المساحات والحجوم

• إيجاد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيي اقترانين.
• إيجاد حجم المُجسّم الدوراني.

مسألة اليوم: منطقتان بين منحنيين، فكيف نقيس مساحتيهما؟

مسألة اليوم: اعتماداً على الشكل المجاور الذي يُبيّن منحنيي الاقترانين: $f(x) = -2 \cos x + 4$، و $h(x) = 2 \cos x + 2$. 1) أجد إحداثيي كُلّ من النقاط: $A$، و $B$، و $C$. 2) أجد مساحة كُلّ من المنطقة $R_1$، والمنطقة $R_2$.

نحلّ هذه المسألة بعد أن نتعلّم قاعدة المساحة بين منحنيين.

نعود إلى مسألة اليوم ونحلّها

المساحة بين منحنيين: العلوي ناقص السفلي

• سابقًا تعلّمتُ إيجاد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران والمحور $x$، والآن سأتعلّم إيجادها بين منحنيين.
• لإيجاد المساحة $A$ بين المنحنيين والمستقيمين $x=a$ و $x=b$: أطرح المساحة تحت المنحنى السفلي ($A_2$) من المساحة تحت المنحنى العلوي ($A_1$).

مثالان: منحنيان لا يتقاطعان، وآخران يتقاطعان

a) أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيي الاقترانين: $f(x) = \sqrt{x}$، و $g(x) = x^2+1$، والمستقيمين: $x=0$، و $x=3$.

b) أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيي الاقترانين: $f(x) = \sin x$، و $g(x) = 2-\sin x$، والمستقيمين: $x=0$، و $x=\pi$.

حدود التكامل غير مذكورة: نجدها من التقاطع

• ألاحظ: المنطقة في المثال السابق محدودة بمستقيمين معطيين، هما: $x=a$ و $x=b$.
• ولكن، إذا كانت المنطقة محصورة فقط بين منحنيين متقاطعين من دون تحديد مُسبَّق للحدود، فإنَّ حدود التكامل ستكون ضمن قِيَم $x$ التي يتقاطع عندها المنحنيان.

أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحني الاقترانين: $f(x) = x^2$ و $g(x) = x + 2$.

السرعة والزمن: المساحة تعطينا الإزاحة والمسافة

• فإذا كان ${s}(t)$ موقع جسم عند الزمن $t$، فإنّ الإزاحة على الفترة الزمنية $[t_1, t_2]$ هي: ${s}(t_2) - {s}(t_1)$.
• إزاحة جسم عُلمت سرعته: ${s}(t_2) - {s}(t_1) = \int_{t_1}^{t_2} v(t) dt$
• إذا عُلم منحنى السرعة - الزمن لجسم يتحرّك في مسار مستقيم، فالتكامل يُستعمل لإيجاد إزاحته؛ لأنّ الإزاحة تساوي تكامل اقتران السرعة.

من منحنى السرعة إلى الإزاحة والمسافة والموقع

هل يُمكن إيجاد الإزاحة بطريقة أخرى؟ أبرّر إجابتي.

يُبيّن الشكل منحنى السرعة - الزمن لُجسيم يتحرّك على المحور $x$ في الفترة الزمنية $[0, 5]$. إذا بدأ الجُسيم الحركة من $x = 3$ عندما $t = 0$، فأجد كُلًا مما يأتي:

a) إزاحة الجُسيم في الفترة الزمنية المعطاة.

b) المسافة التي قطعها الجُسيم في الفترة الزمنية المعطاة.

c) الموقع النهائي للجُسيم.

الحجم الدوراني: ندوّر منطقة حول المحور

• حجم هذا المُجسّم يُمكن إيجاده عن طريق التكامل.

حجم المُجسّم الدوراني لاقتران واحد

• الدعم البياني: المُجسّم الناتج من دوران المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران $f(x) = e^x$، والمحور $x$، والمستقيمين $x = -1$ و $x = 2$ حول المحور $x$.

أجد حجم المُجسّم الناتج من دوران المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران: $f(x) = \frac{1}{x}$ والمحور $x$، والمستقيمين: $x = 1$، و $x = 4$ حول المحور $x$.

دوران منطقة بين منحنيين: نطرح الداخلي من الخارجي

• سابقًا: تعلّمتُ إيجاد حجم المُجسّم الناتج من دوران المنطقة المحصورة بين منحنى اقتران والمحور $x$.
• الآن: أجد حجم المُجسّم الناتج من دوران منطقة محصورة بين منحنيي اقترانين حول المحور $x$.
• الطريقة: أطرح حجم المُجسّم الدوراني الداخلي من حجم المُجسّم الدوراني الخارجي كما في الشكل.
• أتعلّم: ألاحظ أنّ المُجسّم الناتج من الدوران مُفرّغ من الداخل.

حجم المُجسّم الدوراني بين منحنيين: مثال كامل

• أتعلّم: ألاحظ من التمثيل البياني أنّ منحنى $f(x)$ أبعد من منحنى $g(x)$ عن المحور $x$.

• الدعم البياني: المُجسّم الناتج من دوران المنطقة بين $f(x) = x$ و $g(x) = x^3$ في الربع الأوّل حول المحور $x$.

أجد حجم المُجسّم الناتج من دوران المنطقة المحصورة بين منحنيي الاقترانين: $f(x) = \sqrt{x}$ و $g(x) = x^2$ حول المحور $x$.

جيوجبرا: نحسب المساحة بين منحنيين بالبرنامج

• الهدف: استعمال برمجية جيوجبرا لإيجاد المساحة المحصورة بين منحنيي اقترانين بوصفها تكاملًا محدودًا.
• انتبه: أُراعي تحويل إشارة الناتج السالبة إلى إشارة موجبة إذا وقعت المنطقة أسفل المحور $x$.

1. أجد مساحة المنطقة بين منحنى الاقتران: $f(x) = x^2 + 4$، والمحور $x$، والمستقيمين: $x = -1$، و $x = 2$.

2. أجد مساحة المنطقة بين منحني الاقترانين: $f(x) = \sqrt{x}$ و $g(x) = \frac{1}{2}x$.