التكامل بالأجزاء

• إيجاد تكاملات باستعمال طريقة الأجزاء.

مسألة اليوم: مبيعات كرة قدم جديدة

يُمثّل الاقتران: $S'(t) = 350 \ln(t+1)$ مُعدّل تغيّر المبيعات الشهرية لكرة قدم جديدة، حيث $t$ عدد الأشهر منذ طرح الكرة في الأسواق، و $S(t)$ عدد الكرات المبيعة شهرياً.

كيف نكامل ناتج ضرب اقترانين لا نملك لضربهما قاعدة مباشرة؟

لماذا لا تكفي طرق التكامل السابقة؟

• لا يُمكن استعمال التكامل بالتعويض ولا الكسور الجزئية لإيجاد التكاملات الآتية:
• $\int x \sin x dx$
• $\int e^x \cos x dx$
• $\int x^2 \ln x dx$
• المُكامَل في هذه التكاملات ناتج ضرب اقترانين مختلفين، ويُمكن إيجاد تكامل كلّ منهما على حدة، لكن لا توجد قاعدة تكامل لضربهما مباشرة.

صيغة التكامل بالأجزاء

ثلاث خطوات لتطبيق الصيغة

• لإيجاد التكامل $\int f(x) dx$ بالأجزاء، أُتّبع الخطوات الثلاث الآتية:
• الخطوة 1: أختار $u$ و $v$ بحيث $f(x) dx = u dv$، وتكون $du$ أبسط من $u$، ويسهل إيجاد تكامل $dv$.
• الخطوة 2: أُنظّم خطوات إيجاد $du$ و $v$ كما يأتي:

• الخطوة 3: أُكمل التكامل بإيجاد $\int v du$.

اختيار الاقترانين وتطبيق الصيغة

• تحتوي $dv$ دائمًا على $dx$ من التكامل الأصلي.

• إذا كان $g(x)$ اقترانًا خطِّيًّا، وكان $f(x)$ كثير حدود، فأستعمل التكامل بالأجزاء في كلٍّ من الحالات الآتية:
• $\int f(x) e^{g(x)} dx$
• $\int f(x) \sin (g(x)) dx$
• $\int f(x) \cos (g(x)) dx$

a) أجد $\int x \sin x dx$

b) أجد $\int x^2 \ln x dx$

c) أجد $\int 2x\sqrt{7-3x} dx$

d) أجد $\int 3x e^{4x} dx$

هل اختيار $u = \cos x$ و $dv = x dx$ يجعل التكامل أسهل أم أكثر تعقيدًا؟ أُبرِّر إجابتي.

هل يُمكِن حلُّ الفرع 3 من المثال 1 بطريقة أُخرى؟

ماذا يحدث لو أُضيف ثابت التكامل عند إجراء التكامل: $v = \int dv$؟ أُبرِّر إجابتي.

هل لاحظتَ أنّ مسألة اليوم تشبه الفرع الثاني من هذا المثال؟

حين لا تكفي مرّة واحدة

• يتطلّب إيجاد بعض التكاملات استعمال التكامل بالأجزاء أكثر من مرّة.

a) أجد $\int x^2 \sin x dx$

b) أجد $\int x^3 e^{4x} dx$

حين يعود التكامل الأصلي من جديد

a) أجد $\int \frac{\sin x}{e^x} dx$

b) أجد $\int \sec^3 x dx$

ما تأثير تبديل الفرض عند استعمال التكامل بالأجزاء مرَّة أُخرى؟

طريقة الجدول: تنظيم الأجزاء المتكرّرة

• يُمكِن استعمال طريقة الجدول لإيجاد التكاملات التي صورها:
• $\int f(x) \sin ax\, dx$
• $\int f(x) \cos ax\, dx$
• $\int f(x) (ax+b)^n dx$
• $\int f(x) e^{ax} dx$
• حيث: $f(x)$ كثير حدود، و $a \neq 0$، و $n > 0$.

a) أجد $\int x^4 \cos 4x dx$

b) أجد $\int x^5 e^x dx$

لماذا تتغيَّر الإشارة بصورة دورية في طريقة الجدول؟ أُبرِّر إجابتي، وأستعين بحلِّ المثال 2

من الربح الحدّي إلى اقتران الربح

• يُمكِن نمذجة كثير من المواقف الحياتية والعلمية باستعمال اقترانات عديدة.
• وعند إيجاد التكامل لهذه الاقترانات تنتج قِيَم أو علاقات مُهِمَّة، ولكنَّ بعضها يتطلَّب استعمال التكامل بالأجزاء.

التكلفة الحدّيّة: يُمثّل الاقتران: $C'(x) = (0.1x+1)e^{0.03x}$ التكلفة الحدّيّة لكل قطعة (بالدينار) تنتج في إحدى الشركات، حيث $x$ عدد القطع المُنتجة، و $C(x)$ تكلفة إنتاج $x$ قطعة بالدينار. أجد اقتران التكلفة $C(x)$، علماً بأنّ $C(10) = 200$.

الأجزاء مع التكامل المحدود

a) أجد $\int_1^e \frac{\ln x}{x^2} dx$

b) أجد $\int_0^1 x e^{-2x} dx$

لماذا يجب اشتقاق $\ln x$ بدلًا من مُكامَلتها؟ أُبرِّر إجابتي.

تعويض أولًا ثمّ أجزاء

• تعلّمتُ استعمال التعويض لحلّ تكاملات يصعب حلّها بصورة مباشرة، والآن أحلّ بعض التكاملات باستعمال طريقة التعويض وطريقة الأجزاء معاً.

a) أجد $\int (x^3+x^5) \sin x^2 dx$

b) أجد $\int x^5 e^{x^2} dx$

كيف أختار ⁦u⁩؟

• يعتمد إيجاد التكامل بالأجزاء على تحديد الاقتران المراد اشتقاقه لتبسيط التكامل.
• الجدول الآتي يُبيّن تكاملات مختلفة يُمكن حلّها بطريقة الأجزاء، والاختيار الأفضل لـ $u$.