التكامل بالأجزاء

في عالم التكامل، لا توجد قاعدة مباشرة لتوزيع التكامل على الضرب. عندما نواجه حاصل ضرب اقترانين مختلفين مثل اقتران كثير حدود في اقتران مثلثي، نحتاج إلى وسيلة لفك هذا الارتباط.

قاعدة التكامل بالأجزاء: إذا كان $u$ و $v$ اقترانين قابلين لالشتقاق بالنسبة إلى $x$، فإن: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$

تعتمد هذه الطريقة على تقسيم المقدار المراد تكامله إلى جزأين:

• الجزء الأول ($u$): نختاره بحيث يكون اشتقاقه بسيطاً ويؤدي لتبسيط التكامل.
• الجزء الثاني ($dv$): نختاره بحيث يكون تكامله سهلاً وممكناً.
• الهدف: تحويل التكامل الأصلي الصعب إلى تكامل جديد $\int v \, du$ يكون أكثر بساطة.

عند اختيار $u$ و $dv$، تذكر دائماً أن $dv$ يجب أن تحتوي على $dx$ من التكامل الأصلي. إذا وجدت أن التكامل الناتج أصبح أكثر تعقيداً، فكر في تبديل اختيارك لـ $u$ و $dv$.

بعض التكاملات لا تنتهي من المرحلة الأولى، بل تتطلب تطبيق القاعدة مرة ثانية أو ثالثة، خاصة عندما يكون $u$ كثير حدود من درجة عليا (مثل $x^2$ أو $x^3$). يتناول هذا الدرس تقنية التكامل بالأجزاء، وهي الطريقة العكسية لقاعدة مشتقة ضرب اق

التكامل الدوري: يحدث التكامل الدوري غالباً عند ضرب اقتران أسي في اقتران مثلثي (مثل $e^x \cos x$). هنا لا تنتهي الاشتقاقات بالصفر، بل تعود الصورة الأصلية للتكامل للظهور بعد مرتين من الأجزاء.

خطوات حل التكامل الدوري:

1. نطبق الأجزاء مرتين متتاليتين مع الحفاظ على نمط اختيار $u$ و $dv$.
2. ننقل التكامل الناتج (الذي يشبه الأصلي) إلى الطرف الأيسر للمعادلة.
3. نجمع المعاملات ونقسم عليها لإيجاد الناتج النهائي.

عند تكرار الأجزاء، احذر من تبديل الفرض؛ إذا اخترت الاقتران الأسي ليكون $u$ في المرة الأولى، يجب أن تلتزم بهذا الاختيار في المرة الثانية، وإلا ستعود للمعادلة الصفرية $0=0$.

عندما يكون المطلوب تكامل حاصل ضرب كثير حدود في اقتران أسي أو مثلثي، تصبح خطوات الأجزاء التقليدية طويلة وعرضة للخطأ. هنا نستخدم طريقة الجدول لتنظيم الحل.

تستخدم طريقة الجدول فقط عندما يكون أحد الاقترانين كثير حدود يؤول مشتقّه للصفر. لا تصلح للتكاملات الدورية أو اللوغاريتمية التي لا تنتهي مشتقاتها بالصفر.

آلية عمل الجدول:

• ننشئ عمودين: الأول للاشتقاق (نبدأ بـ $f(x)$) والثاني للتكامل (نبدأ بـ $g(x)$).
• نستمر في اشتقاق العمود الأول حتى نصل للصفر، ونكامل العمود الثاني بنفس عدد المرات.
• نضع إشارات متناوبة $(+, -, +, -)$ تبدأ من السهم المائل الأول.
• نجمع نواتج الضرب المائلة مع مراعاة الإشارات الموضوعة.

ينتج ثابت التكامل $C$ من تكامل الصفر $\int 0 \, dx$ الذي يظهر في السطر الأخير من الجدول.

في بعض الحالات، لا يمكن البدء بالأجزاء مباشرة بسبب وجود زاوية غير خطية أو أس غير خطي. هنا نلجأ للتعويض أولاً.

إذا كان أس الاقتران الأسي غير خطي، أو زاوية الاقتران المثلثي غير خطية، ابدأ دائماً بالتعويض لتبسيط الزاوية أو الأس (باستخدام رمز مثل $a$ لتجنب الخلط مع $u$)، ثم طبق الأجزاء.

مثال على ذلك تكامل $\int e^{\sqrt{x}} \, dx$؛ حيث نفرض $a = \sqrt{x}$ أولاً، وبعد تحويل $dx$ نجد أن التكامل تحول إلى صيغة $\int 2a e^a \, da$ وهي صيغة نموذجية للأجزاء.

تدريب مهم: بعد هذا القسم، راجع أمثلة 1–6 وأسئلة نهاية الدرس في آخر بطاقة.

التكامل بالأجزاء — يتناول هذا الدرس قاعدة التكامل بالأجزاء المشتقة من قانون مشتقة الضرب، مع التركيز على معايير اختيار الأجزاء، وحالات التكامل المتكرر والدوري، واستخدام طريقة الجدول لتبسيط الحلول الطويلة.

تذكير: في الامتحان: اكتب القانون ثم عوّض بالأرقام مع الوحدات.

• سؤال: أجد تكامل $\int (x+1) \cos x \, dx$؟

• سؤال: أجد قيمة التكامل المحدود $\int_{1}^{e} \frac{\ln x}{x^2} \, dx$؟

• سؤال: أجد تكامل $\int x \sec x \tan x \, dx$؟

• سؤال: أثبت أن $\int x^n \ln x \, dx = \frac{x^{n+1}}{(n+1)^2} (-1 + (n+1) \ln x) + C$؟

• سؤال: يتحرك جسيم في مسار مستقيم بسرعة $v(t) = t e^{-t/2}$، أجد موقعه بعد $t$ ثانية إذا بدأ من الأصل؟

• سؤال: أجد مساحة المنطقة المظللة المحصورة تحت منحنى $f(x) = e^{-x} \sin 2x$؟