المساحات والحجوم

تعلّمنا إيجاد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى اقتران والمحور $x$. أمّا المنطقة $A$ المحصورة بين منحنيي الاقترانين $f(x)$ و $g(x)$ والمستقيمين $x=a$ و $x=b$، حيث منحنى $f$ في الأعلى ومنحنى $g$ في الأسفل، فنجد مساحتها بطرح المساحة الواقعة أسفل المنحنى السفلي ($A_2$) من المساحة الواقعة أسفل المنحنى العلوي ($A_1$): $A = \int_{a}^{b} f(x)\,dx - \int_{a}^{b} g(x)\,dx = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x))\,dx$

قاعدة المساحة بين منحنيين: إذا كان $f(x)$ و $g(x)$ اقترانين متصلين على الفترة $[a, b]$، وكان $f(x) \geq g(x)$، فإن مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيي الاقترانين والمستقيمين $x=a$ و $x=b$ هي: $A = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx$

خطوات الحل الأساسية:

• نجد الإحداثي $x$ لنقاط تقاطع المنحنيين في الفترة $[a, b]$ (إن وُجدت) بمساواة قاعدتي الاقترانين $f(x) = g(x)$ ثم حلّ المعادلة الناتجة.
• نحدّد أيّ الاقترانين هو العلوي وأيّهما السفلي في كل فترة جزئية.
• إذا تقاطع المنحنيان داخل الفترة، نجزّئ التكامل عند نقطة التقاطع؛ لأن العلوي يصبح سفليًا بعدها.
• يمكن أيضًا إيجاد المساحة دون تحديد العلوي والسفلي باستعمال الصيغة $A=\int_{a}^{b} |f(x)-g(x)|\,dx$.

لتحديد الاقتران العلوي دون رسم في فترة لا يتقاطع فيها المنحنيان، نعوّض إحدى قيم $x$ في تلك الفترة في كلا الاقترانين، ثم نقارن صورتيهما؛ الاقتران الذي يعطي ناتجًا أكبر هو العلوي.

منحنيان يتقاطعان داخل الفترة

مثال: نجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيي الاقترانين $f(x)=\cos x$ و $g(x)=\sin x$ والمستقيمين $x=0$ و $x=\frac{\pi}{2}$.

1. نقاط التقاطع: نساوي $\cos x=\sin x$، فيكون الحل الوحيد في الفترة $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ هو $x=\frac{\pi}{4}$.
2. تنقسم المنطقة إلى جزأين: $A_1$ على الفترة $\left[0,\frac{\pi}{4}\right]$ حيث منحنى $\cos x$ هو العلوي (يبدأ من $1$ عند $x=0$) ومنحنى $\sin x$ هو السفلي (يبدأ من $0$)، و $A_2$ على الفترة $\left[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right]$ حيث يصبح $\sin x$ هو العلوي و $\cos x$ هو السفلي.
3. المساحة المطلوبة هي مجموع مساحتي الجزأين:

1. نكامل: $A=(\sin x+\cos x)\Big|_{0}^{\pi/4}+(-\cos x-\sin x)\Big|_{\pi/4}^{\pi/2}$.
2. بالتعويض والتبسيط: $A=2\sqrt{2}-2$ وحدة مربعة.

عندما لا تُعطى حدود التكامل

إذا كانت المنطقة محصورة فقط بين منحنيين متقاطعين دون تحديد مسبق لمستقيمين $x=a$ و $x=b$، فإن حدود التكامل هي قيم $x$ التي يتقاطع عندها المنحنيان، ولذلك يجب إيجاد نقاط التقاطع أولًا.

مثال: نجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيي الاقترانين $f(x)=\frac{1}{2}x^3$ و $g(x)=4x-x^2$ في الربع الأول من المستوى الإحداثي.

1. نساوي القاعدتين: $\frac{1}{2}x^3=4x-x^2$، وبالضرب في $2$: $x^3=8x-2x^2$.
2. نعيد الترتيب ونحلّل: $x^3+2x^2-8x=0$، أي $x(x^2+2x-8)=0$، أي $x(x-2)(x+4)=0$، فتكون الحلول $x=0$ أو $x=2$ أو $x=-4$.
3. بما أن المنطقة في الربع الأول، فإن حدود التكامل هي $x=0$ و $x=2$. المنطقة تبدأ من نقطة الأصل وتنتهي عند تقاطع المنحنيين عند $x=2$، ويكون فيها منحنى $g$ (قطع مكافئ مفتوح إلى الأسفل يقطع المحور $x$ عند $x=0$ و $x=4$) هو العلوي، ومنحنى $f$ هو السفلي.
4. نكامل:

1. بالتعويض: $A=\left(8-\frac{8}{3}-2\right)-0=\frac{10}{3}$ وحدة مربعة.

الإزاحة هي التغيّر في موقع الجسم؛ فإذا كان $s(t)$ موقع جسم عند الزمن $t$، فإن الإزاحة على الفترة الزمنية $[t_1, t_2]$ هي $s(t_2)-s(t_1)$، ويمكن إيجادها بالتكامل المحدود لاقتران السرعة المتجهة $v(t)$، بينما يمثل تكامل القيمة المطلقة للسرعة $|v(t)|$ المسافة الكلية المقطوعة.

القوانين الفيزيائية المستخدمة:

• الإزاحة: $\Delta s = \int_{t_1}^{t_2} v(t) \, dt$
• المسافة الكلية: $d = \int_{t_1}^{t_2} |v(t)| \, dt$
• الموقع النهائي: $s(t_2) = s(t_1) + \int_{t_1}^{t_2} v(t) \, dt$

إذا عُلم منحنى السرعة–الزمن لجسم يتحرّك في مسار مستقيم، فإن إزاحته تساوي تكامل اقتران السرعة؛ لذا تُعبّر المساحة الواقعة أسفل المحور الأفقي (محور الزمن) والمحصورة بينه وبين المنحنى عن قيمة سالبة للتكامل، وتُعبّر المساحة الواقعة فوقه عن قيمة موجبة. أمّا المسافة الكلية فتساوي مجموع المساحات المحصورة بين المنحنى ومحور الزمن كلها دون إشارة؛ لأنها تكامل اقتران السرعة القياسية $|v(t)|$.

تنبيه الإشارات: المساحة الواقعة فوق المحور $t$ تعبر عن قيمة موجبة للتكامل (حركة لليمين)، بينما المساحة تحت المحور تعبر عن قيمة سالبة (حركة لليسار).

قد تكون قيمة الإزاحة موجبة أو سالبة أو صفرًا تبعًا لاتجاه حركة الجسم، أمّا المسافة فهي طول المسار الذي يقطعه الجسم بصرف النظر عن الاتجاه. وعندما يتكوّن المنحنى من قطع مستقيمة، يمكن تقسيم المنطقة إلى مساحات أصغر لأشكال مألوفة، مثل المثلث وشبه المنحرف، وحساب كل منها بقانونها دون تكامل.

الخلط بين الإزاحة والمسافة؛ الإزاحة قد تكون صفراً إذا عاد الجسم لنقطة البداية، أما المسافة فهي دائماً موجبة وتمثل طول المسار الفعلي.

قراءة الحركة من منحنى السرعة–الزمن

مثال: جُسيم يتحرّك على المحور $x$ في الفترة الزمنية $[0, 5]$، ومنحنى السرعة–الزمن له قطعة مستقيمة تبدأ من السرعة $-4$ m/s عند $t=0$ وتقطع محور الزمن عند $t=2$ ثم تصل إلى $2$ m/s عند $t=3$، وبعدها تبقى السرعة ثابتة $2$ m/s حتى $t=5$. بدأ الجُسيم الحركة من $x=2$ عندما $t=0$.

1. نقسّم المنطقة جزأين: المثلث $A_1$ أسفل محور الزمن على الفترة $[0,2]$، قاعدته $2$ وارتفاعه $4$، فمساحته $A_1=\frac{1}{2}(2)(4)=4$. وشبه المنحرف $A_2$ فوق محور الزمن على الفترة $[2,5]$، قاعدتاه المتوازيتان $3$ و $2$ وارتفاعه $2$، فمساحته $A_2=\frac{1}{2}(3+2)\times 2=5$.
2. الإزاحة: نجزّئ التكامل عند $t=2$: $s(5)-s(0)=\int_{0}^{2}v(t)\,dt+\int_{2}^{5}v(t)\,dt=-4+5=1$، أي أن إزاحة الجُسيم $1$ m إلى اليمين.
3. المسافة: $d=\int_{0}^{5}|v(t)|\,dt=A_1+A_2=4+5=9$ m.
4. الموقع النهائي: $s(5)-2=1$، إذن $s(5)=3$ m.

عند تدوير منطقة محصورة حول المحور $x$، يتولد مجسم دوراني. يمكن حساب حجمه بتقسيمه إلى أقراص دائرية رقيقة جداً.

حجم المجسم الدوراني (حول المحور x): حجم المجسّم الناتج من دوران المنطقة التي تنحصر بين منحنى $y=f(x)$ والمحور $x$، وتقع بين $x=a$ و $x=b$ حيث $a<b$، دورة كاملة حول المحور $x$ هو: $V = \int_{a}^{b} \pi y^2 \, dx = \int_{a}^{b} \pi (f(x))^2 \, dx$

يُلاحظ أن الاقتران يُربَّع كاملًا قبل التكامل، وأن $\pi$ ثابت يمكن إخراجه خارج التكامل. مثلًا، حجم المجسّم الناتج من دوران المنطقة المحصورة بين منحنى $f(x)=e^x$ والمحور $x$ والمستقيمين $x=-1$ و $x=2$ حول المحور $x$:

1. نعوّض في الصيغة: $V=\int_{-1}^{2}\pi(e^x)^2\,dx=\int_{-1}^{2}\pi e^{2x}\,dx$.
2. نكامل الاقتران الأسّي الطبيعي: $V=\frac{\pi}{2}e^{2x}\Big|_{-1}^{2}=\frac{\pi}{2}\left(e^{2(2)}-e^{2(-1)}\right)$.
3. بالتبسيط: $V=\frac{\pi}{2}(e^4-e^{-2})$ وحدة مكعبة.

يكون المجسّم الناتج ضيّقًا عند $x=-1$ ويتّسع تدريجيًا حتى $x=2$؛ لأن قيم $e^x$ تتزايد.

الدوران بين منحنيي اقترانين

لإيجاد حجم المجسّم الناتج من دوران منطقة محصورة بين منحنيي اقترانين والمستقيمين $x=a$ و $x=b$ حول المحور $x$، نطرح حجم المجسّم الدوراني الداخلي (الناتج من منحنى الاقتران الأقرب إلى المحور) من حجم المجسّم الدوراني الخارجي (الناتج من منحنى الاقتران الأبعد عن المحور)؛ لذا يكون المجسّم الناتج مُفرَّغًا من الداخل. إذا كان $f(x)$ و $g(x)$ اقترانين متصلين على الفترة $[a,b]$، وكان منحنى $f(x)$ أبعد من منحنى $g(x)$ عن المحور $x$، وكان كلا المنحنيين في الجهة نفسها من المحور $x$، فإن الحجم هو: $V = \int_{a}^{b} \pi ((f(x))^2 - (g(x))^2) \, dx$ يُلاحظ أن الصيغة تطرح مربّع كل اقتران على حدة، أي $(f(x))^2-(g(x))^2$.

يجب أن يكون كلا المنحنيين في الجهة نفسها من المحور $x$ لتطبيق قانون الفرق بين المربعين مباشرة في الحجوم. أمّا إذا كان أحد الاقترانين فوق المحور $x$ والآخر أسفله، فإن إيجاد الحجم يتطلّب تفاصيل أخرى.

مثال: المنطقة في الربع الأول المحصورة بين المستقيم $f(x)=x$ ومنحنى $g(x)=x^3$، اللذين يتقاطعان عند $x=0$ و $x=1$ (من $x-x^3=x(1-x)(1+x)=0$)، تدور حول المحور $x$. على الفترة $[0,1]$ يكون منحنى $f(x)=x$ هو الأبعد عن المحور $x$، لذلك: $V=\int_{0}^{1}\pi\left((x)^2-(x^3)^2\right)dx=\pi\int_{0}^{1}(x^2-x^6)\,dx=\pi\left(\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{7}x^7\right)\Big|_{0}^{1}=\frac{4\pi}{21}$ وحدة مكعبة.