متجه طوله وحدة واحدة؟

كيف نجد متجه وحدة في اتجاه معيّن؟

يُمكن إيجاد متجه وحدة في اتجاه أي متجه، وذلك بقسمة ذلك المتجه على مقداره، فيصبح مقدار المتجه الناتج وحدة واحدة.

أجد متجه وحدة في اتجاه كل متجه ممَّا يأتي:

a. $\vec{u} = (4, -3, 5)$

b. $\vec{v} = 8\hat{i} + 15\hat{j} - 17\hat{k}$

c. المتجه $\overrightarrow{AB}$:

$A(-1, 4, 6)$، $B(3, 3, 8)$.