الضرب القياسي

• إيجاد الضرب القياسي لمتجهين في الفضاء.
• إيجاد قياس الزاوية بين متجهين أو مستقيمين في الفضاء.

الضرب القياسي: ننقله من المستوى إلى الفضاء

مسألة اليوم: أُطلِق صاروخ من النقطة $(1, 2, 1)$، ثمَّ وصل بعد ثانيتين إلى النقطة $(9, 13, 21)$. وفي الوقت نفسه، أُطلِق صاروخ آخر من النقطة $(4, -3, 2)$، ووصل بعد ثانيتين إلى النقطة $(14, 1, 18)$. ما قياس الزاوية بين مساري الصاروخين؟

• في الصف العاشر درستُ الضرب القياسي للمتجهات في المستوى الإحداثي.

• في المستوى: إذا كان $\vec{v} = \langle v_1, v_2 \rangle, \vec{w} = \langle w_1, w_2 \rangle$، فإنَّ:

• وفي الفضاء يُمكن إيجاد الضرب القياسي لمتجهين بطريقة مشابهة.

• أتذكّر: ناتج الضرب القياسي لمتجهين هو عدد، وليس متجهًا.

أجد ناتج الضرب القياسي للمتجهين:

a) $\vec{v} = \langle 4, 8, -3 \rangle, \vec{w} = \langle -3, 7, 2 \rangle$ b) $\vec{m} = -3\hat{i} + 5\hat{j} - \hat{k}, \vec{n} = -12\hat{i} + 6\hat{j} - 8\hat{k}$

والآن: كيف نقيس الزاوية بين متجهين من ضربهما القياسي؟

ما قياس الزاوية بين متجهين في الفضاء؟

• لإيجاد قياس الزاوية بين متجهين، نرسمهما بحيث يكون لهما نقطة البداية نفسها.

• بالضرب القياسي يُمكن إيجاد قياس الزاوية $\theta$ بين المتجهين غير الصفريين $\vec{v}$ و $\vec{w}$ في الفضاء، باستعمال العلاقة:

• ويُمكن إعادة كتابتها باستعمال تعريف معكوس جيب تمام الزاوية على النحو الآتي:

• أستنتج من العلاقة ما يأتي:
• إذا كان $\vec{v} \cdot \vec{w} < 0$، فإنَّ الزاوية بين المتجه $\vec{v}$ والمتجه $\vec{w}$ مُنفرِجة.

• إذا كان $\vec{v} \cdot \vec{w} > 0$، فإنَّ الزاوية بين المتجه $\vec{v}$ والمتجه $\vec{w}$ حادَّة.

• إذا كان $\vec{v} \cdot \vec{w} = 0$، فإنَّ الزاوية بين المتجه $\vec{v}$ والمتجه $\vec{w}$ قائمة؛ أيْ إنَّ هذين المتجهين مُتعامِدان.

أجد قياس الزاوية $\theta$ بين المتجه $\vec{u}$ والمتجه $\vec{w}$ في كلِّ ممَّا يأتي، وأُقرِّب الناتج إلى أقرب عُشر درجة:

a) $\vec{u} = -3\hat{i} + 5\hat{j} - 4\hat{k}, \vec{w} = 4\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$ b) $\vec{u} = \langle 2, -10, 6 \rangle, \vec{w} = \langle -3, 15, -9 \rangle$

مسألة اليوم: أجد قياس الزاوية بين مساري الصاروخين.

وهل نقيس الزاوية نفسها بين مستقيمين في الفضاء؟

كيف نقيس الزاوية بين مستقيمين؟

• المستقيمان المتخالفان أيضًا: الزاوية بينهما هي الزاوية بين اتجاه $l$ واتجاه $m'$، وهو إزاحة للمستقيم $m$.

إذا كانت:

$\vec{r} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ -1 \end{pmatrix}$ معادلة متجهة للمستقيم $l_1$، وكانت:

$\vec{r} = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + u \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}$ معادلة متجهة للمستقيم $l_2$، فأجد قياس الزاوية الحادَّة بين المستقيم $l_1$ والمستقيم $l_2$ إلى أقرب درجة.

وهل يفيدنا الضرب القياسي في إيجاد مساحة المثلث؟

مساحة المثلث من إحداثيات رؤوسه

• إذا علمتُ إحداثيات رؤوس مثلث في الفضاء، فيُمكنني استعمال الضرب القياسي في إيجاد مساحته.
• بالمتجهات: مساحة المثلث $XYZ$ هي:

• أُحدِّد أولًا متجهين يُمثِّلان ضلعين في المثلث، لهما نقطة البداية نفسها.
• ثمَّ أجد طولي هذين الضلعين باستعمال صيغة مقدار المتجه، ثمَّ أجد قياس الزاوية بينهما.
• عندئذٍ يُمكنني إيجاد مساحة المثلث باستعمال قانون الجيب كما تعلمْتُ في الصف العاشر.

هل يُمكن حساب مساحة هذا المثلث بطريقة أخرى؟

أجد مساحة المثلث ⁦EFG⁩ الذي إحداثيات رؤوسه هي:

وكيف نجد أقصر بُعد بين نقطة ومستقيم؟

أقصر بُعد بين نقطة ومستقيم

• يُبيِّن الشكل المستقيم $l$، ونقطة لا تقع عليه هي $P$.

• يُمثِّل طول العمود $PF$ البُعد بين النقطة $P$ والمستقيم $l$.
• ولتحديد مسقط العمود يُمكن استعمال أنَّ ناتج الضرب القياسي للمتجهين المتعامدين يساوي صفرًا.
• وبذلك نجد أقصر مسافة في الفضاء بين أيِّ مستقيم عُلِمت معادلته المتجهة ونقطة لا تقع عليه عُلِمت إحداثياتها.

إذا وقعت النقطة $P$ على المستقيم $l$، فما مسقط العمود من $P$ على $l$؟ وما المسافة بين $P$ و $l$؟

$\vec{r} = 16\hat{i} + 11\hat{j} - 3\hat{k} + t(5\hat{i} + 7\hat{j} - 3\hat{k})$ معادلة متجهة للمستقيم $l$، والنقطة $P(2, 0, \frac{10}{3})$ غير واقعة على المستقيم $l$، فأُجيب عن السؤالين الآتيين:

a) أُحدِّد مسقط العمود من النقطة $P$ على المستقيم $l$.

b) أجد البُعد بين النقطة $P$ والمستقيم $l$.

وماذا عن الأشكال ثلاثية الأبعاد، كالهرم؟

زوايا وأطوال الأشكال ثلاثية الأبعاد

• يُمكن استعمال المتجهات لتحديد قياسات بعض الزوايا والأطوال في أشكال ثلاثية البُعد، عُلمت إحداثيات رؤوسها.

a) أجد قياس $\angle EDB$ في الهرم المُبيَّن في المثال السابق.

b) أجد حجم هذا الهرم.