التكامل بالتعويض

• إيجاد تكاملات باستعمال طريقة التعويض.

التكامل بالتعويض: متى نلجأ إليه وما فكرته؟

• يُمكن إيجاد اقتران أصلي للاقتران المُكامَل بالبحث عن اقتران مشتقته تعطي الاقتران المُكامَل.
• لا يُمكن إيجاد اقتران أصلي لبعض التكاملات مباشرة، مثل: $\int 2x\sqrt{x^2 + 6} dx$.

• يُمكن حلُّ أي تكامل بطريقة التعويض إذا أمكن كتابته في صورة: $\int f(g(x)) g'(x) dx$.

وكيف نحوّل هذه الفكرة إلى خطوات ثابتة نكررها في كل تكامل؟

أربع خطوات تحلّ أي تكامل بالتعويض

• خطوات حلّ التكامل بالتعويض:
• الخطوة 1: تحديد التعويض $u$ الذي يُمكن به تبسيط المُكامل.
• الخطوة 2: التعبير عن المُكامل بدلالة $u$ و $du$، وحذف مُتغيّر التكامل الأصلي ومشتقته حذفًا كاملًا، ثمَّ كتابة المُكامل الجديد في أبسط صورة.
• الخطوة 3: إيجاد التكامل الجديد.
• الخطوة 4: التعبير عن الاقتران الأصلي الذي تمَّ إيجاده في الخطوة السابقة باستعمال المُتغيّر الأصلي عن طريق التعويض.

التعويض المباشر: عندما تظهر المشتقة في المكامل

• أبسط الحالات: مشتقة $u$ موجودة بصورة مباشرة في المُكامَل.

أجد $\int 4x^2 \sqrt{x^3 - 5} dx$

أجد $\int \frac{1}{2\sqrt{x}} e^{\sqrt{x}} dx$

أجد $\int \frac{(\ln x)^3}{x} dx$

أجد $\int \frac{\cos (\ln x)}{x} dx$

أجد $\int \cos^4 5x \sin 5x dx$

أجد $\int x 2^{x^2} dx$

أفكّر: هل يُمكن حلُّ التكامل في الفرع 5 من المثال 1 باستعمال التعويض: $u = \cos 2x$؟ أُبرِّر إجابتي.

وماذا لو لم تظهر المشتقة كاملة داخل المكامل؟

حين لا تكفي المشتقة: نكتب المتغير الأصلي بدلالة الجديد

• في حالات أخرى نحتاج إلى إجراءات إضافية لتبسيط المُكامَل وكتابته كاملًا باستعمال المُتغيّر الجديد.

أجد $\int \frac{x}{\sqrt{1 + 2x}} dx$

أجد $\int x^7 (x^4 - 8)^3 dx$

أجد $\int \frac{e^{3x}}{(1 - e^x)^2} dx$

أفكّر: هل يُمكن حلُّ التكامل في الفرع 2 من المثال 2 بطريقة أخرى؟ أُبرِّر إجابتي.

وماذا نفعل حين يظهر جذر في المكامل؟

جذر في المكامل: نفترض أنّ المتغير الجديد هو الجذر نفسه

• يُمكن استعمال التكامل بالتعويض عند وجود المقدار $\sqrt[n]{ax + b}$ في بعض التكاملات.
• أفترض أنَّ $u = \sqrt[n]{ax + b}$؛ بُغية التخلُّص من الجذر.

أجد $\int \frac{dx}{x + \sqrt[3]{x}}$

أجد $\int x \sqrt[3]{(1 - x)^2} dx$

أفكّر: هل يُمكن حلُّ الفرع 1 من المثال 3 بإخراج $\sqrt{x}$ عاملًا مشتركًا من المقام، ثمَّ التعويض؟ أُبرِّر إجابتي.

أفكّر: هل يُمكن حلُّ الفرع 2 من المثال 3 بطريقة أخرى؟ أُبرِّر إجابتي.

من الحياة: نجد الاقتران من معدّل تغيّره ونقطة معلومة

أسعار: يُمثّل الاقتران $p(x)$ سعر قطعة (بالدينار) تُستعمل في أجهزة الحاسوب، حيث $x$ عدد القطع المبيعة منها بالمئات.

إذا كان: $p'(x) = \frac{-135x}{\sqrt{9 + x^2}}$ هو مُعدّل تغيّر سعر هذه القطعة، فأجد $p(x)$، علمًا بأنَّ سعر القطعة الواحدة هو $30\ \text{JD}$ عندما يكون عدد القطع المبيعة 400 قطعة.

تلميح: العدد 400 في المسألة يعني أنَّ $x = 4$.

مسألة اليوم: أجد الكتلة الحيوية المتوقعة للأسماك بعد 20 سنة من بدء الدراسة (المسألة في بداية الدرس).

أفكّر: هل يُمكن حلُّ المثال 4 بطريقة أخرى؟ أُبرِّر إجابتي.

وماذا يتغيّر حين يكون الجيب وجيب التمام بأُسّ فردي؟

الجيب وجيب التمام بأُسّ فردي: نكسر القوة ونستعمل فيثاغورس

• الجيب وجيب التمام بأُسّ زوجي: أستعمل متطابقات تقليص القُوَّة لإيجاد التكامل.
• الجيب وجيب التمام بأُسّ فردي: يُمكن استعمال التعويض لإيجاد التكامل، إضافةً إلى استعمال المتطابقة المثلثية الآتية:

• كيف أختار طريقة الحل؟

أجد $\int \sin^3 x dx$

أجد $\int \cos^5 x \sin^2 x dx$

أفكّر: هل يُمكن حلُّ الفرع 2 من المثال 5 بتحويل $\cos^2 x$ إلى $1 - \sin^2 x$؟ أُبرِّر إجابتي.

وماذا عن الظل والقاطع، هل تنطبق الفكرة نفسها؟

الظلّ والقاطع: نعوّض الاقتران المناسب ونستعمل متطابقتي فيثاغورس

• يُمكن استعمال التكامل بالتعويض لتكاملات تحوي الظلّ، أو ظلّ التمام، أو القاطع، أو قاطع التمام، مرفوعة إلى أُسّ صحيح موجب.
• وذلك إضافةً إلى استعمال المتطابقتين المثلثيتين:

لحلَّ التكامل: $\int \cot^n x dx$، إذا كانت $n \ge 4$، حيث $n$ عدد زوجي، أكتب التكامل في الصورة الآتية:

أجد $\int \tan^4 x dx$

أجد $\int \cot^5 x dx$

أجد $\int \sec^4 x \tan^6 x dx$

أفكّر: هل يُمكن حلُّ الفرع 1 من المثال 6 بطريقة أخرى؟ أُبرِّر إجابتي.

أفكّر: هل يُمكن حلُّ الفرع 3 من المثال 6 بافتراض أنَّ: $u = \sec x$؟ أُبرِّر إجابتي.

وماذا نفعل بحدود التكامل حين يكون التكامل محدودًا؟

التكامل المحدود: نغيّر حدود التكامل مع تغيير المتغير

• الطريقة الأولى: إيجاد التكامل أوَّلًا بدلالة المُتغيّر الأصلي، ثمَّ تعويض حدود التكامل.
• الطريقة الثانية، وهي أكثر تفضيلًا: تغيير حدود التكامل عند تغيير مُتغيّر التكامل.

أجد $\int_0^2 x(x + 1)^3 dx$

أجد $\int_0^{\pi/3} \sec x \tan x \sqrt{\sec x + 2} dx$

أفكّر: هل يُمكن حلُّ الفرع 2 من المثال 7 بطريقة أخرى؟ أُبرِّر إجابتي.