مشتقتا الضرب والقسمة والمشتقات العليا

• إيجاد مشتقة ضرب اقترانين، ومشتقة قسمة اقترانين.
• إيجاد مشتقات الاقترانات المثلثية.
• إيجاد المشتقات العليا.

كيف نشتق حاصل ضرب اقترانين؟

كلّما ازداد سطوع الضوء الساقط على بؤبؤ العين تقلّصت مساحة البؤبؤ.

• تعلّمنا سابقًا مشتقات اقترانات القوّة، والاقتران الأُسّي الطبيعي، والاقتران اللوغاريتمي الطبيعي، واقتران الجيب، واقتران جيب التمام.
• وتعلّمنا أيضًا مشتقات مضاعفات هذه الاقترانات والاقترانات الناتجة من جمعها وطرحها.
• والسؤال: كيف يُمكن إيجاد مشتقة $f(x)g(x)$ إذا كان $f(x)$ و $g(x)$ اقترانين؟

• بالرموز: إذا كان $f(x)$ و $g(x)$ اقترانين، فإنَّه يُمكن إيجاد مشتقة $f(x)g(x)$ على النحو الآتي:

أ. أجد مشتقة الاقتران $f(x) = (x^3 - 2x^2 + 3)(7x^2 - 4x)$.

ب. أجد مشتقة الاقتران $f(x) = \ln x \cos x$.

وماذا لو كان الاقتران ناتج قسمة لا ضرب؟

كيف نشتق ناتج قسمة اقترانين؟

• مشتقة قسمة اقترانين ليست حاصل قسمة مشتقة كلّ منهما، مثلما أنَّ مشتقة ضرب اقترانين ليست حاصل ضرب مشتقة كلّ منهما.
• والسؤال: كيف يُمكن إيجاد مشتقة $\frac{f(x)}{g(x)}$ إذا كان $f(x)$ و $g(x)$ اقترانين؟

هل تذكر بؤبؤ العين الذي تقلّصت مساحته مع السطوع؟ بقاعدة القسمة نجد حساسيته للضوء.

• بالرموز: إذا كان $f(x)$ و $g(x)$ اقترانين، وكان $g(x) \neq 0$، فإنَّه يُمكن إيجاد مشتقة $\frac{f(x)}{g(x)}$ على النحو الآتي:

أ. أجد مشتقة الاقتران $f(x) = \frac{x + 1}{2x + 1}$.

ب. أجد مشتقة الاقتران $f(x) = \frac{\sin x}{e^x}$.

وماذا لو كان البسط ثابتًا؟

المشتقة معدّل تغيّر: حرارة مريض

• المشتقة هي مُعدَّل تغيُّر كمية بالنسبة إلى كمية أُخرى عند لحظة مُعيَّنة.
• فمثلًا، إيجاد $\frac{dy}{dx}$ يعني إيجاد مُعدَّل تغيُّر $y$ بالنسبة إلى $x$.
• ومع الزمن $t$: إذا كان $r$ كمية مُعيَّنة؛ فإنَّ مُعدَّل تغيُّرها بالنسبة إلى الزمن هو $\frac{dr}{dt}$.

سكان: يعطى عدد سكّان مدينة صغيرة بالاقتران $P(t) = \frac{500t^2}{2t+9}$، حيث $t$ الزمن بالسنوات، و $P$ عدد السكّان بالآلاف.

أ. أجد مُعدَّل تغيّر عدد السكّان في المدينة بالنسبة إلى الزمن.

ب. أجد مُعدَّل تغيّر عدد السكّان في المدينة عندما $t=12$، ثمَّ أُفسّر معنى الناتج.

كيف نشتق مقلوب اقتران؟

• يُمكن إيجاد قاعدة عامة لمشتقة مقلوب أيّ اقتران باستعمال قاعدة القسمة.

• بالرموز: إذا كان $f(x)$ اقترانًا، حيث $f(x) \neq 0$، فإنَّه يُمكن إيجاد مشتقة $\frac{1}{f(x)}$ على النحو الآتي:

أ. أجد مشتقة الاقتران $f(x) = \frac{1}{5x-x^2}$.

ب. أجد مشتقة الاقتران $f(x) = \frac{1}{e^x+\sqrt{x}}$.

أفكّر: هل توجد طريقة أُخرى لإيجاد مشتقة الاقتران في الفرع 2 من المثال 4؟

الظل والقاطع وأخواتهما: ما مشتقاتها؟

• تعلّمنا مشتقة اقتران الجيب ومشتقة اقتران جيب التمام؛ ونجد الآن مشتقات الاقترانات المثلثية الأخرى باستعمال مشتقة القسمة.

أ. أجد مشتقة الاقتران $f(x) = x \cot x$.

ب. أجد مشتقة الاقتران $f(x) = \frac{\tan x}{1 + \sin x}$.

ماذا نسمّي مشتقة المشتقة؟

• المشتقة $f'(x)$ اقتران أيضًا، ومن الممكن إيجاد مشتقته، ويُرمز إليها بالرمز $f''(x)$.

• المشتقة الثالثة ⁦(third derivative)⁩: إذا كان $f''(x)$ اقتراناً، فإنَّه يُرمز إلى مشتقته بالرمز $f'''(x)$.
• المشتقة ($n$): يستمر إيجاد المشتقات وتسمياتها على النحو نفسه، ويُستعمل الرمز $f^{(n)}(x)$ للدلالة عليها ($n^{th}$ derivative).

أ. أجد المشتقات الثلاث الأولى للاقتران $f(x) = x \sin x$.

ب. أجد المشتقات الثلاث الأولى للاقتران $g(x) = x^2 \ln x$.

تدرّب: برهان وأقمار صناعية ومنحنيان

أثبت صحة كل مما يأتي اعتمادًا على أن $\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x, \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$:

$\frac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^2 x$ $\frac{d}{dx}(\sec x) = \sec x \tan x$ $\frac{d}{dx}(\csc x) = -\csc x \cot x$

بعض الأقمار الصناعية تحوي مُستشعرات لقياس الزاوية $\theta$ (بالراديان) المُبيَّنة في الشكل. $h$ المسافة بين القمر الصناعي وسطح الأرض بالكيلومتر، و $r$ نصف قُطر الأرض بالكيلومتر.

أقمار صناعية: أثبت أنَّ: $h = r(\csc \theta - 1)$

أجد مُعدَّل تغيّر $h$ بالنسبة إلى $\theta$ عندما $\theta = \frac{\pi}{6}$ (أفترض أنَّ $r = 6371 \text{ km}$).

يُبيّن الشكل منحني الاقترانين: $F(x)$، و $G(x)$.

إذا كان: $P(x) = F(x)G(x)$، وكان: $Q(x) = \frac{F(x)}{G(x)}$، فأجد كُلًّا ممّا يأتي:

فكّر: مماس أفقي ومقلوب المشتقة

تبرير: إذا كان $y = \frac{1 - e^{-x}}{1 + e^{-x}}$، فأُجيب عن السؤالين الآتيين تباعًا:

أ. أجد ميل المماس عند نقطة الأصل.

ب. أُبيّن عدم وجود مماس أفقي للاقتران $y$، ثمّ أُبرّر إجابتي.

تحدّ: إذا كان $y = \frac{x + 1}{x - 1}$، حيث $x \ne 1$، فأُجيب عن الأسئلة الثلاثة الآتية تباعًا:

أ. أجد $\frac{dy}{dx}$.

ب. أُعيد كتابة المعادلة بالنسبة إلى المُتغيّر $x$ ($x$ اقتران بالنسبة إلى $y$)، ثمّ أجد $\frac{dx}{dy}$.

ج. أُبيّن أن $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}}$.

تبرير: إذا كان $f(x) = \frac{\ln x}{x^2}$، فأُجيب عن السؤالين الآتيين تباعًا:

أ. أُثبت أن: $f''(x) = \frac{6 \ln x - 5}{x^4}$، ثمّ أُبرّر إجابتي.

ب. أجد قيمة المقدار: $x^4 f''(x) + 4x^3 f'(x) + 2x^2 f(x) + 1$.