التكامل بالكسور الجزئية

• إيجاد تكاملات باستعمال طريقة الكسور الجزئية.

مسألة اليوم: كيف نكامل اقتراناً نسبياً؟

يُمثِّل الشكل المجاور منحنى الاقتران: $f(x) = \frac{1}{x^3 + x}$. أجد مساحة المنطقة المُظلَّلة منه.

هذا اقتران نسبي، فكيف نكامله دون أن نعرف له اقتراناً أصلياً مباشراً؟

تجزئة المقدار النسبي: مجموع كسور أبسط

• ومن أمثلتها:
• $f(x) = \frac{2x + 1}{x^2 - 1}$
• $g(x) = \frac{x^5 + 2x^3 - x}{x^2 - 4x + 8}$
• $h(x) = \frac{1}{x^2 - 3x - 4}$

• كل مقدار أبسط في صورة $\frac{P(x)}{Q(x)}$، حيث $P$ و $Q$ كثيرا حدود لا توجد بينهما عوامل مشتركة.
• شرط التجزئة: درجة $P$ أقلّ من درجة $Q$، وكُلّ منهما يُسمَّى كسرًا جزئيًا.

• تعتمد التجزئة على عوامل المقام، فتوجد ثلاث حالات سنتعلّمها في هذا الدرس:
• عوامل المقام كثيرات حدود خطيَّة مختلفة.
• عوامل المقام كثيرات حدود خطيَّة، أحدها مُكرَّر.
• عوامل المقام كثيرات حدود، أحدها تربيعي غير قابل للتحليل (مُميِّزه سالب)، وغير مُكرَّر.

1. أحلّل المقام: أحلّل مقام الاقتران النسبي إلى عوامله بعد التأكّد أنّ درجة البسط أقلّ.
2. أكتب الكسور الجزئية: أكتب لكل عامل كسرًا جزئيًا بسطه مجهول، بحسب حالة العامل.
3. أجد المجاهيل: أضرب الطرفين في م. م. أ للمقامات، ثم أعوّض قيمًا مناسبة.
4. أكامل: أكامل كل كسر جزئي على حدة، ثم أبسّط الناتج.

عوامل خطية مختلفة: لكل عامل كسره الجزئي

• $\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{A_1}{a_1x + b_1} + \frac{A_2}{a_2x + b_2}$
• $+ \frac{A_3}{a_3x + b_3} + \dots + \frac{A_n}{a_nx + b_n}$

• تكامل كُلّ كسر جزئي ناتج في هذه الحالة هو اقتران لوغاريتمي طبيعي.

a) أجد: $\int \frac{x - 7}{x^2 - x - 6} dx$

b) أجد: $\int \frac{3x - 1}{x^2 - 1} dx$

عامل خطي مكرّر: كسر لكل قوة

• $\frac{A_1}{(ax + b)^1} + \frac{A_2}{(ax + b)^2}$
• $+ \frac{A_3}{(ax + b)^3} + \dots + \frac{A_n}{(ax + b)^n}$

• تكامل الكسور الناتجة اقتران لوغاريتمي طبيعي، أو تكامل $(ax + b)^{-n}$ المضروب في ثابت.

a) أجد: $\int \frac{x + 4}{(2x - 1)(x - 1)^2} dx$

b) أجد: $\int \frac{x^2 - 2x - 4}{x^3 - 4x^2 + 4x} dx$

عامل تربيعي لا يتحلّل: بسطه خطي

• قد يحوي المقام عاملاً تربيعيًا غير مُكرَّر، ولا يُمكن تحليله (مُميِّزه سالب).

a) أجد: $\int \frac{3x + 4}{(x - 3)(x^2 + 4)} dx$

b) أجد: $\int \frac{7x^2 - x + 1}{x^3 + 1} dx$

درجة البسط كبيرة: نقسم أولاً ثم نجزّئ

• في الحالات السابقة كانت درجة $P(x)$ أقلّ من درجة $Q(x)$، ولا توجد عوامل مشتركة بينهما.
• إذا ساوت درجة $P(x)$ درجة $Q(x)$، أو زادت عليها، فإنَّه يلزم قسمة $P$ على $Q$، ثمَّ إيجاد التكامل بالكسور الجزئية إذا لزم.
• أتذكّر: إذا كان $\frac{f(x)}{g(x)}$ اقترانًا نسبيًا فيه درجة $f(x)$ أكبر من (أو تساوي) درجة $g(x)$،
• وكان ناتج القسمة $q(x)$، وباقي القسمة $r(x)$، فإنَّ:

a) أجد: $\int \frac{4x^3 - 5}{2x^2 - x - 1} dx$

b) أجد: $\int \frac{x^2 + x - 1}{x^2 - x} dx$

التكامل المحدود: نكامل ثم نعوّض الحدّين

• التكامل المحدود بالكسور الجزئية: أُجري التكامل أوّلاً، ثمّ أعوِّض في حدود التكامل.

a) أجد قيمة: $\int_3^4 \frac{2x^3 + x^2 - 2x - 4}{x^2 - 4} dx$

b) أجد قيمة: $\int_5^6 \frac{3x - 10}{x^2 - 7x + 12} dx$

التعويض أولاً ثم الكسور الجزئية

• التعويض يُمكن استعماله لحلّ تكاملات يصعب حلّها في صورتها الأصلية.
• أحيانًا تُفضي عملية التعويض إلى اقتران نسبي يُمكن حلّه باستعمال الكسور الجزئية.

a) أجد: $\int \frac{\sec^2 x}{\tan^2 x - 1} dx$

b) أجد: $\int \frac{e^x}{(e^x - 1)(e^x + 4)} dx$

هل يُمكِن حلُّ الفرع 1 من المثال 6 بطريقة أُخرى؟ أُبرِّر إجابتي.

نعود إلى مسألة اليوم

والآن نعود إلى مسألة اليوم: هل أصبح تكامل هذا الاقتران ممكنًا؟