نتاج التعلم أ: دراسة كيفية استخدام الطرق الرياضية الجبرية والمثلثية والإحصائية لحل المسائل الهندسية

آخر تحديث: ٣ تشرين الثاني 2026

محتويات الموضوع (٤٧)

شرح الموضوع

يسمح الجبر بالتعبير عن العلاقات بين المتغيرات في اختزال رياضي يمكن معالجته لحل المسائل. وسيتناول نتاج التعلم هذا حل المعادلات باستخدام الطرق الجبرية، بما في ذلك تلك التي تتضمن الأسس واللوغاريتمات.

نتاجات التعلم

أ} دراسة كيفية استخدام الطرق الرياضية الجبرية والمثلثية والإحصائية لحل المسائل الهندسية

أ} استخدام الطرق الرياضية الجبرية والمثلثية والإحصائية لحل المسائل الهندسية

الجبر: لغة العلاقات بين المتغيرات

يسمح الجبر بالتعبير عن العلاقات بين المتغيرات في اختزال رياضي يمكن معالجته لحل المسائل.

يتناول نتاج التعلم هذا حل المعادلات باستخدام الطرق الجبرية، بما في ذلك تلك التي تتضمن الأسس واللوغاريتمات.
نحتاج في الرياضيات الهندسية إلى حل مسائل قيم متغيراتها العددية مجهولة، ونمثل المتغيرات المجهولة بأحرف أو رموز.
تُظهر المعادلات عبارتين لهما قيمة متساوية، على سبيل المثال $t - 1 = 3a + 12$
يمكن إعادة ترتيب المعادلات التي تحتوي على متغير واحد مجهول وحلها لإيجاد قيمة هذا المتغير.

مثال محلول

المعادلات الأكثر تعقيدًا تحتوي غالبًا على أكثر من متغير واحد مجهول، ويمكن تبسيطها بضرب أي أقواس ثم جمع الحدود المتشابهة.

ما المعادلة؟

مثال محلول

تبديل المعادلات

تبديل المعادلات: اجعل المتغير موضوعًا

يُطلق على المتغير اسم موضوع المعادلة عند عزله على جانب واحد من علامة يساوي ⁦(=)⁩ مع وجود جميع الحدود الأخرى على الجانب الآخر.
مثال: يُعبر عادةً عن قانون أوم بالصيغة $V = IR$ حيث إن $V$ هو الموضوع.
يمكن إعادة ترتيب المعادلات أو تبديلها لتغيير موضوعها.

بسّط: اضرب الأقواس واجمع الحدود المتشابهة
اعزل: اجعل الحد الذي يحتوي الموضوع وحده في طرف واحد بالجمع أو الطرح
افصل: أزل ما يرتبط بالموضوع بالضرب أو القسمة في الطرفين

الخطوة 1: تبسيط المعادلة بضرب الأقواس وجمع الحدود المتشابهة.
الخطوة 2: عزل الحد الذي يحتوي على الموضوع على أحد طرفي المعادلة بإضافة أو طرح الحدود من كلا الطرفين.
الخطوة 3: فصل الموضوع عن الحد الذي يحتوي عليه بضرب أو قسمة جميع الحدود على طرفي المعادلة.

متى يكون المتغير موضوع المعادلة؟

مثال محلول

مثال

مثال: اجعل ⁦a⁩ موضوع المعادلة: اجعل $a$ موضوع المعادلة $5a + 2b - 5b = 10$ الخطوة 1: تبسيط المعادلة. يعني ذلك في هذه الحالة تجميع الحدود المشابهة: $5a + (2 - 5)b = 10$ $5a - 3b = 10$ الخطوة 2: عزل الحد الذي يحتوي على الموضوع عن طريق حذف جميع الحدود الأخرى في هذا الطرف من المعادلة. $5a - 3b = 10$ هنا، يجب حذف $-3b$ من الطرف الأيسر من المعادلة لإبقاء $5a$ فقط. يتحقق ذلك عن طريق إضافة أو طرح حد يحذف $-3b$ . يعني ذلك في هذه الحالة إضافة $+3b$ (بما أن $-3b + 3b = 0$ ). للحفاظ على توازن المعادلة، يجب أيضًا إضافة $+3b$ إلى الطرف الآخر. $5a - 3b + 3b = 10 + 3b$ $5a = 10 + 3b$ الخطوة 3: فصل الموضوع عن طريق حذف أي أرقام أو متغيرات أخرى في الحد الذي يحتوي عليها. $5a = 10 + 3b$ هنا، يجب حذف 5 من الحد لإبقاء $5a$ فقط. يتحقق ذلك عن طريق الضرب أو القسمة على رقم أو متغير سيؤدي إلى حذف 5. يعني ذلك في هذه الحالة $\div 5$ (بما أن $5 \div 5 = 1$ ). للحفاظ على توازن المعادلة، يجب أن تكون جميع الحدود على الطرف الآخر أيضًا $\div 5$ . $\frac{5a}{5} = \frac{(10 + 3b)}{5}$ $a = \frac{(10 + 3b)}{5}$

نظرية فيثاغورس

فيثاغورس: الضلع الثالث من ضلعين

تنص نظرية فيثاغورس على أنه "بالنسبة للمثلث القائم الزاوية، فإن مربع الوتر يساوي مجموع مربع الضلعين الآخرين".

$a^2 + b^2 = c^2$ الأضلاع: $a$ ، $b$ ، الوتر $c$

ويمكن التعبير عنها رياضيًا (الشكل 57.1) حيث إن $c$ هو وتر المثلث.
عندما يكون طول ضلعين من مثلث قائم الزاوية معلومين، يمكن استخدام نظرية فيثاغورس لحساب طول الضلع الثالث.

كيف نحسب الضلع الثالث في مثلث قائم الزاوية؟

مثال محلول

الأس

الأس وقوانين الأسس

من المفترض أن تكون على دراية مسبقة باستخدام الأس في العبارات الرياضية الشائعة.

تُعرف $3 \times 3$ أيضًا باسم "ثلاثة تربيع" أو $3^2$ في الترميز الرياضي باستخدام الأس.
تُعرف $5 \times 5 \times 5$ أيضًا باسم "خمسة تكعيب" أو $5^3$ في الترميز الرياضي باستخدام الأس.

يُطلق على جزء الترميز المستخدم لوصف الأس اسم الأساس والأس.
في العبارة $3^2$ فإن الأساس هو 3 والأس هو 2.
عندما لا نعرف قيم الأرقام ذات الصلة نستخدم الحروف أو الرموز لتمثيل الأعداد المجهولة.
عندما يكون الأس مجهولًا أيضًا يمكن تمثيله بحرف أيضًا.

$a \times a = a^2$ ، حيث إن $a$ هي الأساس و 2 هي الأس.
$b \times b \times b = b^3$ ، حيث إن $b$ هي الأساس و 3 هي الأس.
$a^n$ ، حيث إن $a$ هي الأساس و $n$ هي الأس
$b^m$ ، حيث إن $b$ هي الأساس و $m$ هي الأس

ما الأساس وما الأس في العبارة؟

قوانين الأسس

هناك مجموعة من القواعد الأساسية لتبسيط المعادلات التي تحتوي على حدود تتضمن أسس والمساعدة على حلها، وهي قوانين الأسس (الجدول 57.1).

العملية	القاعدة
الضرب	$a^m \times a^n = a^{m+n}$
القسمة	$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
القوى	$(a^m)^n = a^{m \times n}$
المقلوب	$\frac{1}{a^n} = a^{-n}$
الأس = 0	$a^0 = 1$
الأس = $\frac{1}{2}$ or 0.5	$a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$
الأس = $\frac{1}{n}$	$a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$
الأس = 1	$a^1 = a$

مثال محلول

مثال

مثال: استخدم قوانين الأسس لتبسيط هذه العبارات: $\begin{aligned}a^2 a^4 a^0 a^{-3.2} \\ (\sqrt{a})^3 a^{-1} \\ \frac{a^{\frac{3}{2}} b^2 a^{-1}}{b} \\ \frac{a^{-1} b^{-1} a^{\frac{1}{2}}}{b^{-2}} \\ a^{-3}(b^{-2})^2 a^{-3.5}\end{aligned}$

$a^2 a^4 a^0 a^{-3.2} = a^{2+4+0-3.2}$

a^{2+4+0-3.2} = a^{2.8}

$(\sqrt{a})^3 a^{-1} = (a^{0.5})^3 a^{-1}$

$(a^{0.5})^3 a^{-1} = a^{1.5} a^{-1}$ $a^{1.5} a^{-1} = a^{1.5-1} = a^{0.5}$ $a^{0.5} = \sqrt{a}$

$\frac{a^{\frac{3}{2}} b^2 a^{-1}}{b} = a^{1.5} b^2 a^{-1} b^{-1}$

$a^{1.5} b^2 a^{-1} b^{-1} = a^{1.5-1} b^{2-1}$ $a^{1.5-1} b^{2-1} = a^{0.5} b^1$ $a^{0.5} b^1 = b\sqrt{a}$

$\frac{a^{-1} b^{-1} a^{\frac{1}{2}}}{b^{-2}} = a^{-1} b^{-1} a^{0.5} b^2$

$a^{-1} b^{-1} a^{0.5} b^2 = a^{-1+0.5} b^{-1+2}$ $a^{-1+0.5} b^{-1+2} = a^{-0.5} b^1$ $a^{-0.5} b^1 = \frac{b}{\sqrt{a}}$

$a^{-3}(b^{-2})^2 a^{-3.5} = a^{-3+(-3.5)} b^{-4}$

a^{-3+(-3.5)} b^{-4} = a^{-6.5} b^{-4}

اللوغاريتمات

اللوغاريتمات: القوة التي نرفع إليها الأساس

ترتبط اللوغاريتمات ارتباطًا وثيقًا بالأسس.

$\log_a N = x$

في الهندسة نواجه بشكل أساسي اللوغاريتمات الشائعة التي تستخدم الأساس 10 واللوغاريتمات الطبيعية التي تستخدم الأساس ⁦e⁩.
رقم أويلر ⁦(e)⁩ ثابت رياضي يقترب من 2.718.

ما لوغاريتم العدد؟

اللوغاريتمات الشائعة

$\log_{10} N = x$
ليس هناك حاجة لتضمين الأساس 10 في الترميز.
هذا يتوافق مع دالة ⁦log⁩ على الآلة الحاسبة.
$\log N = x$
اللوغاريتمات الطبيعية ذات الأساس ⁦e⁩ مهمة جدًا في الرياضيات لدرجة أن لها تدوينًا خاصًا بها: $\log_e N$ تُكتب بصيغة $\ln N$ .
$\ln N = x$
هذا يتوافق مع دالة ⁦ln⁩ على الآلة الحاسبة.

قوانين اللوغاريتمات

هناك قواعد قياسية لتبسيط وحل المعادلات التي تتضمن لوغاريتمات، وهي قوانين اللوغاريتمات (الجدول 57.2).

العملية	اللوغاريتمات الشائعة	لوغاريتمات طبيعية
الضرب	$\log AB = \log A + \log B$	$\ln AB = \ln A + \ln B$
القسمة	$\log\frac{A}{B} = \log A - \log B$	$\ln\frac{A}{B} = \ln A - \ln B$
القوى	$\log A^n = n\log A$	$\ln A^n = n\ln A$
لوغاريتم 0	$\log 0$ = not defined	$\ln 0$ = not defined
لوغاريتم 1	$\log 1 = 0$	$\ln 1 = 0$

ملاحظة

وقفة للتفكير وقفة للتفكير استخدم الآلة الحاسبة للتدرب على إيجاد اللوغاريتمات المشتركة والطبيعية لمجموعة من القيم. تأكد من تضمين الأعداد الصحيحة والكسور العشرية الأقل من 1. ماذا يحدث عندما تحاول إيجاد لوغاريتم 0 أو رقم سالب باستخدام الآلة الحاسبة؟ تلميح يمكننا من خلال العلاقة بين اللوغاريتمات والأس معرفة أنه إذا كان $\log 0 = x$ ، فإن $10^x = 0$ . ما القيمة التي يجب أن تأخذها $x$ إذا كانت $10^x = 0$ ؟ توسيع الأفق فكر في سبب عدم تحديد $\log 0$ و $\log -1$ ولماذا أدى ذلك إلى حدوث خطأ في الآلة الحاسبة.

أمثلة عملية

تحقق دائمًا من الحل الذي أجريته عن طريق تعويض القيمة غير المقربة للحل مرة أخرى في المعادلة الأصلية.

مثال

مثال 2: استخدم قوانين اللوغاريتمات لحل المعادلة: $\ln 3t = 2\ln\frac{12}{t} + 2$ $\ln 3t = 2\ln\frac{12}{t} + 2$ $\ln 3 + \ln t = 2(\ln 12 - \ln t) + 2$ $\ln 3 + \ln t = 2\ln 12 - 2\ln t + 2$ $3\ln t = 2\ln 12 - \ln 3 + 2$ $\ln t = \frac{2\ln 12 - \ln 3 + 2}{3} = 1.957...$ $\ln N = x \Rightarrow N = e^x$ في هذه الحالة، $\ln t = 1.957...$ ، إذًا $t = e^{1.957...}$ ، والتي يمكنك استخدام الآلة الحاسبة لتقييمها. $t = 7.08$

النمو والاضمحلال الأسي

النمو والاضمحلال الأسي: شحن المكثف وتفريغه

تأخذ الدوال الأسية حيث يكون $x$ و $y$ متغيرات الشكل العام $y = N^x$ .
بعض الأنظمة الشائعة في الهندسة والطبيعة، مثل مكثفات الشحن والتحلل الإشعاعي واختراق الضوء في المحيطات، تُحدد بالدوال الأسية.
تحدد عمليات النمو والاضمحلال المهمة في الهندسة نوع خاص من الدوال الأسية يستخدم رقم أويلر ⁦(e)⁩ أساسًا، وهي الدالة الأسية الطبيعية $y = e^x$ .
لمنحنى $y = e^x$ خاصيتان خاصتان لا تمتلكهما الدوال الأسية الأخرى.

الشكل 57.2 رسم بياني للدالة الأسية الطبيعية y = e^x. — الشكل 57.2 رسم بياني للدالة الأسية الطبيعية $y = e^x$ .

أمثلة على الصيغ الهندسية التي تحتوي على دوال أسية طبيعية موضحة في الجدول 57.3 لشحن/تفريغ المكثف.

الوصف	الصيغة
جهد شحن المكثف	$V = V_0(1 - e^{-t/RC})$
جهد تفريغ المكثف	$V = V_0 e^{-t/RC}$

ما صيغة جهد شحن المكثف؟

ما خاصيتا منحنى الدالة الأسية الطبيعية؟

النمو الأسي

مثال

مثال: النمو الأسي: عند شحن مكثف ذي سعة كهربائية $C$ من خلال مقاومة $R$ باتجاه جهد نهائي $V_0$ ، فإن المعادلة التي تعطي الجهد $V$ عبر المكثف في أي وقت $t$ هي $V = V_0(1 - e^{-t/RC})$ . عوّض القيم المعطاة في الصيغة، وتذكر تحويل جميع القيم إلى وحدات مناسبة. $C = 100\,\mu\text{F} = 100 \times 10^{-6}\,\text{F}$ $R = 10\,\text{k}\Omega = 10 \times 10^3\,\Omega$ $V_0 = 3\,\text{V}$ $t = 3\,\text{s}$ من خلال تعويض هذه القيم إلى $V = V_0(1 - e^{-t/RC})$ نحصل على $V = 3(1 - e^{-3})$ . إذًا $V = 3(1 - 0.049\ldots) = 2.85\,\text{V}$ (إلى 3 رقم معنوي)

الاضمحلال الأسي

مثال

مثال: الاضمحلال الأسي: عند تفريغ مكثف ذي سعة كهربائية $C$ من خلال مقاومة $R$ من جهد أولي $V_0$ ، يمكننا الحصول على الجهد $V$ عبر المكثف في أي وقت $t$ بالمعادلة $V = V_0 e^{-t/RC}$ . عوّض القيم المعطاة في الصيغة، وتذكر تحويل جميع القيم إلى وحدات مناسبة. $C = 47\,\mu\text{F} = 47 \times 10^{-6}\,\text{F}$ $R = 30\,\text{k}\Omega = 30 \times 10^3\,\Omega$ $V_0 = 4\,\text{V}$ $V = 3.5\,\text{V}$ إعادة ترتيب الصيغة $V = V_0 e^{-t/RC}$ لجعل $t$ الموضوع: $e^{-t/RC} = \frac{V}{V_0}$ $-\frac{t}{RC} = \ln\frac{V}{V_0}$ $t = -RC\ln\frac{V}{V_0}$ $t = -[30 \times 10^3 \times 47 \times 10^{-6}]\ln\frac{3.5}{4}$ $= 0.188\ \text{s}$

المعادلات الخطية والرسوم البيانية ذات الخطوط المستقيمة

المعادلات الخطية: خط مستقيم وتدرج ثابت

في الهندسة تتصرف العديد من الأنظمة البسيطة بطريقة خطية، وتظهر العلاقات الخطية بخط مستقيم ذي تدرج ثابت (الجدول 57.4).

الوصف	الصيغة
شكل عام قياسي	$y = mx + c$
قانون أوم	$V = IR$
طاقة الوضع التثاقلية	$PE = mgh$
القدرة الكهربائية	$P = IV$
المقاومية	$\rho = \frac{RA}{l}$
الحركة الخطية	$v = u + at$

المعادلات الخطية

تحتوي المعادلات الخطية على مجاهيل تُرفع إلى قوتها الأولى فقط، وتأخذ الشكل العام $y = mx + c$ .
يمكن حل المعادلات الخطية التي تحتوي على كمية واحدة مجهولة بإعادة الترتيب لجعل الكمية المجهولة موضوع المعادلة.

مثال محلول

إذا حدثت الكمية المجهولة نفسها أكثر من مرة في معادلة خطية، فيجب عزل جميع الحدود التي تحتوي عليها على طرف واحد، وهذا ما يسمى تجميع الحدود المتشابهة.

مثال محلول

الرسوم البيانية ذات الخط المستقيم

تستخدم الرسوم البيانية عادةً محور $x$ أفقيًا ومحور $y$ رأسيًا (المحاور الديكارتية)، وتُمثَّل المعادلة الخطية ذات المجهولين بخط مستقيم.
في الصيغة العامة $y = mx + c$ ، $m$ هو تدرج الخط، و $c$ هي قيمة $y$ حيث يعترض الخط المحور $y$ .

موجب: تزداد قيم $y$ خطيًا مع زيادة قيم $x$ (يرتفع الخط من اليسار إلى اليمين).
سالب تنخفض قيم $y$ خطيًا مع زيادة قيم $x$ (ينحدر الخط من اليسار إلى اليمين)
صفر تظل قيم $y$ كما هي مع زيادة قيم $x$ (الخط موازي للمحور $x$ ).

الشكل 57.3 التمثيل الرسومي للمعادلات الخطية عبارة عن خطوط مستقيمة. يمكن أن تكون تدرجاتها موجبة (خط أحمر) أو سالبة (خط أزرق) أو صفر (خط أصفر).

ماذا يمثل ⁦m⁩ في المعادلة الخطية؟

الشكل 57.4 يمكن الحصول على حل المعادلات الخطية المترابطة y = x + 2 و 2y = -x + 10 من خلال نقطة التقاطع بين الخطين. — الشكل 57.4 يمكن الحصول على حل المعادلات الخطية المترابطة $y = x + 2$ و $2y = -x + 10$ من خلال نقطة التقاطع بين الخطين.

حل أزواج المعادلات الخطية المترابطة

المعادلتان المترابطتان: بالتعويض وبالحذف

قد يستلزم الأمر في الهندسة حل أنظمة تتضمن أزواجًا من المعادلات المستقلة التي تشترك في كميتين مجهولتين.
عند حل المعادلات المترابطة تحدد قيم المجهول المناسبة لكلا المعادلتين.
الموضع الوحيد الذي تناسب فيه نفس قيم $x$ و $y$ كلتا المعادلتين هو الموضع الذي تتقاطع فيه الخطوط.
الرسم البياني طريقة تستغرق وقتًا طويلًا وأقل دقة من الطرق الجبرية البديلة.
من الأفضل شرح الطريقتين الجبريتين الرئيستين، التعويض والحذف، من خلال العمل باستخدام الأمثلة.

أين تتقاطع الخطوط في المعادلات المترابطة؟

أمثلة عملية

مثال

طريقة التعويض: حِل هذا الزوج من المعادلات المترابطة: $y = x + 2$ (1) $2y = -x + 10$ (2) عوّض المعادلة (1) في المعادلة (2) للحصول على $2(x + 2) = -x + 10$ إذًا $2x + 4 = -x + 10$ اضرب الأقواس. $2x + x = 10 - 4$ اجمع الحدود المتشابهة. $3x = 6$ $x = 2$ اقسم الطرفين على 3. عوّض الآن $x = 2$ في المعادلة (1) لإيجاد $y$ : $y = 2 + 2 = 4$ للتحقق من الحل الخاص بك، عوّض $x = 2$ في المعادلة (2) لمعرفة ما إذا كنت ستحصل على القيمة نفسها ل $y$ : $2y = -2 + 10 = 8$ $y = 4$

طريقة الحذف

طريقة الحذف: حِل زوج المعادلات المترابطة نفسهما على النحو السابق.

الإحداثيات على شبكة ديكارتية

يمكن التعبير عن أي نقطة في المعادلة الخطية المرسومة بإحداثياتها $(x, y)$ .
أي نقطة على المحور $x$ لها إحداثيات $y$ تساوي صفر، وأي نقطة على المحور $y$ لها إحداثيات $x$ تساوي الصفر.
النقطة $(0, 0)$ تسمى الأصل ويمثلها الرمز $'O'$ .

راديان

الراديان والمثلثات: قياس الزاوية والنسب المثلثية

يوضِّح الشكل 57.5 قوسًا طوله يساوي نصف قطر الدائرة.
يمثل راديان واحد الزاوية التي تشكلت في مركز الدائرة بخطوط مرسومة من كل طرف من طرفي هذا القوس.
عدد الراديان في الدائرة الكاملة $(n)$ يساوي محيطها مقسومًا على نصف قطرها.

n = (2π r)/(r) = 2π

في دائرة كاملة بزاوية 360 درجة يوجد $2\pi$ راديان، وبالتالي فإن 1 راديان يساوي 57.296 درجة (إلى 5 رقم معنوي).
في المسائل الهندسية غالبًا ما يلزم تحويل الزوايا المعطاة بالدرجات إلى راديان والعكس، باستخدام الصيغة الآتية:
لتحويل الدرجات إلى راديان استخدم الصيغة:

$θrad = 2π θdeg360$

حيث إن $2\pi$ راديان = $360°$
لتحويل الراديان إلى درجات استخدم الصيغة:

$θdeg = 360 θrad2π$

الشكل 57.6 اصطلاحات التسمية المثلثية لمثلث قائم الزاوية.

ما راديان واحد؟

قياس المثلث

في المثلثات القائمة الزاوية نسمي الأضلاع الثلاثة بالنسبة إلى الزاوية القائمة وإحدى الزاويتين الأخريين $θ$ (الشكل 57.6).

الضلع المقابل للزاوية القائمة هو الوتر ⁨(hyp)⁩.
الضلع المجاور للزاوية $θ$ هو الضلع المجاور (adj).
الضلع المقابل للزاوية $θ$ هو الضلع المقابل (opp).
تُعطى نسب أطوال هذه الأضلاع أسماءً محددة وتُستخدم في نطاق واسع في الهندسة:
الجيب ⁦(sin)⁩، حيث إن $θ = opphyp$
جيب التمام ⁦(cos)⁩، حيث إن $θ = adjhyp$
الظل ⁦(tan)⁩، حيث إن $θ = oppadj$

من هذه التعريفات يمكن أيضًا استنتاج أن

θ = (θ)/(θ)

يمكن استخدام الدوال المثلثية العكسية لحساب الزاوية المقابلة لنسبة مثلثية معروفة:

θ = -1(oppadj) θ = -1(adjhyp) θ = -1(opphyp)

Opp، Hyp، Adj، $θ$

عند رسمها بيانيًا تولد كل من دوال الجيب وجيب التمام أشكالًا موجية دورية.
تختلف كلتا الدالتين بين الحد الأقصى 1 والحد الأدنى -1، فيُقال إن سعتهما تبلغ 1.
تحتوي كلتاهما على دورة بزاوية 360 درجة أو $2\pi$ راديان، وبعد ذلك تتكرر الدورة.

الشكل 57.7 رسم بياني ل y = sin θ. — الشكل 57.7 رسم بياني ل $y = θ$ .

لا تولد دالة الظل شكلًا موجيًا سلسًا، على الرغم من أن الرسم البياني ما يزال دوريًا بدورة 180 درجة أو $π$ راديان.

الشكل 57.9 رسم بياني ل y = tan θ. — الشكل 57.9 رسم بياني ل $y = θ$ .

ترد بعض قيم النسب المثلثية في الجدول 57.5.

$θ°$	$θ$ rad	$θ$	$θ$	$θ$
0	0	0	1	0
30	0.52	0.50	0.87	0.58
60	1.05	0.87	0.50	1.73
90	1.57	1.00	0	غير محدد
120	2.09	0.87	-0.50	-1.73
150	2.62	0.50	-0.87	-0.58
180	$π$	0	-1.00	0
210	3.67	-0.50	-0.87	0.58
240	4.19	-0.87	-0.50	1.73
270	4.71	-1.00	0	غير محدد
300	5.24	-0.87	0.50	-1.73
330	5.76	-0.50	0.87	-0.58
360	$2\pi$	0	1.00	0

تطبيقات المتجهات

المتجهات والمطوارات: الكميات التي لها اتجاه

توصف العديد من الكميات مثل القوة والسرعة بشكل كامل فقط عندما يكون المقدار والاتجاه والمسار معروفًا، وتسمى هذه الكميات بالمتجهات.
عند إضافة المتجهات أو طرحها يجب دائمًا مراعاة الاتجاه الذي تعمل فيه.

الشكل 57.11 يمكن إجراء إضافة المتجهات باستخدام أ) قاعدة متوازي الأضلاع أو ب) قاعدة المثلث.

الشكل 57.12 كيفية ارتباط المطوار الدوار بالشكل الموجي الجيبي.

ما الكميات التي تسمى بالمتجهات؟

التمثيل التخطيطي للمتجهات

إضافة المتجهات

لإيجاد مجموع متجهين $v_1$ و $v_2$ يمكنك تمثيل الحالة بيانيًا برسم مخطط متجه.
يُرسم المتجهان بحسب المقياس، ويمكن من خلال المثلث أو متوازي الأضلاع قياس خصائص المتجه الناتج $(v_T)$ .

حساب مجموع المقدار الطوري لتيارين متناوبين

المطوار عبارة عن متجهات دوارة مفيدة في تحليل الأشكال الموجية الجيبية.

السرعة الزاوية المعدل الذي تتغير فيه الإزاحة الزاوية $θ$ بمرور الوقت $t$ .
$ω (rad s-1)$

عند استخدام المطوار في تحليل التيار المتناوب يمثل طوله ذروة الجهد أو سعة الشكل الموجي الجيبي، ويدور حول نقطة الأصل بسرعة زاوية.
في أي لحظة سيكون للمطوار زاوية طور ( $θ$ ) ومكونه الرأسي يساوي الجهد اللحظي ( $v$ ) على الموجة الجيبية المقابلة.
الجهد اللحظي ( $v$ ) في أي نقطة على الشكل الموجي هو

v = V θ

من حيث السرعة الزاوية يعطينا هذا

v = V (ω t)

ومع ذلك، فمن الشائع أن يكون هناك شكل موجي يُقال إنه يقود أو يتأخر عن الشكل الموجي القياسي.

v = V (ω t + Φ)

ترتبط السرعة الزاوية للمطور بتردد الشكل الموجي ( $f$ ) بواسطة

$ω = 2π f$

الشكل 57.13 مطوار يمثل الشكل الموجي الجيبي v = V sin (vt + Φ) حيث إن Φ هو تحول المطوار من الشكل الموجي القياسي. — الشكل 57.13 مطوار يمثل الشكل الموجي الجيبي $v = V (vt + Φ)$ حيث إن $Φ$ هو تحول المطوار من الشكل الموجي القياسي.

الطرق الإحصائية

الإحصاء: المتغيرات وجداول التكرار والمخططات

قيم المتغيرات المنفصلة غالبًا ما تكون عددًا من العناصر أو الخصائص، وتمثل أعدادًا صحيحة موجبة (بما فيها الصفر).
مثال: قد يكون عدد السيارات الحمراء في موقف السيارات أي عدد صحيح أو صفر.
تسمى مجموعة القيم للمتغير المنفصل البيانات المنفصلة.
قيم المتغيرات المستمرة غالبًا ما تكون قياسات، ولا يلزم أن تكون أعدادًا صحيحة وعادة ما تتضمن كسورًا عشرية.
مثال: قد يكون الجهد المقاس بين نقطتين في الدائرة 10،76 فولط.
تسمى مجموعة قيم للمتغير المستمر البيانات المستمرة.
يمكن استخدام مخطط التعداد للمساعدة على جمع البيانات المنفصلة، فيوفر حساب التعداد عدد مثيلات كل قيمة.
يعرض جدول التكرار عدد المرات التي تظهر فيها كل قيمة منفصلة في البيانات.

ما المتغيرات المنفصلة؟

جداول التردد

اللون	التكرار
أبيض	22
أحمر	8
فضي	16
أزرق	6

يوفر حساب التعداد عدد مثيلات كل قيمة.

البيانات الممثلة بالمخططات الإحصائية

جداول البيانات طرق مفيدة لتسجيل البيانات، لكن ليس من السهل دائمًا العثور على الأنماط والعلاقات، والمخططات الإحصائية تكشف الأنماط من دون حسابات.
مخطط الأعمدة الشريطية يعرض بيانات التكرار كتوزيع تكراري، ويسمح بمقارنة تكرار الشركات من كل نوع من أنواع الصناعة.
المخطط الدائري يعرض تكرار كل قيمة بيانات منفصلة كنسبة مئوية من مجموعة البيانات بأكملها، ويوضح الحجم النسبي والأهمية العامة لكل صناعة.

البيانات المنفصلة والمجمعة

من السهل نسبيًا تلخيص البيانات المنفصلة باستخدام جداول التكرار والمخططات الإحصائية.
جداول التكرار والرسوم البيانية تلخص البيانات المستمرة بطريقة مماثلة، لكن مع معالجة إضافية لتجميع القيم المتشابهة في فئات ثم تحديد تكرار كل فئة.

فواصل الفئة وعرض الفئة

الفئات والمدرج التكراري والتكرار التراكمي

لتمثيل البيانات المستمرة في جدول التكرار أو المخطط الإحصائي من الضروري تجميع قيم البيانات في فئات.

مثال: تم قياس مقاومة عينة من المقاومات وتسجيل البيانات الأولية في الجدول 57.7.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
10،73	8،51	9،79	10،85	11،43	11،12	10،36	9،26	10،35	9،92

تُجمع هذه البيانات الأولية في فئات في جدول التكرار الموضح في الجدول 57.8.

حدود الفئة	حد الفئة الأدنى	فاصل الفئة الأدنى	حد الفئة الأعلى	فاصل الفئة الأعلى	عرض الفئة	التكرار
8،0–8،9	8،0	7،95	8،9	8،95	1،0	1
9،0–9،9	9،0	8،95	9،9	9،95	1،0	3
10،0–10،9	10،0	9،95	10،9	10،95	1،0	4
11،0–11،9	11،0	10،95	11،9	11،95	1،0	2

الرسوم البيانية

الرسم البياني (المدرج) يبدو مشابهًا لمخطط الأعمدة الشريطية، لكنه يُستخدم لعرض التوزيع التكراري للبيانات المستمرة المجمعة.

المقاومة (أوم)	التكرار
8،0–8،9	1
9،0–9،9	3
10،0–10،9	4
11،0–11،9	2

منحنيات التكرار التراكمي

التكرار التراكمي هو إجمالي التكرارات الفردية في كل فئة (الجدول 57.10).

المقاومة (أوم)	التكرار	التكرار التراكمي
8،0–8،9	1	1
9،0–9،9	3	4 = 3 + 1
10،0–10،9	4	8 = 4 + 3 + 1
11،0–11،9	2	10 = 2 + 4 + 3 + 1

يمكن عرض التكرار التراكمي كرسم بياني أو منحنى (الشكل 57.16).

الشكل 57.16 رسم بياني للتكرار التراكمي مع منحنى تكرار تراكمي.

ما التكرار التراكمي؟

القياس الإحصائي: المتوسط الحسابي والوسيط والمنوال

المتوسط والوسيط والمنوال: قيمة تمثل البيانات

عند تحليل البيانات يفيد حساب مقياس واحد أو أكثر للاتجاه المركزي لوصف البيانات وتلخيصها، وهي المتوسط والوسيط والمنوال.
المتوسط هو المتوسط الحسابي للبيانات، وهو مجموع جميع قيم البيانات مقسومًا على عدد القيم في مجموعة البيانات.

x = (x_1 + x_2 + + x_n)/(n)

حيث $x$ هو المتوسط، و $n$ هو العدد الإجمالي للقيم في مجموعة البيانات.
الوسيط هو القيمة المتوسطة للبيانات عند ترتيب جميع القيم من الأدنى إلى الأعلى.
لإيجاد مركز الوسيط أضف 1 إلى عدد القيم في البيانات وقسمها على 2.

وبالتالي فإن الوسيط هو القيمة في المركز $x(n+1)/(2)$

المنوال هو القيمة التي تحدث كثيرًا في مجموعة البيانات، وإذا حدثت أكثر من قيمة بعدد المرات نفسه فالبيانات متعددة المنوال.
من السهل حساب المتوسط والوسيط والمنوال باستخدام البيانات الأولية غير المجمعة، كمجموعة البيانات الأولية:
11، 11، 10، 9، 12، 14، 10، 10، 9، 11.

x = (11+11+10+9+12+14+10+10+9+11)/(10) = 10.7

لإيجاد الوسيط اكتب الأرقام أولًا بالترتيب:
9, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 12, 14
يُحدد مركز الوسيط في $x(n+1)/(2) = x5.5$ منتصف المسافة بين $x_5$ و $x_6$ .
يكون الوسيط في منتصف المسافة بين القيمتين 10 و 11، أي 10،5.

للبيانات المجمعة يمكن حساب تقديرات مفيدة للمتوسط والوسيط دون الحصول على قيم البيانات الأولية.
نقطة المنتصف للفئة هي متوسط حدود الفئة الأعلى والأدنى.
المتوسط المقدر لمجموعة البيانات المجمعة هو مجموع التكرار ( $f$ ) مضروبًا في نقطة منتصف الفئة ( $xmid$ ) لكل فئة مقسومًا على العدد الإجمالي لقيم البيانات ( $n$ ).

n = Σ f و x = Σ (f xmid)n

x = (101.5)/(10) = 10.15

الفئة	التكرار	نقطة المنتصف للفئة	التكرار × نقطة المنتصف للفئة
8،0–8،9	1	$(8.0 + 8.9)/(2) = 8.45$	8،45
9،0–9،9	3	9،45	28،35
10،0–10،9	4	10،45	41،8
11،0–11،9	2	11،45	22،9
الإجمالي	10	الإجمالي	101،5

يُحسب الوسيط المقدر للبيانات المجمعة بإيجاد الفئة أولًا التي تحتوي على القيمة الوسطى في المركز $x(n+1)/(2)$ .
لذلك وجدنا فئة الوسيط، ولكن يمكن تحسين التقدير من خلال تطبيق الصيغة:

estimated median = L + ((n)/(2) - Ff) w

$L$ = فاصل الفئة الأدنى للفئة التي تحتوي على الوسيط
$n$ = إجمالي عدد القيم في مجموعة البيانات
$F$ = التكرار التراكمي حتى الفئة المتوسطة لكن دون تضمينها
$f$ = تكرار فئة الوسيط
$w$ = عرض فئة الوسيط
في مثالنا:

$estimated median = 9.95 + ((10)/(2) - 44) 1.0 = 10.2$

الفئة	التكرار	التكرار التراكمي	فاصل الفئة الأدنى	فاصل الفئة الأعلى	عرض الفئة
8،0–8،9	1	1	7،95	8،95	1،0
9،0–9،9	3	4	8،95	9،95	1،0
10،0–10،9	4	8	9،95	10،95	1،0
11،0–11،9	2	10	10،95	11،95	1،0

الشكل 57.17 رسم بياني لبيانات قُطر جسم المصهر.

ما المنوال؟

مثال محلول

مثال: متوسط قُطر أجسام المصاهر

الفئة	التكرار	فاصل الفئة الأدنى	فاصل الفئة الأعلى	نقطة المنتصف للفئة	التكرار × نقطة المنتصف للفئة
23،3–23،7	2	23،25	23،75	23،5	47
23،8–24،2	4	23،75	24،25	24	96
24،3–24،7	10	24،25	24،75	24،5	245
24،8–25،2	17	24،75	25،25	25	425
25،3–25،7	16	25،25	25،75	25،5	408
25،8–26،2	8	25،75	26،25	26	208
26،3–26،7	3	26،25	26،75	26،5	79،5
الإجمالي	60			الإجمالي	1508،5

ب) باستخدام المعلومات الواردة في الجدول 57،14 ارسم رسمًا بيانيًا كما في الشكل 57،17.

تمرين تقييمي 57،1

تمرين: الفئات واللوغاريتمات والمطوارات

A.P1, A.P2, A.P3, A.M1, A.D1

4،6, 4،7, 4،5, 4،6, 4،7, 4،4, 4،8, 4،3, 4،2, 4،8
4،7, 4،5, 4،7, 4،4, 4،5, 4،5, 4،6, 4،4, 4،6, 4،6
4،8, 4،3, 4،8, 4،5, 4،5, 4،6, 4،6, 4،7, 4،6, 4،7
4،4, 4،6, 4،5, 4،4, 4،3, 4،7, 4،7, 4،6, 4،6, 4،8
4،9, 4،4, 4،5, 4،7, 4،4, 4،5, 4،9, 4،7, 4،5, 4،6

أ. عالج البيانات في ثماني فئات متساوية بين 4.2 و 4.9 كجم
ب. جدولة التوزيع التكراري
ج. ارسم الرسم البياني للتكرار
د. احسب متوسط الكتلة

أ. $28 = x + 9$
ب. $((5)/(x)) = 2 3$
ج. $12(1-x) = 2(2x)$

$v_1 = 6 (5vt)$
$v_2 = 12 (5vt - (π)/(3))$

أ. ارسم مخططًا طوريًا لتمثيل الشكلين الموجيين
ب. استخدم المخطط لتحديد المطوار الناتج

لكل مسألة في التمرين التقييمي استخدم المراحل الآتية كاسترشادية لتقدمك خلال المهمة.

التخطيط

التنفيذ

أعرف الإستراتيجيات التي يمكنني استخدامها لهذه المهمة. يمكنني تحديد ما إذا كانت مناسبة للمهمة.
يمكنني تقييم ما إذا كان نهجي ناجحًا، وإذا لم يكن كذلك، فما التغييرات التي أحتاج إلى إجرائها.
يمكنني تحديد متى أخطأت وتعديل تفكيري أو نهجي للعودة إلى المسار الصحيح.

تعريفات أساسية

فيثاغورس: تنص نظرية فيثاغورس على أنه "بالنسبة للمثلث القائم الزاوية، فإن مربع الوتر يساوي مجموع مربع الضلعين الآخرين
المتغير: كمية في مسألة هندسية أو رياضية. في الجبر، تُمثَّل المتغيرات بأحرف أو رموز
المعادلة: طريقة للتعبير عن العلاقة بين عبارتين متساويتين في القيمة. تحتوي المعادلة دائمًا على علامة يساوي
الأساس: الحد الذي يُرفع إلى أس أو قوة
موضوع المعادلة: يصبح الحد المفرد موضوعًا لمعادلة عند عزله على طرف واحد من المعادلة مع وجود بقية الحدود على الطرف الآخر
اللوغاريتم: لوغاريتم العدد $(N)$ هو القوة $(x)$ التي يجب رفع أساس معطى $(a)$ إليها للحصول على هذا العدد
اللوغاريتمات الشائعة: اللوغاريتمات الشائعة هي اللوغاريتمات ذات الأساس 10
التدرج: يسمى أيضًا "المنحدر"، وهو انحدار الخط. يُحسب عن طريق اختيار نقطتين على الخط وقسمة التغيير في الارتفاع على التغيير في المسافة الأفقية
السرعة الزاوية: المعدل الذي تتغير فيه الإزاحة الزاوية $θ$ بمرور الوقت $t$ . الوحدة: راديان في الثانية
المتوسط: المتوسط الحسابي للبيانات وهو مجموع جميع قيم البيانات مقسومًا على عدد القيم في مجموعة البيانات
الوسيط: القيمة المتوسطة للبيانات عند ترتيب جميع القيم من الأدنى إلى الأعلى
المنوال: القيمة التي تحدث كثيرًا في مجموعة البيانات

معاينة موضوع «نتاج التعلم أ: دراسة كيفية استخدام الطرق الرياضية الجبرية والمثلثية والإحصائية لحل المسائل الهندسية» من وحدة «المبادئ الكهربائية والإلكترونية» في مادة أساسيات الهندسة. أقسام الشرح: ٤٧، التعريفات: ١٢.

المصدر: بيرسون BTEC، نتاج التعلم أ: دراسة كيفية استخدام الطرق الرياضية الجبرية والمثلثية والإحصائية لحل المسائل الهندسية (ص ٦–٢٦)

نتاج التعلم أ: دراسة كيفية استخدام الطرق الرياضية الجبرية والمثلثية والإحصائية لحل المسائل الهندسية

شرح الموضوع

نتاجات التعلم

أ} استخدام الطرق الرياضية الجبرية والمثلثية والإحصائية لحل المسائل الهندسية

الجبر: لغة العلاقات بين المتغيرات

مثال محلول

مثال محلول

تبديل المعادلات

تبديل المعادلات: اجعل المتغير موضوعًا

مثال محلول

نظرية فيثاغورس

فيثاغورس: الضلع الثالث من ضلعين

مثال محلول

الأس

الأس وقوانين الأسس

قوانين الأسس

مثال محلول

اللوغاريتمات

اللوغاريتمات: القوة التي نرفع إليها الأساس

اللوغاريتمات الشائعة

قوانين اللوغاريتمات

أمثلة عملية

النمو والاضمحلال الأسي

النمو والاضمحلال الأسي: شحن المكثف وتفريغه

النمو الأسي

الاضمحلال الأسي

المعادلات الخطية والرسوم البيانية ذات الخطوط المستقيمة

المعادلات الخطية: خط مستقيم وتدرج ثابت

المعادلات الخطية

مثال محلول

مثال محلول

الرسوم البيانية ذات الخط المستقيم

حل أزواج المعادلات الخطية المترابطة

المعادلتان المترابطتان: بالتعويض وبالحذف

أمثلة عملية

طريقة الحذف

الإحداثيات على شبكة ديكارتية

راديان

الراديان والمثلثات: قياس الزاوية والنسب المثلثية

قياس المثلث

من هذه التعريفات يمكن أيضًا استنتاج أن

Opp، Hyp، Adj، θ

تطبيقات المتجهات

المتجهات والمطوارات: الكميات التي لها اتجاه

التمثيل التخطيطي للمتجهات

إضافة المتجهات

حساب مجموع المقدار الطوري لتيارين متناوبين

الطرق الإحصائية

الإحصاء: المتغيرات وجداول التكرار والمخططات

جداول التردد

البيانات الممثلة بالمخططات الإحصائية

البيانات المنفصلة والمجمعة

فواصل الفئة وعرض الفئة

الفئات والمدرج التكراري والتكرار التراكمي

الرسوم البيانية

منحنيات التكرار التراكمي

القياس الإحصائي: المتوسط الحسابي والوسيط والمنوال

المتوسط والوسيط والمنوال: قيمة تمثل البيانات

مثال محلول

مثال: متوسط قُطر أجسام المصاهر

تمرين تقييمي 57،1

تمرين: الفئات واللوغاريتمات والمطوارات

التخطيط

التنفيذ

تعريفات أساسية

موضوعات أخرى في الوحدة

تابع الدراسة

Opp، Hyp، Adj، $θ$