المشتقة الثانية وتطبيقاتها

• إيجاد المشتقّة الثانية لاقتران.
• تصنيف النقاط الحرجة باستعمال اختبار المشتقّة الثانية.
• إيجاد السرعة المتجهة والتسارع لجسم يتحرَّك في مسار مستقيم.

المشتقة الثانية: نشتقّ الاقتران مرّتين

• اقتران المشتقّة اقتران جديد، وهذا يعني أنَّه يُمكِنني اشتقاقه.

• مثال: إذا كان $f(x) = x^4$، فإنَّ مشتقة الاقتران $f(x)$ هي $f'(x) = 4x^3$.
• والمشتقّة الثانية للاقتران $f(x)$ هي $f''(x) = 12x^2$.

أجد المشتقّة الثانية لكل اقتران ممّا يأتي:

a) $f(x) = x^4 - 3x^2$

b) $f(x) = \frac{2}{x^3}$

اختبار المشتقة الثانية: عظمى أم صغرى؟

• النقطة الحرجة نقطة ميل مماس الاقتران عندها صفر؛ أي أنّ مشتقة الاقتران عندها تساوي صفرًا، فيُمكِن رسم مماس أفقي عندها.
• سابقًا صنّفتُ النقاط الحرجة بدراسة إشارة المشتقّة الأولى للاقتران.
• الآن أستعمل اختبار المشتقّة الثانية ⁦(second derivative test)⁩ لتحديد ماهية القيمة الحرجة؛ هل هي عظمى محلية أم صغرى محلية؟

1. أوجد المشتقة الأولى: اشتقّ الاقتران، ثم ساوِ مشتقته بالصفر لتجد القِيَم الحرجة.
2. أوجد المشتقة الثانية: اشتقّ المشتقة الأولى مرة أخرى.
3. عوّض القِيَم الحرجة: عوّض كل قيمة حرجة في المشتقة الثانية، وانظر إلى إشارة الناتج.
4. صنّف: سالب يعني قيمة عظمى محلية، وموجب يعني صغرى محلية، وصفر يعني أنّ الاختبار يفشل.

إذا كان: $f(x) = x^3 - 2x^2 - 4x + 5$، فأستعمل اختبار المشتقّة الثانية لإيجاد القِيَم القصوى المحلية للاقتران $f$.

السرعة والتسارع: ماذا تقول المشتقتان عن الحركة؟

• الموقع يُمثِّل اقترانًا بالنسبة إلى الزمن $t$، ويُرمَز إليه بالرمز ${s}(t)$.

• المشتقّة الأولى للاقتران ${s}(t)$ تمثّل السرعة المتجهة، ويُرمَز إليها بالرمز $v(t)$.
• السرعة المتجهة تحدّد سرعة الجسم واتجاه حركته؛ لذا سُمِّيت بهذا الاسم.
• إشارة $v(t)$ تحدّد الاتجاه:
• إذا كانت قيمة $v(t) > 0$ فإنَّ الجسم يتحرَّك في الاتجاه الموجب.
• إذا كانت قيمة $v(t) < 0$ فإنَّ الجسم يتحرَّك في الاتجاه السالب.
• إذا كانت $v(t) = 0$ فإنَّ الجسم يكون في حالة سكون لحظي.

• المشتقّة الثانية للاقتران ${s}(t)$ تمثّل التسارع، ويُرمَز إليه بالرمز $a(t)$.

يُمثِّل الاقتران: ${s}(t) = 3t^2 - t^3,\ t \ge 0$ موقع جسم يتحرَّك في مسار مستقيم، حيث ${s}$ الموقع بالأمتار، و$t$ الزمن بالثواني:

⁦a)⁩ ما سرعة الجسم عندما $t = 3$؟

⁦b)⁩ في أيِّ اتجاه يتحرَّك الجسم عندما $t = 3$؟

⁦c)⁩ ما تسارع الجسم عندما $t = 3$؟

⁦d)⁩ أجد قِيَم $t$ التي يكون عندها الجسم في حالة سكون لحظي.

• توجد تطبيقات حياتية عديدة للسرعة والتسارع، ويُمكِن استعمال هذه التطبيقات لتحليل حركة الأجسام.

من الحياة: حركة أسد الجبال

فهد: يُمكِن نمذجة موقع فهد يطارد فريسته على أرض مستوية مُتحرِّكًا في خط مستقيم باستعمال الاقتران:

${s}(t) = t^3 - 6t^2 + 9t,\ t \ge 0$، حيث $t$ الزمن بالثواني، و${s}$ الموقع بالأمتار:

⁦a)⁩ ما سرعة الفهد بعد 5 ثوانٍ من بَدْء حركته؟

⁦b)⁩ ما تسارع الفهد بعد 5 ثوانٍ من بَدْء حركته؟

⁦c)⁩ أجد قِيَم $t$ التي يكون عندها الفهد في حالة سكون لحظي.

تدرّب: اشتقاق وقيم قصوى وحركة

1 $f(x) = 3x^3 - 4x^2 + 5x$

2 $f(x) = 2x^{-3}$

3 $f(x) = x^3 - \frac{5}{x}$

4 $f(x) = \sqrt{x}$

5 $f(x) = 2 - 4x + x^2 - x^3$

أجد المشتقّة الثانية لكل اقتران ممّا يأتي عند قيمة $x$ المعطاة:

6 $f(x) = 8x^3 - 3x + \frac{4}{x},\ x = -2$

7 $f(x) = \sqrt{x^3},\ x = 4$

أستعمل اختبار المشتقّة الثانية لإيجاد القِيَم القصوى المحلية (إنْ وُجِدت) لكل اقتران ممّا يأتي:

8 $y = x^4 - 2x^2$

9 $y = x^2\,(x-4)$

يُمثِّل الاقتران: ${s}(t) = t^5 - 20t^2,\ t \ge 0$ موقع جسم يتحرَّك على خط مستقيم، حيث ${s}$ الموقع بالأمتار، و$t$ الزمن بالثواني:

10 ما سرعة الجسم عندما $t = 3$؟

11 في أيِّ اتجاه يتحرَّك الجسم عندما $t = 3$؟

12 ما تسارع الجسم عندما $t = 3$؟

13 أجد قِيَم $t$ التي يكون عندها الجسم في حالة سكون لحظي.

لوح تزلُّج: يتحرَّك رامي في مسار مستقيم على لوح تزلُّج، بحيث يُمكِن نمذجة موقعه باستعمال الاقتران:

${s}(t) = t^2 - 8t + 12,\ t \ge 0$، حيث $t$ الزمن بالثواني، و${s}$ الموقع بالأمتار:

14 ما سرعة رامي بعد 6 ثوانٍ من بَدْء حركته؟

15 ما تسارع رامي بعد 6 ثوانٍ من بَدْء حركته؟

16 أجد قِيَم $t$ التي يكون عندها رامي في حالة سكون لحظي.

تحدٍّ وتبرير

17 تبرير: إذا كان $y = x^2 - \frac{1}{x},\ x \ne 0$، فأُثبِت أنّ: $x\frac{d^2y}{dx^2} + 2\frac{dy}{dx} = 6x$، أبرّر إجابتي.

18 تبرير: إذا كان: $f(x) = \frac{x^4 - 3x^2 + 2x - 8}{x - 2},\ x \ne 2$، فأجد إحداثيي النقطة (أو إحداثيات النقاط) الواقعة على منحنى $f(x)$ التي تكون عندها $f''(x) = 0$، أبرّر إجابتي.

19 تحدٍّ: إذا مثَّل الاقتران:

${s}(t) = t^3 - 12t - 9,\ t \ge 0$ موقع جسم يتحرَّك في مسار مستقيم، حيث ${s}$ الموقع بالأمتار، و$t$ الزمن بالثواني، فما سرعة الجسم عندما يكون تسارعه صفرًا؟

20 تحدٍّ: إذا مثَّل الاقتران:

${s}(t) = 2t^3 - 24t - 10,\ t \ge 0$ موقع جسم يتحرَّك في مسار مستقيم، حيث ${s}$ الموقع بالأمتار، و$t$ الزمن بالثواني، فما تسارع الجسم عندما تكون سرعته صفرًا؟