الشرط الأولي

• تعرُّف الشرط الأولي، واستعماله لإيجاد قيمة ثابت التكامل.

الشرط الأولي: كيف نحدّد ثابت التكامل؟

• يتطلّب حلّ بعض المسائل إيجاد الاقتران الأصلي الوحيد الذي يُحقّقها
• ثابت التكامل $C$: يجب تحديد قيمته.
• طريقة تحديده: تعويض نقطة تُحقّق الاقتران الأصلي، وتعطى عادةً في المسألة.

1. أكامل المشتقة.: أجد الاقتران الأصلي بإضافة ثابت التكامل.
2. أعوّض الشرط الأولي.: أعوّض إحداثيات النقطة المعطاة في قاعدة الاقتران.
3. أحلّ المعادلة.: أحلّ المعادلة الناتجة لإيجاد قيمة الثابت.
4. أكتب القاعدة.: أعوّض قيمة الثابت في الاقتران الأصلي.

• يُبيّن التمثيل البياني المجاور أنَّ الاقتران الأصلي الوحيد الذي يُحقّق الشرط الأولي في المسألة هو: $f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x - 6$.

أجد قاعدة الاقتران $f(x)$ إذا كان: $f'(x) = 6x^2 + 5$، ومَرَّ منحناه بالنقطة $(1, 9)$.

التكلفة الحدّية: من المعدّل إلى التكلفة

• يُستعمَل الشرط الأولي كثيرًا لتحديد اقترانات تُنمذِج مواقف علمية وحياتية.

التكلفة الحدّية: يُمثّل الاقتران: $C'(x) = 0.3x^2 + 2x$ التكلفة الحدّية (بالدينار) لكل قطعة تُنتج في إحدى الشركات، حيث $x$ عدد القطع المُنتجة، و $C(x)$ تكلفة إنتاج $x$ قطعة بالدينار.

أجد اقتران التكلفة $C(x)$، علمًا بأنَّ تكلفة إنتاج 10 قطع هي ⁦2200 JD⁩.

من السرعة إلى الموقع بالشرط الأولي

• من التطبيقات المُهمّة على الشرط الأولي، إيجاد موقع جسم يتحرّك في مسار مستقيم إذا عُلِم اقتران السرعة.

يتحرّك جُسَيْم في مسار مستقيم، وتعطى سرعته بالاقتران: $v(t) = 36t - 3t^2$، حيث $t$ الزمن بالثواني، و $v$ سرعته بالمتر لكل ثانية.

إذا بدأ الجُسَيْم حركته من نقطة الأصل، فأجد موقعه بعد 3 ثوانٍ من بَدء الحركة.

التسارع: شرطان أوليان لا شرط واحد

• يُمكن إيجاد موقع جسم يتحرّك في مسار مستقيم إذا عُلِم اقتران التسارع له.
• ولكن، يجب في هذه الحالة توافر شرطين أوليين لحلّ المسألة
• شرطان أوليان: يُستعمل الأول لإيجاد ثابت التكامل الناتج من تكامل اقتران التسارع، والثاني لإيجاد ثابت التكامل الناتج من تكامل اقتران السرعة.

يتحرّك جُسَيْم في مسار مستقيم، ويعطى تسارعه بالاقتران: $a(t) = 4t - 4$، حيث $t$ الزمن بالثواني، و $a$ تسارعه بالمتر لكل ثانية تربيع.

إذا بدأ الجُسَيْم حركته من نقطة الأصل بسرعة مقدارها $5\ \text{m/s}$، فأجد موقعه بعد 3 ثوانٍ من بَدء الحركة.

تمرّن: ثابت التكامل في كل حالة

في كُلّ ممّا يأتي المشتقة الأولى للاقتران $f(x)$، ونقطة يمرّ بها منحنى $y = f(x)$. أستعمل المعلومات المعطاة لإيجاد قاعدة الاقتران $f(x)$:

1. $f'(x) = x-3; (2, 9)$

2. $f'(x) = x^2-4; (0, 7)$

3. $f'(x) = 6x^2-4x+2; (1, 9)$

4. $f'(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{4}x^2; (4, 11)$

5. $f'(x) = (x+2)^2; (1, 7)$

6. $f'(x) = \frac{3}{\sqrt{x}} - x; (4, 0)$

7. إذا كان ميل المماس لمنحنى العلاقة $y$ هو: $\frac{dy}{dx} = 3 + 0.4x$، فأجد قاعدة العلاقة $y$، علمًا بأنَّ منحناها يمرّ بالنقطة $(0, 5)$.

8. إذا كان ميل المماس لمنحنى الاقتران $f(x)$ هو: $f'(x) = \frac{x^2+10}{x^2}$، فأجد قاعدة الاقتران $f(x)$، علمًا بأنَّ منحناه يمرّ بالنقطة $(5, 2)$.

9. يُبيّن الشكل المجاور منحنى الاقتران $f(x)$، حيث: $f'(x) = 3x^2 - 4x - 5$. أجد قاعدة الاقتران $f(x)$.

بالون: عند نفخ بالون كروي يصبح نصف قطره $y$ سنتيمتراً بعد $t$ ثانية. إذا كان: $\frac{dy}{dt} = 4t^{-\frac{2}{3}},\ t > 0$، وكان نصف قُطر البالون بعد 8 ثوانٍ من بَدء نفخه ⁦30 cm⁩، فأجد كُلًّا ممّا يأتي:

10. قاعدة العلاقة $y$ بدلالة $t$.

11. نصف قُطر البالون بعد 27 ثانية من بَدء نفخه.

12. أشجار: في دراسة تناولت نوعًا مُعيّنًا من الأشجار، تبيّن أنَّ ارتفاع هذه الأشجار يتغيّر بمُعدّل يُمكن نمذجته بالاقتران: $h'(t) = 0.2t^{\frac{2}{3}} + \sqrt{t}$، حيث $h(t)$ ارتفاع الشجرة بالأقدام، و $t$ عدد السنوات منذ لحظة زراعة الشجرة. إذا كان ارتفاع إحدى هذه الأشجار عند زراعتها هو ⁦2 ft⁩، فأجد $h(t)$.

13. يتحرّك جُسَيْم في مسار مستقيم، وتعطى سرعته بالاقتران: $v(t) = 2t + 3$، حيث $t$ الزمن بالثواني، و $v$ سرعته بالمتر لكل ثانية. إذا بدأ الجُسَيْم حركته من نقطة الأصل، فأجد موقعه بعد 3 ثوانٍ من بَدء الحركة.

14. يتحرّك جُسَيْم في مسار مستقيم، ويعطى تسارعه بالاقتران: $a(t) = t^2$، حيث $t$ الزمن بالثواني، و $a$ تسارعه بالمتر لكل ثانية تربيع. إذا كان الموقع الابتدائي للجُسَيْم هو $3\ \text{m}$، وكانت سرعته هي $1\ \text{m/s}$ بعد ثانية واحدة من بَدء حركته، فأجد موقع الجُسَيْم بعد ثانيتين من بَدء الحركة.

15. يتحرّك جُسَيْم في مسار مستقيم، ويعطى تسارعه بالاقتران: $a(t) = 9-2t$، حيث $t$ الزمن بالثواني، و $a$ تسارعه بالمتر لكل ثانية تربيع. إذا بدأ الجُسَيْم حركته من نقطة الأصل بسرعة مقدارها $2\ \text{m/s}$، فأجد موقعه بعد ثانيتين من بَدء الحركة.

تحدٍّ: الشروط تحدّد الاقتران

16. تبرير: تعطى مشتقة الاقتران $f(x)$ بالقاعدة: $f'(x) = ax + b$، حيث $a$ و $b$ ثابتان. إذا كان ميل المماس لمنحنى الاقتران $f(x)$ عند النقطة $(-2, 8)$ هو 7، وقطع منحنى الاقتران المحور $y$ عند النقطة $(0, 18)$، فأجد قاعدة هذا الاقتران، وأبرّر إجابتي.

17. تحدّ: إذا كان ميل المماس لمنحنى الاقتران $f(x)$ هو: $f'(x) = (4 - \frac{100}{x^2})$، وكان للاقتران نقطة حرجة عند النقطة $(a, 10)$، حيث $a > 0$، فأجد قاعدة هذا الاقتران.