مشتقة اقترانات خاصة

• إيجاد مشتقات الاقترانات الآتية: الأُسّي الطبيعي، اللوغاريتمي الطبيعي، الجيب، جيب التمام.
• إيجاد ميل المماس ومعادلة كل من المماس والعمودي على المماس عند نقطة ما على منحنى الاقتران.
• إيجاد السرعة والتسارع لجسيم يتحرّك في مسار مستقيم.

• مسألة اليوم: يبيّن الشكل منحنى الاقتران $f(x) = e^x - 2x^3$.

1. أجد معادلة المماس لمنحنى الاقتران $f$ عند النقطة $A$.

2. أجد معادلة العمودي على المماس لمنحنى الاقتران $f$ عند النقطة $A$.

إذا كان الاقتران $f(x) = \ln \sqrt{x}$، فأستعمل المشتقة لإيجاد كلٍّ مما يأتي:

a) معادلة المماس عند النقطة $(e, \frac{1}{2})$.

b) معادلة العمودي على المماس عند النقطة $(e, \frac{1}{2})$.

وهل تفيدنا المشتقة في دراسة حركة الأجسام؟

الأُسّي الطبيعي: ما ميل مماسه عند أي نقطة؟

وسأتعلم الآن إيجاد مشتقة الاقتران الأُسّي الطبيعي، ومشتقة الاقتران اللوغاريتمي الطبيعي، ومشتقة اقتران الجيب، ومشتقة اقتران جيب التمام.

• سبق أن تعلّمتُ مشتقة الاقتران الثابت ومشتقة اقتران القوّة باستعمال قواعد خاصة.

أجد مشتقة كل اقتران:

a) $f(x) = 5e^x + 3$ b) $f(x) = \sqrt{x} - 4e^x$ c) $y = 8e^x + \frac{4}{\sqrt[5]{x}}$

وماذا عن الاقتران العكسي للأُسّي الطبيعي؟

اللوغاريتم الطبيعي: كيف نشتقّه من الأُسّي؟

• الشكل يبيّن منحنيي الاقترانين $f(x) = e^x$ و $g(x) = \ln x$.

• ميل المماس عند النقطة $A$ على منحنى $g(x) = \ln x$ هو $\frac{CB}{AB}$. إذن:

• المثلث $ABC$ انعكاس للمثلث $DEF$ حول المستقيم $y = x$، فهما متطابقان؛ لذا فإنّ:

• ميل المماس لمنحنى $f(x) = e^x$ عند النقطة $D$ هو $\frac{DE}{FE}$، وهو الإحداثي $y$ للنقطة $D$.
• وبسبب الانعكاس فإنّ الإحداثي $y$ للنقطة $D$ هو الإحداثي $x$ للنقطة $A$. وبذلك فإنّ:

• يمكن إثبات هذه النظرية لاحقًا باستعمال الاشتقاق الضمني الوارد في الدرس الرابع من هذه الوحدة.
• تعلّمتُ سابقًا قوانين الضرب والقسمة والقوّة للوغاريتمات، ويمكنني استعمالها مع هذه النظرية لإيجاد مشتقة اقتران يحوي اللوغاريتم الطبيعي.
• قوانين اللوغاريتمات: إذا كانت $x, y, b$ أعدادًا حقيقية موجبة، وكان $p$ عددًا حقيقيًا، حيث $b \neq 1$، فإنّ:

قانون الضرب: $\log_b xy = \log_b x + \log_b y$

قانون القسمة: $\log_b \frac{x}{y} = \log_b x - \log_b y$

قانون القوَّة: $\log_b x^p = p \log_b x$

a) $f(x) = \sqrt{x} + \ln (4x)$ b) $f(x) = \ln (2x^3)$

لماذا يُشترط أنَّ $b \neq 1$؟

وماذا عن الاقترانات المثلثية؟

الجيب وجيب التمام: ماذا يقول منحنى المشتقة؟

• الاقترانات المثلثية قواعد معطاة باستعمال النسب المثلثية، وسنجد مشتقة الجيب وجيب التمام.
• الشكل يبيّن منحنى $f(x) = \sin x$ ($x$ بالراديان)، ومنحنى $f'(x)$ المرسوم باستعمال ميل المماس لمنحنى $f(x)$.

• المنحنى $f'(x)$ مطابق تمامًا لمنحنى جيب التمام؛ أي إنّ $f'(x) = \cos x$.
• مشتقة جيب التمام هي انعكاس منحنى الجيب حول المحور $x$.

a) $y = \frac{\sin x}{2} + 3 \cos x$ b) $f(x) = x^2 + \cos x + \sin \frac{\pi}{2}$

كيف نستعمل المشتقة لكتابة معادلة المماس؟

المماس والعمودي عليه: كيف نكتب معادلتيهما؟

• يمكن استعمال أيٍّ من قواعد الاشتقاق التي تعلّمتُها في هذا الدرس لإيجاد معادلة المماس عند نقطة ما على منحنى الاقتران.

1. أشتق الاقتران: أجد مشتقته بقواعد الاشتقاق، بعد تبسيط الاقتران إن لزم.
2. أجد ميل المماس: أعوّض الإحداثي السيني للنقطة في المشتقة.
3. أكتب معادلة المماس: أستعمل صيغة الميل ونقطة، ثم أبسّط المعادلة.
4. أجد ميل العمودي: ميل العمودي على المماس هو سالب مقلوب ميل المماس.
5. أكتب معادلة العمودي: أكرر صيغة الميل ونقطة بالميل الجديد.

الحركة في مسار مستقيم: ماذا تقول المشتقتان؟

• يمكن تمثيل حركة جسم في مسار مستقيم على خط أعداد انطلاقًا من موقع ابتدائي، وموقعه بالنسبة إلى الزمن يُمثَّل بالاقتران ${s}(t)$.

• السرعة القياسية هي $|v(t)|$.
• يمكن توظيف قواعد الاشتقاق في مواقف فيزيائية لدراسة حركة الأجسام وتحليل سلوكها الحركي عند لحظات زمنية معيّنة.

• الدعم البياني: المخطط الآتي يبيّن اتجاهات حركة الجسم في المسار المستقيم.

يمثّل الاقتران ${s}(t) = 3 - \cos t, t \ge 0$ موقع جسم يتحرك في مسار مستقيم، حيث ${s}$ الموقع بالأمتار، و$t$ الزمن بالثواني:

a) أجد سرعة الجسم وتسارعه عندما $t = \frac{\pi}{3}$.

b) أجد قيمة $t$ التي يكون عندها الجسم في حالة سكون لحظي أول مرّة بعد انطلاقه.

c) في أيّ اتجاه يتحرك الجسم عندما $t = \frac{3\pi}{4}$؟

d) متى يعود الجسم إلى موقعه الابتدائي أوّل مرّة بعد انطلاقه؟