نتاج التعلم أ: الطرق الرياضية الجبرية والمثلثية

الجبر: حرف يمثّل المجهول

يجب أن يكون المهندسون واثقين من أن حلولهم تستند إلى مبادئ علمية سليمة.

• المسائل الرياضية المعقدة: يجب أن يكونوا ذوي أهلية وأن يركزوا على مسائل الجبر وحساب المثلثات.
• الجبر يسمح بتخصيص حرف أو رمز للمتغيرات المجهولة وإدراجها في المعادلات لحل المسائل.

وكيف نحلّ معادلة فيها متغير واحد مجهول؟

المعادلات الخطية: المجهول يُعزل ليصبح الموضوع

• كثير من الأنظمة الهندسية البسيطة تتصرف بطريقة خطية، وتظهر بيانيًا بخط مستقيم ذي تدرج ثابت.
• المعادلات الخطية تُضرَب متغيراتها فقط إلى الأس الأول، وتأخذ الشكل العام $y = mx + c$.

• المعادلات الخطية التي تحتوي على متغير واحد مجهول يمكن حلها عن طريق إعادة ترتيب المعادلة لجعل المتغير المجهول الموضوع.

• إذا تكرر المتغير نفسه في المعادلة، فاجمع الحدود المتشابهة على طرف واحد.

وكيف نرسم هذه المعادلة على شبكة؟

الخط المستقيم: التدرج والمقطع والإحداثيات

• المحاور الديكارتية: المحور $x$ الأفقي والمحور $y$ الرأسي.
• في $y = mx + c$ تمثل $m$ تدرج الخط، و$c$ قيمة $y$ حيث يعترض الخط المحور $y$ أي عندما $x = 0$.

• تدرج المعادلة الخطية يمكن أن يكون:

• موجبًا: تزداد قيم $y$ مع زيادة قيم $x$، ويرتفع الخط من اليسار إلى اليمين.
• سالبًا: تنخفض قيم $y$ مع زيادة قيم $x$.
• صفرًا: تظل قيم $y$ كما هي مع زيادة قيم $x$.

• أي نقطة في المعادلة الخطية المرسومة يعبر عنها بإحداثياتها $(x، y)$.
• في الشكل 1.2 يتقاطع الخطان عند $x = 2$ و$y = 4$، فإحداثياتها $(2، 4)$.

• أي نقطة على المحور $x$ لها إحداثيات $y$ تساوي صفر، مثل $(4، 0)$.
• أي نقطة على المحور $y$ لها إحداثيات $x$ تساوي صفر، مثل $(0، 4)$.
• النقطة $(0، 0)$ تسمى الأصل، ويمثلها الرمز $O$.

وماذا إذا عرفنا ضلعين من مثلث قائم؟

فيثاغورس: الضلع الناقص في المثلث القائم

• في الشكل 1.3 $c$ هي وتر المثلث.
• عندما يكون طول ضلعين معلومين يمكن استخدام نظرية فيثاغورس لحساب طول الضلع الثالث.

وكيف نحسب مساحة السطح أو حجم جسم؟

القياس: مساحة السطح والحجم

• يحسب المهندس مساحة السطح أو حجم الأشكال ثلاثية الأبعاد، مثل عدد بلاط حمام السباحة أو سعة خزان أسطواني.
• الجسم المعقد يمكن تقسيمه إلى سلسلة من المجسمات الهندسية العادية.

احسب السعة التخزينية الإجمالية لصهريجي التخزين الرئيسيين في المصفاة.

إذا استبدلنا صهريجي التخزين هذين بصهريج واحد كروي الشكل له السعة الكلية نفسها، فما قُطر الكرة؟

وماذا لو ظهر المتغير مضروبًا في نفسه؟

المعادلة التربيعية: الأس الثاني وجذران

• المعادلات التربيعية تحتوي على متغيرات يتم ضربها في أسها الثانية، مثل $x^2$ و$v^2$ و$r^2$.
• شكلها العام $y = ax^2 + bx + c$، حيث $a$ و$b$ و$c$ ثوابت.
• المعادلة التربيعية ذات المجهولين يمكن تمثيلها بيانيًا بواسطة منحنى.

• إيجاد الجذور: إعادة ترتيب المعادلة لشكلها العام وإيجاد قيمتي $x$ التي لها $y = 0$.
• الجذور هي النقاط التي يتقاطع فيها المنحنى مع المحور $x$.
• طريقتان جبريتان لحل المعادلة التربيعية: التحليل واستخدام الصيغة التربيعية.

• قبل التحليل تذكّر كيف تضرب تعبيرًا في رقم أو رمز أو تعبير أكثر تعقيدًا.

• اضرب حد الأقواس بحد، ثم اجمع الحدود المتشابهة.

والعكس: كيف نفكّ العبارة إلى عوامل؟

التحليل إلى عوامل: عكس الضرب

• التحليل إلى عوامل يمكنك التفكير فيه على أنه عكس الضرب، وهو بشكل عام أكثر صعوبة إلى حد ما.
• استخلاص العوامل المشتركة:
• العوامل المشتركة هي الحدود التي يمكن من خلالها تقسيم بعض أو كل أجزاء العبارة.

• التجميع:
• عند وجود المتغيرين $x$ و $y$ في التعبير نفسه، جمّعهما معًا قبل استخلاص العوامل المشتركة.

• قد يعني هذا أحيانًا أنه يجب عليك مضاعفة التعبير أولاً.

وكيف نحلّ معادلة تربيعية بالتحليل خطوة خطوة؟

حل المعادلة التربيعية بالتحليل

• المعادلة التي قد تواجهها في مسألة هندسية تحتاج حلها لإيجاد $x$:

1. أعد الترتيب: انقل الحدود كلها إلى طرف واحد ليصير الطرف الآخر صفرًا.
2. رتّب الشكل القياسي: اكتب المعادلة بالشكل العام للمعادلات التربيعية.
3. حلّل إلى عاملين: ابحث عن تعبيرين حاصل ضربهما العبارة التربيعية.
4. ساوِ بالصفر: ضع كل عامل مساويًا للصفر للحصول على الجذور.
5. تحقق بالتعويض: عوّض كل جذر في المعادلة الأصلية.
6. تأكد من المعقولية: تأكد أن كل حل معقول في سياق السؤال، ثم اذكر الحل بوضوح.

• انقل جميع الحدود إلى طرف واحد من المعادلة. $5x + x^2 - 3x - 8 = 0$
• رتِّب المعادلة بالشكل القياسي للمعادلات التربيعية. $x^2 + 2x - 8 = 0$

• للتحليل تحتاج إلى إيجاد تعبيرين عند ضربهما معًا يعطيان $x^2 + 2x - 8$.
• قارن التعبير بالشكل العام $ax^2 + bx + c = 0$.
• إذا كان $a = 1$ فمعامل حدود $x$ في العوامل سيكون أيضًا 1.
• حاصل ضرب الحدود العددية في العاملين يساوي $c$.
• مجموع الحدود العددية في العاملين يساوي $b$ عندما $a = 1$.

$x^2 + x(p + q) + pq = 0$، فإن $(x + p)(x + q) = 0$

• في مثالنا: حاصل ضرب الحدود العددية $-8$، ومجموعها 2.
• إيجاد الحدود غالبًا يتم بتجربة قيم مختلفة حتى تتحقق المعايير.

$-2 \times 4 = -8$ و $-2 + 4 = 2$

• $(x - 2) = 0$، لذا $x = 2$
• $(x + 4) = 0$، لذا $x = -4$
• تأكد من أن كل جذر يحقق المعادلة الأصلية بالتعويض.

• عندما تكون $x = -4$: $-12 + 8 = -20 + 16$
• $-4 = -4$ ✓

• توجد قيمتان للمتغير $x$ تكون المعادلة التربيعية لهما $3x + 8 = 5x + x^2$ صحيحة. هذه $x = 2$ و $x = -4$.

• حالات خاصة تساعد في تحليل بعض التعبيرات التربيعية:

الصيغة التربيعية: عندما يصعب التحليل

• أحيانًا يكون من الصعب استخدام التحليل لإيجاد جذور المعادلة التربيعية، فاستخدم طريقة بديلة.
• صيغة جذور المعادلة التربيعية المرتبة في النموذج القياسي:

وكيف تظهر هذه المعادلات في مسألة حركة؟

وإذا كان التحليل صعبًا؟

سيارة تتسارع: أي جذر يصلح؟

وماذا لو كانت الجذور غير قابلة للتحليل؟

كرة مقذوفة لأعلى: جذران صحيحان

• عند التحقق استخدم القيم غير المقرّبة.

والآن ننتقل إلى الزوايا والمثلثات.

الزاوية: درجة أم راديان؟

• الدرجات هي الطريقة الأكثر شيوعًا لتحديد زاوية في رسم هندسي.
• الراديان وحدة أخرى للقياس الزاوي، تُستخدم على نطاق واسع في الحسابات الهندسية.

• دورة واحدة لدائرة كاملة تحتوي على 360 درجة أو $2\pi$ راديان.
• 1 راديان $= \frac{360°}{2\pi} \approx 57.3°$ (3 رقم معنوي).
• 1 درجة $= \frac{2\pi}{360} \approx 0.0175$ ⁦rad (3⁩ رقم معنوي).

• الراديان يسهّل حساب عناصر الدوائر، حيث تُقاس الزاوية $\theta$ بالراديان.

وكيف نسمّي أضلاع المثلث القائم؟

المثلث القائم: الوتر والمقابل والمجاور

• الوتر ⁦(hyp)⁩: الضلع المقابل للزاوية القائمة.
• المجاور ⁦(adj)⁩: الضلع المجاور للزاوية $\theta$.
• المقابل ⁦(opp)⁩: الضلع المقابل للزاوية $\theta$.

• نسب أطوال الأضلاع لها أسماء محددة وتُستخدم في الهندسة:
• الجيب ⁦(sin)⁩: $\sin\theta = \frac{opp}{hyp}$
• جيب التمام ⁦(cos)⁩: $\cos\theta = \frac{adj}{hyp}$
• الظل ⁦(tan)⁩: $\tan\theta = \frac{opp}{adj}$

وكيف تبدو هذه الدوال على الرسم؟

الجيب وجيب التمام والظل: موجات دورية

• الجيب وجيب التمام يولّدان أشكالًا موجية دورية.
• السعة 1: كلتا الدالتين تتراوح بين الحد الأقصى 1 والحد الأدنى ⁦−1⁩.
• الدورة 360 درجة أو $2\pi$ راديان، ثم تتكرر.
• دالة الظل لا تولد شكلًا موجيًا سلسًا، لكن الرسم البياني دوري بدورة 180 درجة أو $\pi$ راديان.

وهل تصلح هذه الدوال لمثلث غير قائم؟

قاعدتا الجيب وجيب التمام: لأي مثلث

• التعريفات الأساسية للجيب وجيب التمام والظل تنطبق على المثلثات قائمة الزاوية فقط.
• قاعدتا الجيب وجيب التمام تنطبقان على أي مثلث.

• قاعدة الجيب:

• قاعدة جيب التمام لها ثلاثة أشكال، حسب القيمة المفقودة:

ولماذا نحتاج إلى معرفة الاتجاه أيضًا؟

• شاهد المزيد من مبادئ وتطبيقات المتجهات في ب - أنظمة هندسة الإستاتيكا

المتجهات: المقدار والاتجاه والمسار

• القوة والسرعة توصف بشكل كامل فقط عندما يكون المقدار والاتجاه والمسار معروفًا.
• هذه الكميات تسمى متجهات.
• الكميات القياسية تُوصف بالكامل بالمقدار وحده.
• عند جمع المتجهات أو طرحها يجب دائمًا مراعاة الاتجاه الذي تعمل فيه.

• طول السهم يمثل مقدار المتجه.
• الزاوية $\theta$ تحدد اتجاه المتجه.
• رأس السهم يحدد المسار الموجب للمتجه.

تمرين تقييمي: جرّب المسائل بنفسك

تُوصف الإزاحة $\mathrm{s}$ لجسم متسارع في ما يتعلق بالزمن $t$ بالمعادلة:

$\mathrm{s} = t^2 - 7t + 12$ باستخدام التحليل، حِل هذه المعادلة لتحديد قيم $t$ عندما تكون $\mathrm{s} = 2$.

استخدم الصيغة لحل المعادلات التربيعية لتحديد نصف قطر $r$ لأسطوانة مغلقة ذات مساحة سطح إجمالية ⁦(TSA)⁩ تبلغ 12.25 متر مربع وارتفاع $h$ يبلغ 1.2 مترًا $\mathrm{TSA} = 2\pi rh + 2\pi r^2$

أعطي أحد الفنيين رسمًا هندسيًا لمكون دائري (انظر الشكل 1.17) حيث طول القوس $AB$ يبلغ 23 سم ونصف القطر $r$ يبلغ 16 سم.

احسب الزاوية $\theta$ بالدرجات