التكامل بالكسور الجزئية

الاقترانات النسبية هي اقترانات يُمكن كتابتها في صورة نسبة بين كثيري حدود، مثل $\frac{f(x)}{g(x)}$ حيث $g(x) \neq 0$، ومن أمثلتها: $f(x) = \frac{2x+1}{x^2-1}, \quad g(x) = \frac{x^3+2x^2-x}{x^2-4x+8}, \quad h(x) = \frac{1}{x^2-3x-4}$

تجزئة المقادير النسبية عملية تُفضي إلى كتابة المقدار النسبي في صورة مجموع مقادير نسبية أبسط، كلٌّ منها في صورة $\frac{P(x)}{Q(x)}$، حيث $P$ و$Q$ كثيرا حدود لا توجد بينهما عوامل مشتركة، ودرجة $P$ أقل من درجة $Q$. ويُسمّى كل مقدار من هذه المقادير الأبسط كسرًا جزئيًّا.

مثال على التجزئة: المقدار الآتي يُكتب في صورة مجموع كسرين جزئيين: $\frac{x + 14}{(x - 4)(x + 2)} = \frac{3}{x - 4} + \frac{-2}{x + 2}$ فالمقدار $\frac{3}{x-4}$ كسر جزئي، والمقدار $\frac{-2}{x+2}$ كسر جزئي آخر.

التكامل بالكسور الجزئية: هي عملية تحويل الاقتران النسبي إلى مجموع اقترانات نسبية أبسط يسهل تكاملها، وغالباً ما تكون نواتج التكامل اقترانات لوغاريتمية طبيعية.

فائدة التجزئة أن تكامل المقدار النسبي الأصلي لا يُعرف مباشرة من قواعد التكامل، أما الكسور الجزئية الناتجة فيؤول تكامل كلٍّ منها إلى اقتران لوغاريتمي طبيعي أو إلى تكامل اقتران قوة. لذلك تُستعمَل تجزئة المقادير النسبية لإيجاد تكامل اقترانات نسبية بطريقة تُسمّى التكامل بالكسور الجزئية.

تعتمد عملية التجزئة على عوامل المقام، لذا توجد ثلاث حالات للتكامل بالكسور الجزئية بناءً على نوع هذه العوامل:

• عوامل المقام كثيرات حدود خطية مختلفة.
• عوامل المقام كثيرات حدود خطية، أحدها مكرر.
• عوامل المقام كثيرات حدود، أحدها تربيعي غير قابل للتحليل (مميزه سالب) وغير مكرر.

قبل التجزئة تُقارَن درجة البسط بدرجة المقام: تبدأ كتابة الاقتران النسبي في صورة مجموع كسور جزئية عندما تكون درجة البسط أقل من درجة المقام، أما إذا كانت درجة البسط مساوية لدرجة المقام أو أكبر منها، فيُقسَم البسط على المقام أولًا.

إذا كانت جميع عوامل كثير الحدود في مقام المقدار النسبي $\frac{P(x)}{Q(x)}$ خطية ومختلفة، وكانت درجة البسط أقل من درجة المقام، ولا توجد بينهما عوامل مشتركة، فإن كل عامل يقابله كسر جزئي بسطه ثابت ومقامه ذلك العامل الخطي: $\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{A_1}{a_1x + b_1} + \frac{A_2}{a_2x + b_2} + \frac{A_3}{a_3x + b_3} + \cdots + \frac{A_n}{a_nx + b_n}$

خطوات إيجاد الثوابت:

1. نحلل المقام إلى عوامله الخطية.
2. نكتب كسرًا جزئيًّا لكل عامل، بسطه ثابت مجهول مثل $A$ أو $B$.
3. نضرب طرفي المعادلة في المضاعف المشترك الأصغر (م.م.أ) لمقامات الكسور الجزئية، فتختفي المقامات.
4. نعوّض قيمًا محددة للمتغير $x$ هي أصفار العوامل الخطية، فيحذف كل تعويض جميع الثوابت إلا ثابتًا واحدًا، وتُصبح المعادلة بمجهول واحد.

مثلًا، عند تجزئة $\frac{x-5}{x^2-x-2} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-2}$ نحصل بعد الضرب على $x-5 = A(x-2) + B(x+1)$. تعويض $x=-1$ يحذف $B$: $(-1)-5 = A((-1)-2) + B((-1)+1) \Rightarrow A = 2$ وتعويض $x=2$ يحذف $A$: $(2)-5 = A((2)-2) + B((2)+1) \Rightarrow B = -1$

لاختيار قيم $x$ المناسبة لإيجاد الثوابت، تُستعمَل أصفار المقام؛ فتعويض صفر العامل الخاص بكسر معين يحذف بقية الثوابت ويُبقي الثابت المطلوب فقط، ما يجعل إيجاد كل ثابت أسهل.

يُلاحظ أن تكامل كل كسر من الكسور الجزئية الناتجة في هذه الحالة هو اقتران لوغاريتمي طبيعي، إذ يُكامَل $\frac{1}{ax+b}$ مضروبًا في ثابت. فتكامل المثال السابق: $\int \left(\frac{2}{x+1} - \frac{1}{x-2}\right) dx = 2\ln|x+1| - \ln|x-2| + C$ ويُمكن تبسيط الناتج إلى $\ln\left|\frac{(x+1)^2}{x-2}\right| + C$.

تكامل كل كسر جزئي ناتج في هذه الحالة هو اقتران لوغاريتمي طبيعي بصورة: $\int \frac{A}{ax+b} dx = \frac{A}{a} \ln |ax+b| + C$.

إذا كان التحليل الكامل لمقام مقدار نسبي يحوي عاملًا خطيًّا مكررًا $n$ من المرات، مثل $(ax+b)^n$، فإن هذا العامل يقابله $n$ من الكسور الجزئية، تتصاعد قوى مقاماتها من 1 إلى $n$: $\frac{A_1}{(ax+b)^1} + \frac{A_2}{(ax+b)^2} + \frac{A_3}{(ax+b)^3} + \cdots + \frac{A_n}{(ax+b)^n}$

يُلاحظ أن جميع الكسور الناتجة تُفضي إلى اقتران تكامله اقتران لوغاريتمي طبيعي عندما تكون القوة 1، أو إلى تكامل $(ax+b)^{-n}$ المضروب في ثابت؛ فيُكتب الكسر أولًا بتعريف الأُسّ السالب ثم يُكامَل بقاعدة تكامل اقتران القوة.

مثلًا، في $\frac{3x^2+2}{x^3-2x^2+x}$ يُحلَّل المقام إلى $x(x-1)^2$، فالعامل $x$ غير مكرر والعامل $(x-1)$ مكرر مرتين: $\frac{3x^2+2}{x(x-1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{(x-1)^2}$ بضرب الطرفين في (م.م.أ) نحصل على: $3x^2+2 = A(x-1)^2 + Bx(x-1) + Cx$

1. بتعويض $x=0$: $3(0)^2+2 = A(0-1)^2 + B(0)(0-1) + C(0) \Rightarrow A = 2$.
2. بتعويض $x=1$: $3(1)^2+2 = A(1-1)^2 + B(1)(1-1) + C(1) \Rightarrow C = 5$.
3. بتعويض $x=-1$ مع $A=2$ و$C=5$: $3(-1)^2+2 = (2)((-1)-1)^2 + B(-1)((-1)-1) + (5)(-1) \Rightarrow B = 1$.

لإيجاد قيمة $B$ لا يُعوَّض $x=0$ ولا $x=1$ في المعادلة؛ لأن كلًّا منهما سيحذف قيمة $B$ المطلوب إيجادها، وإنما يُعوَّض أي عدد حقيقي آخر، مثل: 2 أو 3 أو $-1$، بعد إيجاد $A$ و$C$.

عند التكامل يُكتب الكسر ذو المقام المربع بتعريف الأُسّ السالب: $\int \left(\frac{2}{x} + \frac{1}{x-1} + 5(x-1)^{-2}\right) dx = 2\ln|x| + \ln|x-1| - 5(x-1)^{-1} + C$ وبتعريف الأُسّ السالب مرة أخرى يصبح الناتج $2\ln|x| + \ln|x-1| - \frac{5}{x-1} + C$.

إذا كان تحليل مقام المقدار النسبي يحوي عاملًا تربيعيًّا غير مكرر، ولا يُمكن تحليله (مميزه سالب)، فإن هذا العامل التربيعي ينتج منه كسر جزئي بسطه كثير حدود خطي في صورة $Ax+B$، ومقامه العامل التربيعي نفسه، في حين يقابل كل عامل خطي كسر بسطه ثابت.

مثال: إيجاد $\int \frac{5x^2-4x+2}{(x-1)(x^2+2)} dx$

1. العامل $x^2+2$ لا يتحلل، فنكتب: $\frac{5x^2-4x+2}{(x-1)(x^2+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+2}$.
2. بضرب طرفي المعادلة في (م.م.أ): $5x^2-4x+2 = A(x^2+2) + (Bx+C)(x-1)$.
3. بتعويض $x=1$: $5(1)^2-4(1)+2 = A((1)^2+2) + (B(1)+C)(1-1) \Rightarrow A = 1$.
4. بتعويض $x=0$ و$A=1$: $5(0)^2-4(0)+2 = (1)((0)^2+2) + (B(0)+C)(0-1) \Rightarrow C = 0$.
5. بتعويض $x=2$ و$A=1$ و$C=0$: $5(2)^2-4(2)+2 = (1)((2)^2+2) + (B(2)+0)(2-1) \Rightarrow B = 4$.
6. إذن: $\frac{5x^2-4x+2}{(x-1)(x^2+2)} = \frac{1}{x-1} + \frac{4x}{x^2+2}$.

بسط الكسر $\frac{4x}{x^2+2}$ مضاعف لمشتقة مقامه، لذا يُكامَل بقاعدة $\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln|f(x)| + C$، في حين يُكامَل الكسر $\frac{1}{x-1}$ بقاعدة تكامل $\frac{1}{ax+b}$.

بإيجاد التكامل: $\int \left(\frac{1}{x-1} + \frac{4x}{x^2+2}\right) dx = \ln|x-1| + 2\ln|x^2+2| + C$ حيث كُتب $\frac{4x}{x^2+2} = 2 \cdot \frac{2x}{x^2+2}$، والمقدار $2x$ هو مشتقة $x^2+2$.

القسمة الطويلة أولًا: في الحالات السابقة كانت درجة $P(x)$ أقل من درجة $Q(x)$، ولا توجد بينهما عوامل مشتركة. أما إذا كانت درجة $P(x)$ مساوية لدرجة $Q(x)$ أو أكبر منها، فإنه يلزم تبسيط الاقتران النسبي بقسمة $P$ على $Q$، ثم إيجاد التكامل بالكسور الجزئية إذا لزم.

إذا كان $\frac{f(x)}{g(x)}$ اقترانًا نسبيًّا فيه درجة $f(x)$ أكبر من درجة $g(x)$ أو تساويها، وكان ناتج القسمة $q(x)$ وباقي القسمة $r(x)$، فإن: $\frac{f(x)}{g(x)} = q(x) + \frac{r(x)}{g(x)}$

مثلًا، في $\int \frac{3x^4-1}{x^2-1} dx$ درجة البسط 4 ودرجة المقام 2، فبقسمة $3x^4-1$ على $x^2-1$ يكون الناتج $3x^2+3$ والباقي $2$: $\int \frac{3x^4-1}{x^2-1} dx = \int \left(3x^2+3+\frac{2}{x^2-1}\right) dx$ ثم يُجزَّأ كسر الباقي فقط: $2 = A(x+1) + B(x-1)$، وبتعويض $x=1$ نجد $A=1$، وبتعويض $x=-1$ نجد $B=-1$، فيكون الناتج $x^3+3x+\ln|x-1|-\ln|x+1|+C$.

التعويض ثم الكسور الجزئية: يُستعمَل التعويض لحل تكاملات يصعب حلها في صورتها الأصلية، وقد تُفضي عملية التعويض في بعض التكاملات إلى اقتران نسبي يُمكن حله باستعمال الكسور الجزئية. فالتكامل $\int \frac{e^x}{e^{2x}-e^x} dx$ لا يُمكن البدء فيه بالكسور الجزئية مباشرة؛ لأن الاقتران المُكامَل ليس اقترانًا نسبيًّا، لكن بفرض $u=e^x$ يكون $dx = \frac{du}{u}$ ويصبح التكامل $\int \frac{1}{u^2-u} du$، وهو اقتران نسبي.

بعد إيجاد التكامل بدلالة $u$ يُعاد التعويض بالمتغير الأصلي؛ ففي تكامل $\frac{e^x}{e^{2x}-e^x}$ يُعوَّض $u=e^x$ في الناتج $-\ln|u| + \ln|u-1| + C$ ثم يُبسَّط إلى $-x + \ln|e^x-1| + C$.

مثال: إيجاد $\int \frac{\sqrt{x}}{x-16} dx$

1. نفرض $u=\sqrt{x}$، وبتربيع طرفي المعادلة $u^2 = x$، ومنه $2u\frac{du}{dx} = 1 \Rightarrow dx = 2u\,du$.
2. بالتعويض: $\int \frac{\sqrt{x}}{x-16} dx = \int \frac{u}{u^2-16} 2u\,du = 2\int \frac{u^2}{u^2-16} du$.
3. درجة البسط مساوية لدرجة المقام، فنقسم $u^2$ على $u^2-16$: الناتج $1$ والباقي $16$، إذن $2\int \frac{u^2}{u^2-16} du = 2\int \left(1 + \frac{16}{u^2-16}\right) du$.
4. نجزّئ: $\frac{16}{(u+4)(u-4)} = \frac{A}{u+4} + \frac{B}{u-4}$، ومنه $16 = A(u-4) + B(u+4)$.
5. بتعويض $u=-4$: $16 = A(-4-4) + B(-4+4) \Rightarrow A = -2$، وبتعويض $u=4$: $16 = A(4-4) + B(4+4) \Rightarrow B = 2$.
6. نكامل: $2\int \left(1 + \frac{-2}{u+4} + \frac{2}{u-4}\right) du = 2u - 4\ln|u+4| + 4\ln|u-4| + C$.
7. بتعويض $u = \sqrt{x}$: $2\sqrt{x} - 4\ln|\sqrt{x}+4| + 4\ln|\sqrt{x}-4| + C$.

يُمكن إيجاد تكاملات محدودة بالكسور الجزئية، وذلك بإجراء التكامل أولًا، ثم التعويض في حدود التكامل؛ فالتجزئة وإيجاد الثوابت يجريان بالخطوات نفسها المتبعة في التكامل غير المحدود.

مثلًا، لإيجاد قيمة $\int_{0}^{2} \frac{x-2}{x^2+5x+4} dx$ يُحلَّل المقام إلى $(x+1)(x+4)$، ومن $x-2 = A(x+4) + B(x+1)$ نجد بتعويض $x=-1$ أن $A=-1$، وبتعويض $x=-4$ أن $B=2$، ثم: $\int_{0}^{2} \left(\frac{-1}{x+1} + \frac{2}{x+4}\right) dx = \left(-\ln|x+1| + 2\ln|x+4|\right)\Big|_{0}^{2}$

بالتعويض في الحدود: $= \left(-\ln|2+1| + 2\ln|2+4|\right) - \left(-\ln|0+1| + 2\ln|0+4|\right)$ وباستعمال قانوني ضرب اللوغاريتمات وقسمتها: $-\ln 3 + 2\ln 6 = \ln 12$، و$-\ln 1 + 2\ln 4 = \ln 16$، فتكون القيمة $\ln 12 - \ln 16 = \ln\left(\frac{3}{4}\right)$.

لتبسيط ناتج التكامل المحدود بالكسور الجزئية يُستعمَل قانونا ضرب اللوغاريتمات وقسمتها، مع ملاحظة أن $\ln 1 = 0$.