الاشتقاق الضمني

• إيجاد مشتقات العلاقات الضمنية.

مسألة اليوم: كيف تتغيّر زاوية الرؤية؟

يقود سائق سيارته في اتجاه لافتة على طريق سريع كما في الشكل المجاور.

• زاوية الرؤية: $\theta$ زاوية رؤية السائق للافتة، و $x$ المسافة بينه وبين اللافتة بالأمتار.
• العلاقة التي تربط $\theta$ بـ $x$ هي:

• السؤال: ما مُعدَّل تغيّر $\theta$ بالنسبة إلى $x$؟

هذه علاقة ضمنية بين المتغيّرين؛ فكيف نشتقها؟

نعود إلى مسألة اليوم

متى لا يمكن كتابة العلاقة بصورة صريحة؟

• الاقترانات التي درستُ مشتقاتها تُكتب بوجه عام بالصورة $y = f(x)$؛ يُعبَّر فيها عن مُتغيّر بدلالة مُتغيّر آخر، مثل الاقترانات الآتية:
• $y = x^3 - 8x$، $y = \frac{7x}{x^2 + 9}$، $y = \sqrt[3]{x - 1}$

• توجد معادلات مثل $x^3 + y^3 - 9xy = 0$ يصعب (أو لا يُمكن) كتابتها بصورة صريحة $y = f(x)$؛ لأنَّها حقيقةً تحوي أكثر من اقتران.
• هذه المعادلة تتكوَّن من ثلاثة اقترانات هي $f_1, f_2, f_3$ كما في الشكل المجاور.

لماذا لا يُمكن كتابة المعادلة $x^3 + y^3 - 9xy = 0$ بصورة صريحة $y = f(x)$؟

خطوات الاشتقاق الضمني الأربع

• نفترض أنَّ معادلةً تُعرّف $y$ ضمنيًا بوصفه اقترانًا بالنسبة إلى $x$؛ فنجد $\frac{dy}{dx}$ بالخطوات الآتية:
• الخطوة 1: أشتق طرفي المعادلة بالنسبة إلى $x$، مراعيًا استعمال قاعدة السلسلة عند اشتقاق حدود تتضمَّن المتغيّر $y$.
• الخطوة 2: أُرتب حدود المعادلة بحيث تصبح الحدود التي تحوي $\frac{dy}{dx}$ في طرفها الأيسر، والحدود الأخرى في طرفها الأيمن.
• الخطوة 3: أُخرج $\frac{dy}{dx}$ عاملًا مشتركًا من حدود طرف المعادلة الأيسر.
• الخطوة 4: أحلُّ المعادلة بالنسبة إلى $\frac{dy}{dx}$.

متى أستعمل قاعدة السلسلة عند اشتقاق طرفي المعادلة؟

ماذا أفعل بعد ترتيب الحدود بحيث تصبح الحدود التي تحوي $\frac{dy}{dx}$ في الطرف الأيسر؟

مثال: اشتقاق طرفي المعادلة خطوة بخطوة

أجد $\frac{dy}{dx}$ لكلٍّ ممَّا يأتي: ⁦a)⁩ $x^2 + y^2 = 13$ ،

b) $2x + 5y^2 = \sin y$

حين تدخل قاعدتا الضرب والقسمة

• أحتاج في بعض المسائل إلى قاعدتي مشتقة الضرب ومشتقة القسمة، إضافةً إلى قاعدة السلسلة؛ لإيجاد مشتقة علاقة ضمنية.

أجد $\frac{dy}{dx}$ لكل مما يأتي:

a) $3xy^2 + y^3 = 8$ ،

b) $\tan(x - y) = 2xy^3 + 1$ ،

c) $x^2 = \frac{x - y}{x + y}$

من المشتقة إلى ميل المماس

• الدعم البياني: يظهر في التمثيل البياني لمنحنى العلاقة $y^2 = x$ نقطتان إحداثيهما $x$ هو 4، ولكل نقطةٍ مماسٌّ خاصٌّ بها؛ وهذا يؤكّد منطقية الحلّ الجبري.

⁦a)⁩ أجد ميل مماس منحنى العلاقة: $y^2 = \ln x$ عند النقطة $(e, 1)$.

⁦b)⁩ أجد ميل مماس منحنى العلاقة: $(y - 3)^2 = 4(x - 5)$ عندما $x = 6$.

معادلة المماس لمنحنى علاقة ضمنية

1. أجد المشتقة: أشتق طرفي المعادلة ضمنيًا ثم أحلُّ لأفصل المشتقة الأولى.
2. أجد الميل: أعوّض إحداثيي النقطة في المشتقة، فأحصل على ميل المماس عندها.
3. أكتب المعادلة: أعوّض الميل والنقطة في صيغة الميل ونقطة، ثم أبسّط.

أجد معادلة المماس لمنحنى العلاقة: $x^3 + y^3 - 3xy = 17$ عند النقطة $(2, 3)$.

المشتقة الثانية: نشتق مرة أخرى

• تعلّمتُ في الأمثلة السابقة استعمال الاشتقاق الضمني لإيجاد $\frac{dy}{dx}$.

ماذا تحتوي $\frac{d^2y}{dx^2}$ إذا احتوت المشتقة الأولى على $y$؟

إذا كان: $xy + y^2 = 2x$، فأجد $\frac{d^2y}{dx^2}$.

المشتقة الثانية للمعادلات الوسيطية

• تعلَّمتُ في الدرس السابق كيفية إيجاد مشتقة المعادلات الوسيطية، وسأتعلَّم الآن كيف أجد مشتقتها الثانية باستعمال الاشتقاق الضمني.

أجد $\frac{d^2y}{dx^2}$ للمعادلة الوسيطية الآتية عندما $t = 2$:

$x = 3t^2 + 1$ $y = t^3 - 2t^2$