تجاوز إلى المحتوى الرئيسي
تابعنا على تيليجرامانضم

قاعدة السلسلة

التفاضل وتطبيقاته · الرياضيات

آخر تحديث:

محتويات الموضوع (١٧)

شرح الموضوع

فكرة الدرس: إيجاد مشتقات اقترانات باستعمال قاعدة السلسلة.

قاعدة السلسلة

  • إيجاد مشتقات اقترانات باستعمال قاعدة السلسلة.
  • إيجاد مشتقات المعادلات الوسيطية.

قاعدة السلسلة: كيف نشتق اقتراناً داخل اقتران؟

قاعدة السلسلة

تعلَّمتُ سابقًا إيجاد مشتقة الاقتران الناتج من تركيب اقتراني قوّة، وذلك بإيجاد مشتقة الاقتران الخارجي وقيمته عند الاقتران الداخلي، ثمّ ضربه في مشتقة الاقتران الداخلي.

  • قاعدة السلسلة ⁦(the chain rule)⁩ إحدى أهم قواعد الاشتقاق.

فكيف نشتق المثلثية والأسية واللوغاريتمية المركّبة؟

نظرية

إذا كان f(x)f(x) و g(x)g(x) اقترانين، فإنَّه يُمكن إيجاد مشتقة الاقتران المُركَّب:

(f∘g)(x)=f(g(x))(f \circ g)(x) = f(g(x))

باستعمال القاعدة الآتية:

(f∘g)′(x)=f′(g(x))⋅g′(x)(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)

وبصيغة أُخرى، إذا كان: y=f(u)y = f(u)، وكان: u=g(x)u = g(x)، فإنَّ:

dydx=dydu×dudx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx}

حيث تُحسب قيمة dydu\frac{dy}{du} عندما u=g(x)u = g(x).

النتائج: مشتقات الاقترانات المركّبة الشهيرة

  • يُمكن التوصُّل إلى النتائج الآتية عند تطبيق قاعدة السلسلة لإيجاد مشتقة اقترانات ناتجة من تركيب اقترانين، أحدهما اقتران مثلثي، أو اقتران أُسّي طبيعي، أو اقتران لوغاريتمي طبيعي:
  • إذا كان g(x)g(x) اقترانًا، فإنَّ:

نتائج

ddx(sin⁡g(x))=cos⁡(g(x))×g′(x)\frac{d}{dx}(\sin g(x)) = \cos (g(x)) \times g'(x)ddx(csc⁡g(x))=−csc⁡(g(x))cot⁡(g(x))×g′(x)\frac{d}{dx}(\csc g(x)) = -\csc (g(x)) \cot (g(x)) \times g'(x)
ddx(cos⁡g(x))=−sin⁡(g(x))×g′(x)\frac{d}{dx}(\cos g(x)) = -\sin (g(x)) \times g'(x)ddx(sec⁡g(x))=sec⁡(g(x))tan⁡(g(x))×g′(x)\frac{d}{dx}(\sec g(x)) = \sec (g(x)) \tan (g(x)) \times g'(x)
ddx(tan⁡g(x))=sec⁡2(g(x))×g′(x)\frac{d}{dx}(\tan g(x)) = \sec^2 (g(x)) \times g'(x)ddx(cot⁡g(x))=−csc⁡2(g(x))×g′(x)\frac{d}{dx}(\cot g(x)) = -\csc^2 (g(x)) \times g'(x)
ddx(eg(x))=eg(x)×g′(x)\frac{d}{dx}(e^{g(x)}) = e^{g(x)} \times g'(x)ddx(ln⁡g(x))=g′(x)g(x)\frac{d}{dx}(\ln g(x)) = \frac{g'(x)}{g(x)}

مثال 1

أجد مشتقة كل اقتران:

a. f(x)=tan⁡3x2f(x) = \tan 3x^2

b. f(x)=exsin⁡xf(x) = e^{x \sin x}

c. f(x)=ln⁡(cot⁡x)f(x) = \ln (\cot x)

قاعدة سلسلة القوة

قاعدة سلسلة القوة: اقتران مرفوع إلى قوة

  • يُعدُّ الاقتران المُركَّب الذي يكون في صورة f(x)=(g(x))nf(x) = (g(x))^n أحد أكثر الاقترانات المُركَّبة شيوعًا

إذا كان nn أيَّ عدد حقيقي، وكان: u=g(x)u = g(x) اقترانًا، فإنَّه يُمكن إيجاد مشتقة (g(x))n(g(x))^n على النحو الآتي:

ddx((g(x))n)=n(g(x))n−1×g′(x)\frac{d}{dx}((g(x))^n) = n(g(x))^{n-1} \times g'(x)

وبصيغة أُخرى، فإنَّ:

ddx(un)=nun−1×dudx\frac{d}{dx}(u^n) = nu^{n-1} \times \frac{du}{dx}

مثال 2

ما وجه الاختلاف بين الاقتران:

f(x)=tan⁡4xf(x) = \tan^4 x والاقتران:

h(x)=tan⁡x4h(x) = \tan x^4؟

إذا كان g(x)g(x) اقترانًا، فإنَّ:

(g(x))′=g′(x)2g(x)(\sqrt{g(x)})' = \frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}

a. f(x)=(x2−1)25f(x) = \sqrt[5]{(x^2 - 1)^2}

b. f(x)=cos⁡xf(x) = \sqrt{\cos x}

c. f(x)=(ln⁡x)5f(x) = (\ln x)^5

الاستعمال المتكرر لقاعدة السلسلة

الاستعمال المتكرر: قاعدة السلسلة أكثر من مرة

  • أحتاج أحياناً إلى استعمال قاعدة السلسلة أكثر من مرّة لإيجاد المشتقة.
  • مثلاً: إذا كان y=f(u)y=f(u)، وu=g(x)u=g(x)، وx=h(t)x=h(t)، حيث ff و gg و hh اقترانات،
  • فإنّه يُمكن إيجاد مشتقة yy بالنسبة إلى tt باستعمال قاعدة السلسلة مرّتين كالآتي:
dydt=dydu×dudt=dydu×dudx×dxdt\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dt} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx} \times \frac{dx}{dt}

مثال 3

a. f(x)=cos⁡2(7x3+6x−1)f(x) = \cos^2(7x^3+6x-1)

b. f(x)=(2+(x2+1)4)3f(x) = (2+(x^2+1)^4)^3

قواعد الاشتقاق الأساسية مع قاعدة السلسلة

  • لإيجاد مشتقة اقتران في بعض الحالات، أحتاج إلى تطبيق قواعد الاشتقاق الأساسية، مثل: مشتقة المجموع، ومشتقة الفرق، ومشتقة الضرب، ومشتقة القسمة، ومضاعفات الاقتران، إضافةً إلى تطبيق قاعدة السلسلة.

مثال 4

a. أجد ميل المماس لمنحنى الاقتران: f(x)=(2x+1)5(x3−x+1)4f(x) = (2x+1)^5(x^3-x+1)^4 عندما x=1x=1.

b. أجد ميل العمودي على المماس لمنحنى الاقتران: f(x)=cos⁡2xe2xf(x) = \frac{\cos^2 x}{e^{2x}} عندما x=π4x=\frac{\pi}{4}.

مثال 5: من الحياة

تُحسب قيمة بدل الخدمة لأحد المُنتجات بالدينار باستعمال الاقتران:

U(x)=802x+13x+4U(x) = 80 \sqrt{\frac{2x + 1}{3x + 4}}، حيث xx عدد القطع المبيعة من المُنتج:

a. أجد مُعدَّل تغيّر قيمة بدل الخدمة بالنسبة إلى عدد القطع المبيعة من المُنتج.

b. أجد U′(20)U'(20)، ثمَّ أُفسّر معنى الناتج.

مشتقة ag(x)a^{g(x)}

مشتقة الاقتران الأُسّي بأساس عام

  • تعلّمتُ سابقًا كيف أجد مشتقة الاقتران الأُسّي الطبيعي: f(x)=exf(x) = e^x.
  • ولكن، كيف يُمكنني إيجاد مشتقة الاقتران: f(x)=axf(x) = a^x، حيث aa عدد حقيقي موجب؟

يُمكن استعمال خصائص اللوغاريتمات لكتابة axa^x بدلالة ee، حيث aa عدد حقيقي موجب، و a≠1a \neq 1، كما يأتي:

الخصائص الأساسية في اللوغاريتمات

ax=eln⁡axa^x = e^{\ln a^x}

قانون القوّة في اللوغاريتمات

ax=exln⁡aa^x = e^{x \ln a}
  • يُمكن إيجاد مشتقة axa^x باستعمال قاعدة السلسلة كما يأتي:

مشتقة axa^x

ddx(ax)=ddx(exln⁡a)\frac{d}{dx} (a^x) = \frac{d}{dx} (e^{x \ln a})

مشتقة eg(x)e^{g(x)}، حيث g(x)=xln⁡ag(x) = x \ln a

=exln⁡a×ln⁡a= e^{x \ln a} \times \ln a
exln⁡a=axe^{x \ln a} = a^x
=ax×ln⁡a= a^x \times \ln a

إذن: ddx(ax)=ax×ln⁡a\frac{d}{dx} (a^x) = a^x \times \ln a

مثال 6

a. f(x)=ππxf(x) = \pi^{\pi x}

b. f(x)=61−x3f(x) = 6^{1-x^3}

c. f(x)=e4x+42xf(x) = e^{4x} + 4^{2x}

مشتقة log⁡ag(x)\log_a g(x)

مشتقة اللوغاريتم بأساس عام

  • لإيجاد مشتقة log⁡ax\log_a x، حيث aa عدد حقيقي موجب، و a≠1a \neq 1، و x>0x > 0، أستعمل صيغة تغيير الأساس في اللوغاريتمات لكتابة log⁡ax\log_a x بدلالة اللوغاريتم الطبيعي، ثُمّ أجد المشتقة كما يأتي:

صيغة تغيير الأساس

log⁡ax=ln⁡xln⁡a\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}

بإيجاد المشتقة

ddx(log⁡ax)=ddx(ln⁡xln⁡a)\frac{d}{dx} (\log_a x) = \frac{d}{dx} (\frac{\ln x}{\ln a})

بإخراج الثابت 1ln⁡a\frac{1}{\ln a}

=1ln⁡a×ddx(ln⁡x)= \frac{1}{\ln a} \times \frac{d}{dx} (\ln x)

مشتقة الاقتران اللوغاريتمي الطبيعي

=1ln⁡a×1x= \frac{1}{\ln a} \times \frac{1}{x}

بالتبسيط

=1xln⁡a= \frac{1}{x \ln a}

إذن: ddx(log⁡ax)=1xln⁡a\frac{d}{dx} (\log_a x) = \frac{1}{x \ln a}

  • أتذكّر: log⁡bx=ln⁡xln⁡b\log_b x = \frac{\ln x}{\ln b}

مثال 7

a. f(x)=log⁡sec⁡xf(x) = \log \sec x

b. f(x)=log⁡8(x2+3x)f(x) = \log_8 (x^2 + 3x)

مشتقة المعادلات الوسيطية

المعادلات الوسيطية: ما هي؟

  • يبين الشكل المجاور الجُسيم PP الذي يتحرَّك على المنحنى CC لحظة مروره بالنقطة (x,y)(x, y).
  • ألاحظ أنَّ المنحنى CC لا يُحقِّق اختبار الخط الرأسي؛ لذا لا يُمكن إيجاد علاقة واحدة فقط في صورة y=f(x)y = f(x) تربط جميع قيم xx بقيم yy المناظرة لها على المنحنى.
  • ولكن، يُمكن كتابة كلٍّ من الإحداثي xx والإحداثي yy في صورة اقتران بالنسبة إلى الزمن tt كما يأتي:
x=h(t),y=g(t)x = h(t), \quad y = g(t)
  • وعند تمثيل الأزواج المُرتبة (x,y)(x, y) في المستوى الإحداثي، ينتج المنحنى CC.
x=h(t),y=g(t)t0≤t≤t1x = h(t), \quad y = g(t) \quad \quad t_0 \le t \le t_1

مشتقة المعادلة الوسيطية: كيف نجد ميل المنحنى؟

مثال 8

أجد معادلة مماس منحنى المعادلة الوسيطية عندما t=π4t = \frac{\pi}{4}:

x=sec⁡t,y=tan⁡t,−π2<t<π2x = \sec t, \quad y = \tan t, \quad -\frac{\pi}{2} < t < \frac{\pi}{2}

تعريفات أساسية

قاعدة السلسلة

مشتقة الاقتران المُركَّب f(g(x))f(g(x)) هي حاصل ضرب مشتقة الاقتران الخارجي ff عند الاقتران الداخلي g(x)g(x) في مشتقة الاقتران الداخلي g(x)g(x).

قاعدة سلسلة القوة

يُعدُّ الاقتران المُركَّب الذي يكون في صورة f(x)=(g(x))nf(x) = (g(x))^n أحد أكثر الاقترانات المُركَّبة شيوعًا، وتُمثِّل مشتقته حالة خاصة من قاعدة السلسلة، وتُسمَّى قاعدة سلسلة القوة ⁦(power chain rule)⁩، حيث الاقتران الخارجي هو اقتران قوَّة.

المعادلة الوسيطية

يُمكن كتابة كلٍّ من الإحداثي xx والإحداثي yy في صورة اقتران بالنسبة إلى الزمن tt كما يأتي: x=h(t),y=g(t)x = h(t), \quad y = g(t) 1. يُشكِّل هذان الاقترانان معًا معادلة وسيطية ⁦(parametric equation)⁩ للمنحنى CC

المتغير الوسيط

المتغيّر الوسيط ⁦(parameter)⁩؛ لأنَّ كل قيمة له تُحدِّد قيمة للمتغيّر xx، وقيمةً أخرى للمتغيّر yy.

مجال الوسيط

يُمكن تحديد قيم المتغيّر tt عن طريق فترة تُسمَّى مجال الوسيط ⁦(parametric domain)⁩؛ لأنَّ النقاط على المنحنى قد تتكرَّر بعد هذه الفترة.

اختبار الخط الرأسي

اختبار الخط الرأسي هو وسيلة بصرية لمعرفة ما إذا كان منحنى مُعطى اقترانًا أم لا. فإذا قطع خط رأسي المنحنى في أكثر من نقطة واحدة فإن المنحنى لا يمثل اقترانًا، وأما إذا كان أي خط رأسي يقطع المنحنى في نقطة واحدة فقط، فإن المنحنى يمثل اقترانًا.

بطاقات مهمة

إذا كان: f(x)=(h(x))4f(x) = \left(h(x)\right)^4 ، وكان h(3)=2h(3) = 2 ، h′(3)=7h'(3) = 7 ، فإنّ قيمة f′(3)f'(3) تساوي: أ) 168 ب) 224 ج) 56 د) 28

ب) 224

إذا كان: f(x)=a(x2−4x)f(x) = a^{(x^2 - 4x)} ، فإنّ قيمة الثابت aa التي تجعل f′(4)=4f'(4) = 4 ، هي: ⁦a)⁩ ee b) e−1e^{-1} c) e4e^{4} d) e−4e^{-4}

a) ee

إذا كان ص=جتا22سص = \text{جتا}^{2} 2س ، فإنّ دصدس\frac{دص}{دس} عندما س=π8س = \frac{\pi}{8} تساوي: أ) ٢ ب) -٢ ج) ١ د) -١

ب) -٢

إذا كان ص=٣عص = \sqrt{٣ع} ، ع=جتا٢(π٣س)ع = جتا^{٢}(\frac{\pi}{٣}س) ، فإنّ دصدس∣س=١\left.\frac{دص}{دس}\right|_{س = ١} تساوي: أ) −π٢\frac{-\pi}{٢} ب) −π-\pi ج) π\pi د) π٢\frac{\pi}{٢}

أ) −π٢\frac{-\pi}{٢}

معاينة موضوع «قاعدة السلسلة» من وحدة «التفاضل وتطبيقاته» في مادة الرياضيات. أقسام الشرح: ١٧، التعريفات: ٦.

المصدر: المركز الوطني لتطوير المناهج، قاعدة السلسلة (ص ١٠٣–١٢٠)

موضوعات أخرى في الوحدة

تابع الدراسة