المعدلات المرتبطة

• حُلُّ مسائل وتطبيقات حياتية على المُعدَّلات المرتبطة بالزمن.

ما المعدلات المرتبطة، ولماذا نحتاجها؟

مسألة اليوم: خالد يخسر من كتلته $2\ \text{kg}$ شهريًّا. كيف نجد معدل تغيّر مساحة سطح جسمه؟

وكيف نحلّ مسألة كهذه خطوة بخطوة؟

خمس خطوات تحلّ أي مسألة معدلات مرتبطة

• 1) أفهم المسألة: أقرأ المسألة جيدًا، وأحدّد المتغيّر المطلوب إيجاد معدل تغيّره، والمعدلات المعطاة.
• 2) أرسم مخططًا يمثّل المسألة، وأدوّن عليه المعلومات المهمة: الكميات الثابتة، والكميات المتغيّرة بمرور الزمن.
• 3) أكتب معادلة تربط بين المتغيّر المطلوب إيجاد معدل تغيّره، والمتغيّرات التي علمتُ معدلات تغيّرها.
• 4) أشتق بالنسبة إلى الزمن: أستعمل قاعدة السلسلة والاشتقاق الضمني لإيجاد مشتقة طرفي المعادلة بالنسبة إلى المتغيّر الوسيط $t$.
• 5) أعوّض، ثم أجد معدل التغيّر المطلوب: أعوّض في المعادلة الناتجة القيم المعلومة للمتغيّرات ومعدلات تغيّرها، ثم أحلّ المعادلة تبعًا للمعدل المطلوب.

المساحة والحجم: كيف يتغيّران مع الزمن؟

• بعض المسائل الحياتية تتطلب إيجاد معدل تغيّر المساحة أو الحجم بالنسبة إلى الزمن.
• مثال ذلك: تغيّر مساحة موجات الماء الدائرية المتكوّنة على سطح ما عند هطل المطر.

تنفخ ماجدة بالونًا على شكل كرة، فيزداد حجمه بمُعدَّل $80\ \text{cm}^3/\text{s}$.

أجد مُعدَّل زيادة نصف قُطر البالون عندما يكون نصف القُطر $6\ \text{cm}$

المسافة بين جسمين متحرّكين: كيف تتغيّر؟

• إيجاد معدل تغيّر المسافة بين جسمين متحرّكين من التطبيقات الحياتية المهمّة لعلم التفاضل.
• مثال ذلك: معدل تغيّر المسافة بين سيارتين أثناء حركتهما.

تحرّكت السيارة $A$ والسيارة $B$ في الوقت نفسه، ومن النقطة نفسها، بحيث اتّجهت السيارة $A$ نحو الشمال بسرعة $45\ \text{km/h}$، واتّجهت السيارة $B$ نحو الشرق بسرعة $40\ \text{km/h}$. أجد مُعدَّل تغيّر البُعد بين السيارتين بعد ساعتين من انطلاقهما.

الزاوية: كيف تتغيّر زاوية ارتفاع صاروخ؟

• زاوية الارتفاع: الزاوية المحصورة بين خطِّ النظر إلى الأعلى والخطِّ الأفقي.
• زاوية الانخفاض: الزاوية المحصورة بين خطِّ النظر إلى الأسفل والخطِّ الأفقي.
• الهدف الآن: حساب مُعدَّل تغيّر زاوية الارتفاع وزاوية الانخفاض بالنسبة إلى الزمن.

أمسك ولد ببكرة خيط طائرة ورقية تُحلّق على ارتفاع $50\ \text{m}$ فوق سطح الأرض، وتتحرّك أفقيًّا بسرعة $2\ \text{m/s}$.

أجد مُعدّل تغيّر الزاوية بين الخيط والمستوى الأفقي عندما يكون طول الخيط $100\ \text{m}$، علمًا بأنّ ارتفاع يد الولد عن الأرض $1.5\ \text{m}$.

الحركة الدائرية: كيف تتحرّك بقعة الضوء؟

• تعلّمنا سابقًا الحركة الدائرية، وسنحسب الآن مُعدَّلات تغيّر زمنية مرتبطة بهذا النوع من الحركة.

يدور مصباح مُثبّت بالأرض حول نفسه 4 دورات في الدقيقة، ويبعد مسافة $3\ \text{m}$ عن جدار مستقيم كما في الشكل المجاور.

أجد سرعة تحرُّك بقعة ضوء المصباح على الجدار عندما تكون على بُعد $1\ \text{m}$ من أقرب نقطة إلى المصباح على الجدار أثناء حركتها مُقتربة من هذه النقطة.

الخزّان المخروطي: كيف يتغيّر ارتفاع الماء؟

خزّان ماء على شكل مخروط دائري قائم، رأسه إلى الأسفل، وارتفاعه $10\ \text{m}$، ونصف قُطر قاعدته $5\ \text{m}$.

صُبَّ الماء في الخزّان بمُعدَّل $\pi\ \text{m}^3/\text{min}$. ما مُعدَّل تغيّر ارتفاع الماء في الخزّان عندما يكون ارتفاعه $8\ \text{m}$؟

تدرّب: المستطيل والمكعّب والخزّانات

المفتاح هنا: اكتب الكمية بمتغيّر واحد، ويوحّد تشابه المثلثات المتغيّرين في الكومة المخروطية.

يزداد طول أحد أضلاع مستطيل بمُعدَّل $2\ \text{cm/s}$، ويقل طول ضلعه الآخر بمُعدَّل $3\ \text{cm/s}$، بحيث يحافظ المستطيل على شكله. وفي لحظة مُعيّنة بلغ طول الضلع الأوّل $20\ \text{cm}$، وبلغ طول الضلع الثاني $50\ \text{cm}$:

1) ما مُعدَّل تغيّر مساحة المستطيل في تلك اللحظة؟

2) ما مُعدَّل تغيّر محيط المستطيل في تلك اللحظة؟

3) ما مُعدَّل تغيّر طول قُطر المستطيل في تلك اللحظة؟

4) أيُّ الكميات في المسألة مُتزايدة؟ أيُّها مُتناقصة؟ أُبرّر إجابتي.

مُكعَّب طول ضلعه $10\ \text{cm}$. بدأ المُكعَّب يتمدَّد، فزاد طول ضلعه بمُعدَّل $6\ \text{cm/s}$، وظلَّ مُحافظًا على شكله:

5) أجد مُعدَّل تغيّر حجم المُكعَّب بعد $4\ \text{s}$ من بَدء تمدُّده.

6) أجد مُعدَّل تغيّر مساحة سطح المُكعَّب بعد $6\ \text{s}$ من بَدء تمدُّده.

وقود: خزّان أسطواني الشكل، ارتفاعه $15\ \text{m}$، وقُطر قاعدته $2\ \text{m}$. مُلئ الخزّان بالوقود بمُعدَّل $500\ \text{L/min}$:

7) أجد مُعدَّل تغيّر ارتفاع الوقود في الخزّان عند أيّ لحظة.

8) أجد مُعدَّل تغيّر المساحة الجانبية للوقود عند أيّ لحظة.

آلات: يسقط الرمل من حزام ناقل بمُعدَّل $10\ \text{m}^3/\text{min}$ على قمّة كومة مخروطية الشكل. إذا كان ارتفاع الكومة يساوي دائمًا ثلاثة أثمان طول قُطر قاعدتها، فأجد كُلًّا ممّا يأتي:

9) سرعة تغيّر ارتفاع الكومة عندما يكون ارتفاعها $4\ \text{m}$

10) سرعة تغيّر طول نصف قُطر قاعدة الكومة عندما يكون ارتفاعها $4\ \text{m}$

11) سرعة تغيّر مساحة قاعدة الكومة عندما يكون ارتفاعها $4\ \text{m}$

تدرّب: الطائرات والدرّاجات والقارب والكاميرا

المفتاح هنا: فيثاغورس يربط المسافات، وظلّ الزاوية يربط ارتفاع الكاميرا ببُعد السيارة.

طيران: رصد مُراقب الحركة الجوية في أحد المطارات طائرتين تُحلّقان على الارتفاع نفسه، وتقتربان من نقطة التقاء مسار حركتيهما في زاوية قائمة كما في الشكل المجاور. كانت الطائرة الأولى تسير بسرعة $450\ \text{km/h}$، في حين كانت الطائرة الثانية تسير بسرعة $600\ \text{km/h}$:

12) أجد مُعدَّل تغيّر المسافة بين الطائرتين في اللحظة التي تبعد فيها الطائرة الأولى مسافة $225\ \text{km}$ عن نقطة التقاء مسار حركة الطائرتين، وتبعد فيها الطائرة الثانية مسافة $300\ \text{km}$ عن النقطة نفسها، علمًا بأن الطائرتين تُحلّقان على الارتفاع نفسه.

13) هل يجب على مُراقب الحركة الجوية توجيه إحدى الطائرتين لاتِّخاذ مسار مختلف؟ أُبرّر إجابتي.

14) درّاجات نارية: تحرّكت درّاجتان في الوقت نفسه، ومن النقطة نفسها، على طريقين مستقيمين، قياس الزاوية بينهما $\frac{\pi}{3}\ \text{rad}$.

إذا كانت سرعة الدرّاجة الأولى $15\ \text{km/h}$، وسرعة الدرّاجة الثانية $20\ \text{km/h}$، فأجد سرعة ابتعاد كلّ منهما عن الأخرى بعد ساعتين من انطلاقهما.

15) قوارب: يسحب جمال قاربه إلى رصيف الاصطفاف باستعمال بكرة ترتفع $1\ \text{m}$ عن مُقدّمة القارب.

إذا طوت البكرة حبل السحب بسرعة $1\ \text{m/s}$، وكان القارب يبعد عن الرصيف مسافة $8\ \text{m}$ في لحظة ما، فما سرعة اقتراب القارب من الرصيف عندئذٍ؟

سباقات سيّارات: ترتفع كاميرا عن الأرض مسافة $132\ \text{ft}$، وترصد سيّارة تتحرّك على مضمار سباق، وتبلغ سرعتها $264\ \text{ft/s}$ كما في الشكل المجاور:

16) أجد سرعة تغيّر الزاوية $\theta$ عندما تكون السيّارة أسفل الكاميرا تمامًا.

17) أجد سرعة تغيّر الزاوية $\theta$ بعد نصف ثانية من مرور السيّارة أسفل الكاميرا تمامًا.

تحدٍّ: جُسيم وعجلة وظلّ وبكرة

المفتاح هنا: فيثاغورس للمسافة، والجيب وجيب التمام للعجلة، وتشابه المثلثات للظل، وطول الحبل ثابت.

18) فيزياء: يتحرّك جُسيم على منحنى الاقتران: $f(x) = 2 \sin \frac{\pi x}{2}$.

وعند مروره بالنقطة $(\frac{1}{3}, 1)$، فإنَّ الإحداثي $x$ لموقعه يزداد بمُعدَّل $\sqrt{10}$ وحدة طول لكل ثانية.

أجد مُعدَّل تغيّر المسافة بين الجُسيم ونقطة الأصل في هذه اللحظة.

سيّارات: عجلة سيّارة طول نصف قُطرها الداخلي $30\ \text{cm}$، وهي تدور بمُعدَّل 10 دورات في الثانية. رُسمت النقطة $P$ على حافة العجلة كما في الشكل المجاور:

19) أجد $\frac{dx}{dt}$ بدلالة $\theta$.

20) أجد $\frac{dx}{dt}$ عندما $\theta = \frac{\pi}{4}$.

21) ضوء: مصباح مُثبّت بالأرض، وهو يضيء على جدار يبعد عنه مسافة $12\ \text{m}$.

إذا سار رجل طوله $2\ \text{m}$ من موقع المصباح إلى الجدار بسرعة $1.6\ \text{m/s}$، فأجد مُعدَّل تغيّر طول ظلّه على الجدار عندما يكون على بُعد $4\ \text{m}$ من الجدار.

22) تبرير: رُبطت العربتان $A$ و$B$ بحبل طوله $12\ \text{m}$، وهو يمرُّ بالبكرة $P$ كما في الشكل المجاور.

إذا كانت النقطة $Q$ تقع على الأرض بين العربتين أسفل $P$ مباشرة، وتبعد عنها مسافة $4\ \text{m}$، وكانت العربة $A$ تتحرّك بعيدًا عن النقطة $Q$ بسرعة $0.5\ \text{m/s}$، فأجد سرعة اقتراب العربة $B$ من النقطة $Q$ في اللحظة التي تكون فيها العربة $A$ على بُعد $3\ \text{m}$ من النقطة $Q$، ثمَّ أُبرّر إجابتي.

23) تبرير: يركض عدّاء في مضمار دائري، طول نصف قُطره $100\ \text{m}$، بسرعة ثابتة مقدارها $7\ \text{m/s}$، ويقف صديقه على بُعد $200\ \text{m}$ من مركز المضمار. أجد مُعدَّل تغيّر المسافة بين العدّاء وصديقه عندما تكون المسافة بينهما $200\ \text{m}$.

تنبيه: أجد جميع الحلول المُمكنة.